🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometrik şekillerde öteleme Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometrik şekillerde öteleme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninin köşe koordinatları A(2, 3), B(5, 1) ve C(3, 6) olarak verilmiştir.
Bu üçgenin x ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ve y ekseni boyunca negatif yönde 2 birim ötelendiğinde oluşan A'B'C' üçgeninin köşe koordinatlarını bulunuz. 💡
Bu üçgenin x ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ve y ekseni boyunca negatif yönde 2 birim ötelendiğinde oluşan A'B'C' üçgeninin köşe koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
- Öteleme Vektörünü Belirleme: Öteleme, x ekseni boyunca +4 ve y ekseni boyunca -2 birim olarak tanımlanmıştır. Bu, öteleme vektörümüzün \( \vec{v} = (4, -2) \) olduğu anlamına gelir.
- A Noktasının Ötelenmesi: Orijinal A noktasının koordinatları \( A(2, 3) \). Öteleme vektörünü ekleyerek yeni A' noktasını buluruz: \( A'(2+4, 3+(-2)) = A'(6, 1) \).
- B Noktasının Ötelenmesi: Orijinal B noktasının koordinatları \( B(5, 1) \). Öteleme vektörünü ekleyerek yeni B' noktasını buluruz: \( B'(5+4, 1+(-2)) = B'(9, -1) \).
- C Noktasının Ötelenmesi: Orijinal C noktasının koordinatları \( C(3, 6) \). Öteleme vektörünü ekleyerek yeni C' noktasını buluruz: \( C'(3+4, 6+(-2)) = C'(7, 4) \).
- Sonuç: Ötelenen A'B'C' üçgeninin köşe koordinatları \( A'(6, 1), B'(9, -1) \) ve \( C'(7, 4) \) olur. ✅
Örnek 2:
Koordinat düzleminde verilen bir \( P(x, y) \) noktasının, \( \vec{u} = (-3, 5) \) öteleme vektörü ile ötelenmesi sonucu oluşan \( P'(-1, 7) \) noktasının orijinal \( P \) noktasının koordinatlarını bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Öteleme Formülü: Bir \( P(x, y) \) noktasının \( \vec{u} = (a, b) \) vektörü ile ötelenmesi sonucu oluşan \( P'(x', y') \) noktasının koordinatları \( x' = x + a \) ve \( y' = y + b \) formülü ile bulunur.
- Verilenleri Yerine Koyma: Bize \( P'(-1, 7) \) ve \( \vec{u} = (-3, 5) \) verilmiş. Orijinal \( P(x, y) \) noktasını arıyoruz.
- x Koordinatını Bulma: \( x' = x + a \) denkleminde verilenleri yerine koyarsak: \( -1 = x + (-3) \). Bu denklemi \( x \) için çözersek: \( x = -1 + 3 = 2 \).
- y Koordinatını Bulma: \( y' = y + b \) denkleminde verilenleri yerine koyarsak: \( 7 = y + 5 \). Bu denklemi \( y \) için çözersek: \( y = 7 - 5 = 2 \).
- Sonuç: Orijinal \( P \) noktasının koordinatları \( P(2, 2) \) olur. 👉
Örnek 3:
Bir kare, \( \vec{v} = (2, -3) \) öteleme vektörü ile öteleniyor. Karenin köşelerinden birinin öteleme sonrası yeni konumu \( (4, 1) \) olduğuna göre, öteleme öncesi bu köşenin konumu nedir? 🔳
Çözüm:
- Ters Öteleme Mantığı: Bir noktayı bir vektörle ötelemek, o noktaya vektörün bileşenlerini eklemektir. Tersine, öteleme sonrası noktadan öteleme vektörünün bileşenlerini çıkarırsak orijinal noktayı buluruz.
- Verilenler: Öteleme sonrası konum \( (4, 1) \) ve öteleme vektörü \( \vec{v} = (2, -3) \).
- x Koordinatını Hesaplama: Öteleme öncesi x koordinatı = Öteleme sonrası x koordinatı - Öteleme vektörünün x bileşeni. \( 4 - 2 = 2 \).
- y Koordinatını Hesaplama: Öteleme öncesi y koordinatı = Öteleme sonrası y koordinatı - Öteleme vektörünün y bileşeni. \( 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 \).
- Sonuç: Öteleme öncesi bu köşenin konumu \( (2, 4) \) idi. 📌
Örnek 4:
Bir teknoloji fuarında sergilenen bir robot kol, başlangıçta \( O(0, 0) \) noktasında durmaktadır. Robot kol, önce x ekseni boyunca 5 birim sağa, sonra y ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleniyor. Ardından, bu yeni konumundan tekrar x ekseni boyunca 2 birim sola ve y ekseni boyunca 1 birim aşağı öteleniyor. Robot kolun son konumu hangi noktada olur? 🤖
Çözüm:
- Adım 1: İlk Öteleme
Başlangıç konumu \( O(0, 0) \).
x ekseni boyunca 5 birim sağa öteleme: \( (0+5, 0) = (5, 0) \).
y ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleme: \( (5, 0+3) = (5, 3) \).
İlk öteleme sonrası konum \( P_1(5, 3) \). - Adım 2: İkinci Öteleme
Bu yeni konum \( P_1(5, 3) \) üzerinden devam ediyoruz.
x ekseni boyunca 2 birim sola öteleme: \( (5+(-2), 3) = (3, 3) \).
y ekseni boyunca 1 birim aşağı öteleme: \( (3, 3+(-1)) = (3, 2) \). - Sonuç: Robot kolun son konumu \( (3, 2) \) noktasıdır. ✨
Örnek 5:
Bir harita uygulamasında, evinizin konumu \( E(10, 20) \) olarak işaretlenmiştir. Marketin konumu ise evinizden x ekseni boyunca 7 birim sağa ve y ekseni boyunca 5 birim aşağıda yer almaktadır. Marketin koordinatlarını bulunuz. 🛒
Çözüm:
- Evin Konumu: \( E(10, 20) \).
- Marketin Konumu İçin Öteleme:
x ekseni boyunca 7 birim sağa öteleme, x koordinatına 7 eklemek demektir: \( 10 + 7 = 17 \).
y ekseni boyunca 5 birim aşağı öteleme, y koordinatından 5 çıkarmak demektir: \( 20 - 5 = 15 \). - Marketin Koordinatları: Bu ötelemeler sonucunda marketin konumu \( M(17, 15) \) olur. 📍
Örnek 6:
Bir \( \triangle ABC \) üçgeninin köşe noktaları \( A(-1, 4), B(2, 1), C(0, -3) \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin y ekseni boyunca pozitif yönde 5 birim ötelenmesiyle oluşan \( \triangle A'B'C' \) üçgeninin köşe koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
- Öteleme Vektörü: Üçgen y ekseni boyunca pozitif yönde 5 birim öteleniyor. Bu, öteleme vektörümüzün \( \vec{v} = (0, 5) \) olduğu anlamına gelir.
- A Noktasının Ötelenmesi: \( A(-1, 4) \) noktasını \( (0, 5) \) vektörü ile öteliyoruz: \( A'(-1+0, 4+5) = A'(-1, 9) \).
- B Noktasının Ötelenmesi: \( B(2, 1) \) noktasını \( (0, 5) \) vektörü ile öteliyoruz: \( B'(2+0, 1+5) = B'(2, 6) \).
- C Noktasının Ötelenmesi: \( C(0, -3) \) noktasını \( (0, 5) \) vektörü ile öteliyoruz: \( C'(0+0, -3+5) = C'(0, 2) \).
- Sonuç: Ötelenen \( \triangle A'B'C' \) üçgeninin köşe koordinatları \( A'(-1, 9), B'(2, 6) \) ve \( C'(0, 2) \) olur. 🌟
Örnek 7:
Bir \( ABCD \) paralelkenarının ardışık köşe koordinatları \( A(1, 2) \) ve \( B(4, 5) \) olarak verilmiştir. Eğer bu paralelkenar, \( \vec{u} = (-2, 1) \) öteleme vektörü ile ötelenirse, oluşan \( A'B'C'D' \) paralelkenarının \( A' \) ve \( B' \) köşelerinin koordinatları ne olur? 🔲
Çözüm:
- Öteleme Vektörü: \( \vec{u} = (-2, 1) \).
- A Noktasının Ötelenmesi: Orijinal \( A(1, 2) \) noktasını \( (-2, 1) \) vektörü ile öteliyoruz: \( A'(1+(-2), 2+1) = A'(-1, 3) \).
- B Noktasının Ötelenmesi: Orijinal \( B(4, 5) \) noktasını \( (-2, 1) \) vektörü ile öteliyoruz: \( B'(4+(-2), 5+1) = B'(2, 6) \).
- Sonuç: Ötelenen paralelkenarın \( A' \) köşesi \( (-1, 3) \) ve \( B' \) köşesi \( (2, 6) \) noktalarında olur. Bu bilgi, paralelkenarın diğer köşelerini bulmak için de kullanılabilir. 💡
Örnek 8:
Bir bilgisayar oyununda, bir karakter başlangıçta \( K(3, 3) \) noktasındadır. Oyuncu, karakteri önce \( \vec{v_1} = (2, -1) \) öteleme vektörü ile hareket ettiriyor. Ardından, karakterin yeni konumundan \( \vec{v_2} = (-4, 3) \) öteleme vektörü ile tekrar hareket etmesini sağlıyor. Karakterin son konumu hangi noktada olur? 🎮
Çözüm:
- İlk Hareket: Başlangıç konumu \( K(3, 3) \). İlk öteleme vektörü \( \vec{v_1} = (2, -1) \).
İlk hareket sonrası konum \( K'(3+2, 3+(-1)) = K'(5, 2) \). - İkinci Hareket: Karakterin yeni konumu \( K'(5, 2) \). İkinci öteleme vektörü \( \vec{v_2} = (-4, 3) \).
Son konum \( K''(5+(-4), 2+3) = K''(1, 5) \). - Alternatif Yöntem (Toplam Öteleme): İki öteleme vektörünü toplayarak toplam öteleme vektörünü bulabiliriz: \( \vec{v_{toplam}} = \vec{v_1} + \vec{v_2} = (2, -1) + (-4, 3) = (2-4, -1+3) = (-2, 2) \).
Başlangıç konumunu bu toplam vektörle öteleyerek son konumu bulabiliriz: \( K_{son}(3+(-2), 3+2) = K_{son}(1, 5) \). - Sonuç: Karakterin son konumu \( (1, 5) \) noktasıdır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometrik-sekillerde-oteleme/sorular