🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıkları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıkları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Aşağıda verilen eşitsizliği aralık gösterimiyle ifade ediniz ve sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
\[ -3 < x < 5 \]
\[ -3 < x < 5 \]
Çözüm:
- 📌 Bu eşitsizlik, \( x \) gerçek sayısının \( -3 \) ile \( 5 \) arasında olduğunu, ancak \( -3 \) ve \( 5 \) değerlerini almadığını belirtir.
- 👉 Aralık gösterimi için, uç noktaların dahil olmadığını göstermek üzere parantez kullanırız.
- Aralık gösterimi: \( (-3, 5) \)
- 👉 Sayı doğrusu üzerinde gösterirken, \( -3 \) ve \( 5 \) noktalarının içini boş daireler ile işaretleriz (dahil olmadığını belirtmek için) ve bu iki daire arasındaki kısmı kalın bir çizgiyle gösteririz.
- (Sayı doğrusu betimlemesi: Sayı doğrusu üzerinde \( -3 \) noktasının üzeri boş bir daire, \( 5 \) noktasının üzeri boş bir daire ile işaretlenir ve bu iki daire arasındaki kısım kalın bir çizgiyle gösterilir.)
- ✅ Cevap: \( (-3, 5) \)
Örnek 2:
🚀 Aşağıda verilen eşitsizliği aralık gösterimiyle ifade ediniz ve sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
\[ 2 \le x \le 7 \]
\[ 2 \le x \le 7 \]
Çözüm:
- 📌 Bu eşitsizlik, \( x \) gerçek sayısının \( 2 \) ile \( 7 \) arasında olduğunu ve \( 2 \) ile \( 7 \) değerlerini de alabildiğini belirtir.
- 👉 Aralık gösterimi için, uç noktaların dahil olduğunu göstermek üzere köşeli parantez kullanırız.
- Aralık gösterimi: \( [2, 7] \)
- 👉 Sayı doğrusu üzerinde gösterirken, \( 2 \) ve \( 7 \) noktalarının içini dolu daireler ile işaretleriz (dahil olduğunu belirtmek için) ve bu iki daire arasındaki kısmı kalın bir çizgiyle gösteririz.
- (Sayı doğrusu betimlemesi: Sayı doğrusu üzerinde \( 2 \) noktasının üzeri dolu bir daire, \( 7 \) noktasının üzeri dolu bir daire ile işaretlenir ve bu iki daire arasındaki kısım kalın bir çizgiyle gösterilir.)
- ✅ Cevap: \( [2, 7] \)
Örnek 3:
✨ Aşağıda verilen eşitsizliği aralık gösterimiyle ifade ediniz ve sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
\[ -1 < x \le 4 \]
\[ -1 < x \le 4 \]
Çözüm:
- 📌 Bu eşitsizlik, \( x \) gerçek sayısının \( -1 \) ile \( 4 \) arasında olduğunu; \( -1 \) değerini alamadığını ancak \( 4 \) değerini alabildiğini gösterir.
- 👉 Aralık gösterimi için, dahil olmayan uç nokta için parantez, dahil olan uç nokta için köşeli parantez kullanırız.
- Aralık gösterimi: \( (-1, 4] \)
- 👉 Sayı doğrusu üzerinde gösterirken, \( -1 \) noktasının içini boş, \( 4 \) noktasının içini dolu bırakırız ve bu iki nokta arasındaki kısmı kalın bir çizgiyle işaretleriz.
- (Sayı doğrusu betimlemesi: Sayı doğrusu üzerinde \( -1 \) noktasının üzeri boş bir daire, \( 4 \) noktasının üzeri dolu bir daire ile işaretlenir ve bu iki daire arasındaki kısım kalın bir çizgiyle gösterilir.)
- ✅ Cevap: \( (-1, 4] \)
Örnek 4:
♾️ Aşağıda verilen eşitsizliği aralık gösterimiyle ifade ediniz ve sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
\[ x \ge 0 \]
\[ x \ge 0 \]
Çözüm:
- 📌 Bu eşitsizlik, \( x \) gerçek sayısının \( 0 \) veya \( 0 \) 'dan büyük tüm gerçek sayılar olduğunu belirtir. Yani, \( x \) sonsuza kadar gidebilir.
- 👉 Aralık gösterimi için, bir ucu sonsuz olan aralıklarda sonsuzluk işareti \( (\infty) \) kullanırız. Sonsuzluk her zaman açık aralık işareti (parantez) ile gösterilir. \( 0 \) dahil olduğu için köşeli parantez kullanılır.
- Aralık gösterimi: \( [0, \infty) \)
- 👉 Sayı doğrusu üzerinde gösterirken, \( 0 \) noktasının içini dolu bırakırız ve \( 0 \) noktasından sağa doğru (pozitif sonsuzluğa) uzanan kısmı kalın bir çizgiyle işaretleriz. Sağ uca bir ok işareti konulabilir.
- (Sayı doğrusu betimlemesi: Sayı doğrusu üzerinde \( 0 \) noktasının üzeri dolu bir daire ile işaretlenir ve bu daireden sağa doğru uzayan kısım kalın bir çizgiyle gösterilir, sağ uca bir ok işareti konulur.)
- ✅ Cevap: \( [0, \infty) \)
Örnek 5:
🤝 \( A = [-2, 6) \) ve \( B = (1, 8] \) aralıkları veriliyor. \( A \cap B \) kümesini bulunuz ve aralık gösterimiyle ifade ediniz.
Çözüm:
- 📌 Kesişim işlemi (\( \cap \)), her iki aralıkta da bulunan ortak elemanları ifade eder. Yani, hem \( A \) 'da hem de \( B \) 'de aynı anda yer alan sayıları arıyoruz.
- 👉 İki aralığın kesişimini bulurken, alt sınırlardan büyüğünü ve üst sınırlardan küçüğünü alırız.
- \( A \) aralığının alt sınırı \( -2 \), \( B \) aralığının alt sınırı \( 1 \). Bu ikisinden büyüğü \( 1 \)'dir.
- \( A \) aralığının üst sınırı \( 6 \), \( B \) aralığının üst sınırı \( 8 \). Bu ikisinden küçüğü \( 6 \)'dır.
- 👉 Şimdi uç noktaların dahil olup olmadığına bakalım:
- \( 1 \) sayısı \( A \) aralığında dahildir (\( -2 \le x \)), ancak \( B \) aralığında dahil değildir (\( 1 < x \)). Kesişimde bir tanesinde bile dahil değilse, sonuçta dahil değildir. Bu yüzden \( 1 \) dahil değil.
- \( 6 \) sayısı \( A \) aralığında dahil değildir (\( x < 6 \)), ancak \( B \) aralığında dahildir (\( x \le 8 \)). Kesişimde bir tanesinde bile dahil değilse, sonuçta dahil değildir. Bu yüzden \( 6 \) dahil değil.
- Bu durumda kesişim aralığı \( (1, 6) \) olur.
- ✅ Cevap: \( A \cap B = (1, 6) \)
Örnek 6:
➕ \( C = [0, 5) \) ve \( D = [3, 7] \) aralıkları veriliyor. \( C \cup D \) kümesini bulunuz ve aralık gösterimiyle ifade ediniz.
Çözüm:
- 📌 Birleşim işlemi (\( \cup \)), her iki aralıktaki tüm elemanları kapsayan en geniş aralığı ifade eder.
- 👉 İki aralığın birleşimini bulurken, alt sınırlardan küçüğünü ve üst sınırlardan büyüğünü alırız.
- \( C \) aralığının alt sınırı \( 0 \), \( D \) aralığının alt sınırı \( 3 \). Bu ikisinden küçüğü \( 0 \)'dır.
- \( C \) aralığının üst sınırı \( 5 \), \( D \) aralığının üst sınırı \( 7 \). Bu ikisinden büyüğü \( 7 \)'dir.
- 👉 Şimdi uç noktaların dahil olup olmadığına bakalım:
- \( 0 \) sayısı \( C \) aralığında dahildir (\( 0 \le x \)), dolayısıyla birleşimde dahildir.
- \( 7 \) sayısı \( D \) aralığında dahildir (\( x \le 7 \)), dolayısıyla birleşimde dahildir.
- Bu durumda birleşim aralığı \( [0, 7] \) olur.
- ✅ Cevap: \( C \cup D = [0, 7] \)
Örnek 7:
🧑🎓 Bir tiyatro oyununa giriş için yaş sınırının en az 12, en fazla 18 olduğu belirtilmiştir. Bu duruma uyan kişilerin yaş aralığını matematiksel olarak ifade ediniz.
Çözüm:
- 📌 Bu soruda, tiyatroya girebilecek kişilerin yaşları için bir alt sınır ve bir üst sınır verilmiştir.
- "En az 12" demek, yaşın \( 12 \) veya \( 12 \) 'den büyük olması demektir. Matematiksel olarak \( x \ge 12 \) şeklinde ifade edilir.
- "En fazla 18" demek, yaşın \( 18 \) veya \( 18 \) 'den küçük olması demektir. Matematiksel olarak \( x \le 18 \) şeklinde ifade edilir.
- 👉 Her iki koşulu da sağlayan yaş aralığı, bu iki eşitsizliğin birleşimidir: \( 12 \le x \le 18 \).
- 👉 Bu eşitsizliği aralık gösterimiyle ifade edersek, uç noktaların ( \( 12 \) ve \( 18 \) ) dahil olduğunu görürüz.
- Aralık gösterimi: \( [12, 18] \)
- ✅ Cevap: Tiyatroya giriş için uygun yaş aralığı \( [12, 18] \) 'dir.
Örnek 8:
➖ \( K = [-5, 10] \) ve \( L = (2, 7] \) aralıkları veriliyor. \( K \setminus L \) kümesini (K fark L) bulunuz ve aralık gösterimiyle ifade ediniz.
Çözüm:
- 📌 Fark işlemi (\( \setminus \)), \( K \) aralığında olup \( L \) aralığında olmayan elemanları ifade eder.
- 👉 Öncelikle \( L \) aralığını sayı doğrusunda düşünelim: \( (2, 7] \). Bu aralık, \( 2 \) dahil değil, \( 7 \) dahil olacak şekilde \( 2 \) ile \( 7 \) arasındaki tüm sayıları içerir.
- 👉 \( K \) aralığı \( [-5, 10] \) 'dur. Bu aralıktan \( L \) 'yi çıkarırsak, \( K \) aralığı genellikle iki parçaya ayrılır.
- 1. Parça: \( K \) 'nın başlangıcından \( L \) 'nin başlangıcına kadar olan kısım.
- \( K \) 'nın başlangıcı \( -5 \) (dahil).
- \( L \) 'nin başlangıcı \( 2 \) (dahil değil). \( K \setminus L \) 'de bu \( 2 \) değeri \( L \) 'de olmadığı için, \( K \setminus L \) kümesinde dahil olacaktır.
- Bu parça: \( [-5, 2] \)
- 2. Parça: \( L \) 'nin bitişinden \( K \) 'nın bitişine kadar olan kısım.
- \( L \) 'nin bitişi \( 7 \) (dahil). \( K \setminus L \) 'de bu \( 7 \) değeri \( L \) 'de olduğu için, \( K \setminus L \) kümesinde dahil olmayacaktır.
- \( K \) 'nın bitişi \( 10 \) (dahil).
- Bu parça: \( (7, 10] \)
- 👉 \( K \setminus L \) kümesi, bu iki aralığın birleşimidir.
- ✅ Cevap: \( K \setminus L = [-5, 2] \cup (7, 10] \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayi-araliklari/sorular