💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayı aralıklarında işlemler ve mutlak değer gösterimi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen aralıkları sayı doğrusunda görselleştirelim.

• A Aralığı: Sayı doğrusunda -3'ten başlayıp 5'e kadar olan noktaları kapsar. -3 dahildir (köşeli parantez), 5 dahil değildir (normal parantez).
• B Aralığı: Sayı doğrusunda 2'den başlayıp 8'e kadar olan noktaları kapsar. 2 dahil değildir (normal parantez), 8 dahildir (köşeli parantez).

Şimdi bu iki aralığın birleşimini ve kesişimini bulalım:

• Birleşim (\( A \cup B \)): İki aralıkta bulunan tüm sayıları kapsar. Sayı doğrusunda en küçük değer -3'ten başlar ve en büyük değer 8'e kadar devam eder.
• En küçük değer -3'tür ve dahildir.
• En büyük değer 8'dir ve dahildir.
Bu durumda birleşim \( [-3, 8] \) olur.
• Kesişim (\( A \cap B \)): Her iki aralıkta da ortak olarak bulunan sayıları kapsar. Sayı doğrusunda iki aralığın üst üste geldiği bölgedir.
• A aralığı 2'den sonra devam ederken, B aralığı 2'den başlamaktadır. Ortak kısım 2'den sonra başlar.
• A aralığı 5'te biterken, B aralığı 5'ten sonra da devam etmektedir. Ortak kısım 5'e kadar sürer.
A aralığında 5 dahil değildir, B aralığında 2 dahil değildir. Bu durumda kesişim \( (2, 5) \) olur.

Sonuç olarak: \( A \cup B = [-3, 8] \) ve \( A \cap B = (2, 5) \) olur. 👉 Bu tür aralık işlemlerinde sayı doğrusu çizmek işleri çok kolaylaştırır!

Verilen aralık \( x \in [-4, 7) \) şeklindedir. Bu, \( x \)'in -4'e eşit veya -4'ten büyük, ancak 7'den küçük olduğu anlamına gelir.
Yani, \( -4 \le x < 7 \) eşitsizliği geçerlidir. 💡
Bizden \( 2x \) ifadesinin alabileceği en geniş aralığı bulmamız isteniyor. Bunun için eşitsizliğin her tarafını 2 ile çarpmamız gerekir. Çarpma işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

• Eşitsizliğin sol tarafını 2 ile çarpalım: \( 2 \times (-4) = -8 \)
• Eşitsizliğin sağ tarafını 2 ile çarpalım: \( 2 \times 7 = 14 \)

Bu durumda yeni eşitsizliğimiz \( -8 \le 2x < 14 \) olur. ✅
Bu eşitsizlik, \( 2x \) ifadesinin -8'e eşit veya -8'den büyük, ancak 14'ten küçük olduğunu gösterir.
Dolayısıyla, \( 2x \) ifadesinin alabileceği en geniş aralık \( [-8, 14) \) olur.

Mutlak değerin tanımına göre, \( |a| \le b \) eşitsizliği \( -b \le a \le b \) şeklinde yazılabilir. Bu kuralı sorumuzda uygulayalım.
Burada \( a = x - 3 \) ve \( b = 5 \) olarak düşünebiliriz. 📌
Eşitsizliği şu şekilde yeniden yazabiliriz: \[ -5 \le x - 3 \le 5 \] Şimdi \( x \)'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 3 ekleyelim. Eşitsizliğin yönü değişmez.

• Sol tarafa 3 ekleyelim: \( -5 + 3 = -2 \)
• Ortadaki \( x - 3 \) ifadesine 3 ekleyelim: \( x - 3 + 3 = x \)
• Sağ tarafa 3 ekleyelim: \( 5 + 3 = 8 \)

Bu işlemler sonucunda elde ettiğimiz eşitsizlik: \[ -2 \le x \le 8 \] Bu eşitsizlik, \( x \) gerçek sayılarının -2'ye eşit veya -2'den büyük, aynı zamanda 8'e eşit veya 8'den küçük olduğunu gösterir. ✅
Bu nedenle, \( |x - 3| \le 5 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) gerçek sayılarının aralığı \( [-2, 8] \) olur.

Öncelikle verilen koşulları birleştirelim. \( x < 5 \) ve \( x \ge -2 \) koşulları, \( x \) sayısının -2'ye eşit veya -2'den büyük, ancak 5'ten küçük olduğunu ifade eder.
Bu durumu sayı doğrusunda gösterirsek, \( x \) değerlerinin \( [-2, 5) \) aralığında olduğunu görürüz. 💡
Yani, \( -2 \le x < 5 \) eşitsizliği geçerlidir. Şimdi \( |x + 1| \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak için, \( x \) için mümkün olan en büyük tam sayı değerini göz önünde bulundurmalıyız. 📌
\( x \) tam sayı ise ve \( x < 5 \) ise, \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 4'tür. (Çünkü 5 dahil değildir).
Bu durumda, \( x = 4 \) için \( |x + 1| \) ifadesini hesaplayalım: \[ |4 + 1| = |5| = 5 \] Şimdi \( x \) için mümkün olan en küçük tam sayı değerini de kontrol edelim: \( x = -2 \). \[ |-2 + 1| = |-1| = 1 \] Bu durumda \( |x + 1| \) ifadesinin alabileceği değerler 1 ile 5 arasındadır (1 dahil, 5 dahil).
İfadenin alabileceği tam sayı değerleri 1, 2, 3, 4, 5'tir. Bu değerler arasında en büyüğü 5'tir. ✅

Soruda verilen bilgileri matematiksel ifadelere dökelim:

• "Fiyatın 1000 TL'den en az 200 TL fazla olması": Bu, \( x \ge 1000 + 200 \) anlamına gelir.
• "Fiyatın 1500 TL'den en fazla 300 TL eksik olması": Bu, \( x \le 1500 - 300 \) anlamına gelir.

Şimdi bu iki ifadeyi hesaplayalım:

• İlk ifade: \( x \ge 1200 \)
• İkinci ifade: \( x \le 1200 \)

Her iki koşulu da aynı anda sağlayan \( x \) değeri, hem 1200'e eşit veya büyük olmalı hem de 1200'e eşit veya küçük olmalıdır. 💡
Bu durum, \( x \) değerinin sadece 1200 olabileceği anlamına gelir. ✅ Yani, \( x = 1200 \) olmalıdır.
Bu durumda \( x \) fiyatının alabileceği en geniş aralık tek bir değerden oluşur: \( [1200, 1200] \) veya sadece \( x = 1200 \) olarak ifade edilebilir. 👉 Bu, fiyatın kesin olarak 1200 TL olduğunu gösterir.

Öncelikle öğrencinin evden okula olan mesafesinin aralığını belirleyelim.
Mesafe \( d \) metre olsun. Soruda verilenlere göre:

• Mesafe 1 km'den fazla: \( d > 1 \times 1000 \) metre, yani \( d > 1000 \) metre.
• Mesafe 3 km'den az: \( d < 3 \times 1000 \) metre, yani \( d < 3000 \) metre.

Bu iki koşulu birleştirirsek, mesafenin \( 1000 < d < 3000 \) metre aralığında olduğunu buluruz. 💡
Şimdi, her adımın 0.75 metre olduğunu biliyoruz. Bir gidiş ve bir dönüş için toplam mesafe \( 2d \) olur. Toplam adım sayısı \( N \) ise, \( N = \frac{2d}{0.75} \) formülü ile bulunur. Bu ifadeyi \( d \) cinsinden yeniden düzenlersek: \( d = \frac{0.75N}{2} \) olur. Bu \( d \) değerini mesafenin aralığına yerleştirelim: \[ 1000 < \frac{0.75N}{2} < 3000 \] Şimdi bu eşitsizliği \( N \) için çözelim:

• Eşitsizliğin her tarafını 2 ile çarpalım: \( 2000 < 0.75N < 6000 \)
• Eşitsizliğin her tarafını 0.75'e bölelim (0.75 = 3/4, yani 4/3 ile çarpmak demektir):
• Sol taraf: \( 2000 \times \frac{4}{3} = \frac{8000}{3} \approx 2666.67 \)
• Sağ taraf: \( 6000 \times \frac{4}{3} = \frac{24000}{3} = 8000 \)

Bu durumda \( N \) için elde ettiğimiz eşitsizlik: \( 2666.67 < N < 8000 \) olur. ✅
Soruda toplam adım sayısının en geniş tam sayı aralığı soruluyor. Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar şunlardır:

• En küçük tam sayı: 2667 (çünkü 2666.67'den büyük olmalı)
• En büyük tam sayı: 7999 (çünkü 8000'den küçük olmalı)

Dolayısıyla, toplam adım sayısının alabileceği en geniş tam sayı aralığı \( [2667, 7999] \) olur. 👉 Günlük hayatta mesafe ve adım sayısını hesaplamak için bu tür aralıklar kullanılabilir.

Mutlak değerin tanımına göre, \( |x| < b \) eşitsizliği \( -b < x < b \) şeklinde yazılabilir. Bu kuralı sorumuzda uygulayalım. 📌
Burada \( b = 4 \) olarak verilmiştir. Eşitsizliği şu şekilde yeniden yazabiliriz: \[ -4 < x < 4 \] Bu eşitsizlik, \( x \) gerçek sayılarının -4'ten büyük ve 4'ten küçük olduğunu gösterir. ✅
Bu nedenle, \( |x| < 4 \) eşitsizliğini sağlayan \( x \) gerçek sayılarının aralığı \( (-4, 4) \) olur.

Soruda verilen kümeleri ve istenen işlemi anlayalım:

• A Kümesi: \( (-5, 3] \) aralığı. Bu, -5'ten büyük ve 3'e eşit veya küçük sayıları kapsar.
• B Kümesi: \( [-1, 6) \) aralığı. Bu, -1'e eşit veya -1'den büyük ve 6'dan küçük sayıları kapsar.
• İstenen: \( A \setminus B \). Bu, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları bulmak demektir.

Bu işlemi sayı doğrusu üzerinde görselleştirmek en etkili yoldur. 💡
Sayı doğrusunu çizelim ve A ile B kümelerini işaretleyelim:

• A kümesi: -5'ten başlar (hariç), 3'te biter (dahil).
• B kümesi: -1'den başlar (dahil), 6'da biter (hariç).

Şimdi A kümesindeki elemanlardan B kümesinde olanları çıkaralım:

• A kümesi -5'ten başlar. B kümesi -1'den başladığı için, -5'ten -1'e kadar olan A'nın elemanları B'de değildir. Bu kısım \( (-5, -1) \) aralığıdır.
• A kümesi ve B kümesinin kesiştiği yer, -1'den başlar ve 3'te biter. A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar, bu kesişim bölgesinde A'nın sınırına kadar olan kısımdır.
• A kümesi 3'te biter (dahil). B kümesi 6'ya kadar devam eder. Bu nedenle, A kümesindeki 3 sayısı B kümesinde de bulunur (çünkü B kümesi -1'den 6'ya kadar tüm sayıları içerir).

Dolayısıyla, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar sadece \( (-5, -1) \) aralığındaki sayılardır. ✅
Sonuç olarak, \( A \setminus B = (-5, -1) \) olur. 👉 A kümesinden B kümesinin elemanlarını çıkarırken, B'nin başlangıç noktası (hariç veya dahil olmasına dikkat ederek) ve A'nın bitiş noktası arasındaki ilişkiyi iyi değerlendirmek önemlidir.

Soruda verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:

• Parçanın uzunluğu en az 10.5 cm: \( x \ge 10.5 \)
• Parçanın uzunluğu en fazla 11.2 cm: \( x \le 11.2 \)

Bu iki eşitsizliği birleştirerek \( x \)'in aralığını \( [10.5, 11.2] \) olarak yazabiliriz. 💡
Şimdi bu aralığı mutlak değer kullanarak ifade etmemiz isteniyor. Mutlak değerle ifade etmek için öncelikle aralığın orta noktasını bulmalıyız.

• Orta nokta = \( \frac{10.5 + 11.2}{2} = \frac{21.7}{2} = 10.85 \)

Şimdi aralığın genişliğini (yarısını) bulalım. Bu, orta noktadan uç noktalara olan mesafedir.

• Uçtan orta noktaya mesafe = \( 11.2 - 10.85 = 0.35 \)
• Diğer uçtan orta noktaya mesafe = \( 10.85 - 10.5 = 0.35 \)

Bu, \( x \) değerinin orta nokta olan 10.85'ten en fazla 0.35 birim uzaklaşabileceği anlamına gelir. 📌
Mutlak değer ile bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz: \( |x - \text{orta nokta}| \le \text{mesafe} \) Bu durumda: \[ |x - 10.85| \le 0.35 \] Bu eşitsizlik, \( x \) uzunluğunun 10.85 cm'den farkının mutlak değerinin en fazla 0.35 cm olabileceğini gösterir. ✅