🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıkları İle Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayı Aralıkları İle Yapılan İşlemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen gerçek sayı aralığını sayı doğrusu üzerinde gösteriniz ve eşitsizlik ile küme sembolleriyle ifade ediniz:
\( [-3, 5] \)
\( [-3, 5] \)
Çözüm:
Bu aralık, \(-3\) ve \(5\) dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. 💡
- 👉 Sayı Doğrusu Gösterimi:
Sayı doğrusu üzerinde \(-3\) noktasını ve \(5\) noktasını dolu birer daire ile işaretleriz. Ardından bu iki nokta arasını kalın bir çizgiyle birleştiririz. Bu, aralığın uç noktalarını da içerdiğini gösterir. - 👉 Eşitsizlik Gösterimi:
Bu aralıktaki bir \(x\) gerçek sayısı için \(x\), \(-3\)'ten büyük veya eşit ve \(5\)'ten küçük veya eşit olmalıdır.
\[ -3 \le x \le 5 \] - 👉 Küme Gösterimi:
Bu aralık, \(-3\) ile \(5\) arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşur.
\[ \{x \mid x \in \mathbb{R}, -3 \le x \le 5\} \]
Örnek 2:
Aşağıda verilen gerçek sayı aralığını sayı doğrusu üzerinde gösteriniz ve eşitsizlik ile küme sembolleriyle ifade ediniz:
\( (-2, 4) \)
\( (-2, 4) \)
Çözüm:
Bu aralık, \(-2\) ve \(4\) hariç olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları ifade eder. 📌
- 👉 Sayı Doğrusu Gösterimi:
Sayı doğrusu üzerinde \(-2\) noktasını ve \(4\) noktasını boş birer daire ile işaretleriz. Ardından bu iki nokta arasını kalın bir çizgiyle birleştiririz. Bu, aralığın uç noktalarını içermediğini gösterir. - 👉 Eşitsizlik Gösterimi:
Bu aralıktaki bir \(x\) gerçek sayısı için \(x\), \(-2\)'den büyük ve \(4\)'ten küçük olmalıdır.
\[ -2 < x < 4 \] - 👉 Küme Gösterimi:
Bu aralık, \(-2\) ile \(4\) arasındaki tüm gerçek sayılardan oluşur.
\[ \{x \mid x \in \mathbb{R}, -2 < x < 4\} \]
Örnek 3:
Aşağıda verilen gerçek sayı aralıklarını sayı doğrusu üzerinde gösteriniz ve eşitsizlik ile küme sembolleriyle ifade ediniz:
a) \( [-1, 6) \)
b) \( (0, \infty) \)
a) \( [-1, 6) \)
b) \( (0, \infty) \)
Çözüm:
Bu örnekte yarı açık ve sonsuz aralıkları inceleyeceğiz. 🚀
- 👉 a) \( [-1, 6) \) İçin:
- Sayı Doğrusu Gösterimi: \(-1\) noktasını dolu daire, \(6\) noktasını boş daire ile işaretleyip arasını birleştiririz.
- Eşitsizlik Gösterimi: \( -1 \le x < 6 \)
- Küme Gösterimi: \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, -1 \le x < 6\} \)
- 👉 b) \( (0, \infty) \) İçin:
- Sayı Doğrusu Gösterimi: \(0\) noktasını boş daire ile işaretleyip sağa doğru (pozitif yöne) bir ok çizeriz. Sonsuzluk işareti, aralığın o yönde sınırsız devam ettiğini gösterir.
- Eşitsizlik Gösterimi: \( x > 0 \)
- Küme Gösterimi: \( \{x \mid x \in \mathbb{R}, x > 0\} \)
Örnek 4:
Aşağıda verilen \(A\) ve \(B\) gerçek sayı aralıklarının kesişimini (\(A \cap B\)) bulunuz ve sonucu aralık, eşitsizlik ve küme olarak ifade ediniz. Ayrıca sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
\( A = [-4, 5] \)
\( B = (2, 7) \)
\( A = [-4, 5] \)
\( B = (2, 7) \)
Çözüm:
İki aralığın kesişimi, her iki aralıkta da bulunan elemanların oluşturduğu kümedir. 🤝
- 👉 Sayı Doğrusunda Gösterim:
Önce \(A\) aralığını (\[-4, 5\]) ve \(B\) aralığını (\((2, 7)\)) ayrı ayrı sayı doğrusunda çizeriz. Daha sonra her iki çizginin üst üste geldiği kısmı belirleriz.
\(A\) aralığı \(-4\) dahil, \(5\) dahil.
\(B\) aralığı \(2\) hariç, \(7\) hariç.
Her ikisinin de ortak olduğu kısım \(2\) ile \(5\) arasıdır. \(2\), \(B\) aralığında olmadığı için kesişimde de yer almaz. \(5\), hem \(A\) hem de \(B\) aralığında olduğu için kesişimde yer alır. - 👉 Kesişim Aralık Gösterimi:
\(A \cap B = (2, 5]\) - 👉 Kesişim Eşitsizlik Gösterimi:
\[ 2 < x \le 5 \] - 👉 Kesişim Küme Gösterimi:
\[ \{x \mid x \in \mathbb{R}, 2 < x \le 5\} \]
Örnek 5:
Aşağıda verilen \(A\) ve \(B\) gerçek sayı aralıklarının birleşimini (\(A \cup B\)) bulunuz ve sonucu aralık, eşitsizlik ve küme olarak ifade ediniz. Ayrıca sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
\( A = [-3, 2) \)
\( B = [1, 6] \)
\( A = [-3, 2) \)
\( B = [1, 6] \)
Çözüm:
İki aralığın birleşimi, her iki aralıktaki tüm elemanların oluşturduğu kümedir. 🤝
- 👉 Sayı Doğrusunda Gösterim:
Önce \(A\) aralığını (\[-3, 2)) ve B aralığını (\[1, 6\]) ayrı ayrı sayı doğrusunda çizeriz. Daha sonra bu iki aralığın kapladığı toplam alanı belirleriz.
\(A\) aralığı \(-3\) dahil, \(2\) hariç.
\(B\) aralığı \(1\) dahil, \(6\) dahil.
Bu iki aralık birleştiğinde, en küçük eleman \(-3\) (dahil) ve en büyük eleman \(6\) (dahil) olur. Aradaki tüm sayılar da bu aralıklara dahildir. - 👉 Birleşim Aralık Gösterimi:
\(A \cup B = [-3, 6]\) - 👉 Birleşim Eşitsizlik Gösterimi:
\[ -3 \le x \le 6 \] - 👉 Birleşim Küme Gösterimi:
\[ \{x \mid x \in \mathbb{R}, -3 \le x \le 6\} \]
Örnek 6:
Aşağıda verilen \(A\) ve \(B\) gerçek sayı aralıkları için \(A \setminus B\) (A fark B) ve \(B \setminus A\) (B fark A) işlemlerinin sonucunu bulunuz. Sonuçları aralık olarak ifade ediniz.
\( A = [0, 10] \)
\( B = (3, 7] \)
\( A = [0, 10] \)
\( B = (3, 7] \)
Çözüm:
Aralık farkı, bir aralıkta olup diğerinde olmayan elemanları bulma işlemidir. 🧐
- 👉 \(A \setminus B\) (A fark B) için:
Bu, \(A\) aralığında olan ancak \(B\) aralığında olmayan elemanları ifade eder.
\(A = [0, 10]\) ve \(B = (3, 7]\) aralıklarını düşünelim. \(B\) aralığı \(3\)'ten büyük ve \(7\)'ye eşit veya küçük sayıları içerir. \(A\) aralığından bu kısmı çıkardığımızda, \(0\)'dan \(3\)'e kadar olan kısım kalır. \(3\), \(B\) aralığında olmadığı için \(A \setminus B\) içinde kalır. Ayrıca \(7\)'den \(10\)'a kadar olan kısım da kalır. \(7\), \(B\) aralığında olduğu için \(A \setminus B\) içinde yer almaz.
Sonuç: \(A \setminus B = [0, 3] \cup (7, 10]\)
- 👉 \(B \setminus A\) (B fark A) için:
Bu, \(B\) aralığında olan ancak \(A\) aralığında olmayan elemanları ifade eder.
\(B = (3, 7]\) ve \(A = [0, 10]\) aralıklarını düşünelim. \(B\) aralığının tüm elemanları, \(A\) aralığının da içindedir. Yani, \(B\) aralığında olup \(A\) aralığında olmayan hiçbir eleman yoktur.
Sonuç: \(B \setminus A = \emptyset\) (boş küme)
Örnek 7:
Bir akıllı telefon uygulaması, kullanıcının konumunu en fazla 50 metre hata payı ile belirlemektedir. Uygulama, kullanıcının koordinatlarını bir sayı doğrusu üzerinde \(1200\) metre olarak gösteriyorsa, kullanıcının gerçek konumunun alabileceği değerler aralığını aralık gösterimi, eşitsizlik gösterimi ve küme gösterimi ile ifade ediniz. 📱
Çözüm:
Bu soru, bir ölçüm hatası durumunda gerçek değerin hangi aralıkta olabileceğini belirlememizi istiyor.
- 👉 Verilen Bilgiler:
- Uygulamanın gösterdiği konum: \(1200\) metre
- Hata payı: En fazla \(50\) metre
- 👉 Gerçek Konumun Minimum Değeri:
Uygulamanın gösterdiği değerden hata payını çıkararak bulunur: \(1200 - 50 = 1150\) metre. - 👉 Gerçek Konumun Maksimum Değeri:
Uygulamanın gösterdiği değere hata payını ekleyerek bulunur: \(1200 + 50 = 1250\) metre. - 👉 Aralık Gösterimi:
Hata payı "en fazla" olduğu ve konum dahil olabileceği için aralık kapalıdır.
\[ [1150, 1250] \] - 👉 Eşitsizlik Gösterimi:
Gerçek konum \(x\) olmak üzere:
\[ 1150 \le x \le 1250 \] - 👉 Küme Gösterimi:
\[ \{x \mid x \in \mathbb{R}, 1150 \le x \le 1250\} \]
Örnek 8:
Bir sinema salonunda film izleyecek kişiler için yaş sınırı uygulaması bulunmaktadır. Bu salonda sadece 13 yaşından büyük veya eşit ve 18 yaşından küçük kişilerin filmi izlemesine izin verilmektedir. Bu yaş aralığını aralık gösterimi, eşitsizlik gösterimi ve küme gösterimi ile ifade ediniz. 🎬
Çözüm:
Bu örnek, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bir yaş sınırı uygulamasını matematiksel olarak ifade etmemizi sağlar.
- 👉 Verilen Bilgiler:
- Minimum yaş: 13 (dahil)
- Maksimum yaş: 18 (hariç)
- 👉 Aralık Gösterimi:
13 yaş dahil olduğu için köşeli parantez, 18 yaş hariç olduğu için normal parantez kullanılır.
\[ [13, 18) \] - 👉 Eşitsizlik Gösterimi:
Film izleyebilecek bir kişinin yaşı \(y\) olmak üzere:
\[ 13 \le y < 18 \] - 👉 Küme Gösterimi:
\[ \{y \mid y \in \mathbb{R}, 13 \le y < 18\} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayi-araliklari-ile-yapilan-islemler/sorular