📄 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi Ve Aralıklarla İlgili İşlemlerde Kümeler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle verilen kümeleri aralık gösterimiyle inceleyelim:
\( A = [-4, 6) \) aralığı, -4 dahil, 6 hariç tüm gerçek sayıları içerir.
\( B = (2, 8] \) aralığı, 2 hariç, 8 dahil tüm gerçek sayıları içerir.

1. \( A \cup B \) (Birleşim Kümesi):
Birleşim kümesi, her iki kümenin de tüm elemanlarını içerir. Bu durumda, en küçük eleman -4 (A'dan) ve en büyük eleman 8 (B'den) olur.
\( A \cup B = [-4, 8] \).
Sayı doğrusu üzerinde -4'ten (kapalı nokta) 8'e (kapalı nokta) kadar olan aralık taranır.

2. \( A \cap B \) (Kesişim Kümesi):
Kesişim kümesi, her iki kümenin de ortak elemanlarını içerir. A'nın sağ ucu 6, B'nin sol ucu 2'dir. Ortak kısım 2 ile 6 arasındadır. 2, A kümesinde dahil değildir (açık parantez), 6, B kümesinde dahil değildir (açık parantez). Bu durumda kesişimde de bu noktalar dahil olmaz.
\( A \cap B = (2, 6) \).
Sayı doğrusu üzerinde 2'den (açık nokta) 6'ya (açık nokta) kadar olan aralık taranır.

3. \( A \setminus B \) (Fark Kümesi):
\( A \setminus B \) kümesi, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları içerir.
A kümesi \( [-4, 6) \) ve B kümesi \( (2, 8] \)'dir.
A'nın B ile kesişen kısmı \( (2, 6) \)'dir. Bu kısmı A'dan çıkardığımızda, \( [-4, 2] \) aralığı kalır. Neden 2 dahil? Çünkü 2 noktası B kümesinde dahil değildir, yani B'de yoktur. Dolayısıyla A'dan B'yi çıkarırken 2 noktası A'da kalır ve dahil olur.
\( A \setminus B = [-4, 2] \).
Sayı doğrusu üzerinde -4'ten (kapalı nokta) 2'ye (kapalı nokta) kadar olan aralık taranır.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle verilen eşitsizlikleri ayrı ayrı çözelim:

1. Eşitsizlik: \( 3x - 1 \le 8 \)
\( 3x \le 8 + 1 \)
\( 3x \le 9 \)
\( x \le 3 \)
Bu eşitsizliği sağlayan gerçek sayı aralığı \( (-\infty, 3] \) şeklindedir.

2. Eşitsizlik: \( 2x + 5 > 1 \)
\( 2x > 1 - 5 \)
\( 2x > -4 \)
\( x > -2 \)
Bu eşitsizliği sağlayan gerçek sayı aralığı \( (-2, \infty) \) şeklindedir.

Her iki eşitsizliği aynı anda sağlayan aralığı bulmak için bu iki aralığın kesişimini almalıyız:
\( (-\infty, 3] \cap (-2, \infty) \)
Bu kesişim aralığı \( (-2, 3] \) olarak bulunur.

Şimdi bu aralıktaki tam sayıları bulalım. \( (-2, 3] \) aralığındaki tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3'tür.
Bu tam sayıların toplamı: \( (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 \).
Dolayısıyla, bu aralıktaki tam sayıların toplamı 5'tir.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle verilen kümeleri aralık gösterimiyle yazalım:
\( A = (-7, 5) \) (Çünkü \( -7 < x < 5 \) eşitsizliği uç noktaları dahil etmez.)
\( B = [0, 10] \) (Çünkü \( 0 \le x \le 10 \) eşitsizliği uç noktaları dahil eder.)

1. \( A \cap B \) (Kesişim Kümesi):
Kesişim kümesi, her iki kümenin ortak elemanlarını içerir.
\( A = (-7, 5) \) ve \( B = [0, 10] \).
Ortak kısım, sol uç noktaların en büyüğü ile sağ uç noktaların en küçüğü arasındadır.
Sol uç noktalar: -7 (hariç) ve 0 (dahil). Bu ikisinin en büyüğü 0'dır ve dahildir.
Sağ uç noktalar: 5 (hariç) ve 10 (dahil). Bu ikisinin en küçüğü 5'tir ve hariçtir.
Bu durumda \( A \cap B = [0, 5) \).

2. \( B \setminus A \) (Fark Kümesi):
\( B \setminus A \) kümesi, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanları içerir.
\( B = [0, 10] \) ve \( A = (-7, 5) \).
B kümesinden A kümesinin elemanlarını çıkaracağız. A kümesi \( (-7, 5) \) olduğundan, B'nin 0 ile 5 arasındaki elemanlarını çıkarmalıyız. Ancak 5, A'da dahil değildir, bu yüzden 5 B'de kalır ve dahil olur. -7'den 0'a kadar olan kısım B'de zaten yoktur.
Yani, \( [0, 10] \) aralığından \( (-7, 5) \) aralığını çıkarırken, \( [0, 5) \) kısmı B'den çıkarılır.
Geriye kalan kısım \( [5, 10] \) aralığıdır. 5 noktası A kümesinde olmadığı için, B'den A'yı çıkarırken 5 noktası B'de kalır ve dahil olur.
\( B \setminus A = [5, 10] \).