🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometrik şekiller ve eşitsizlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometrik şekiller ve eşitsizlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu 7 cm, BC kenarının uzunluğu 10 cm'dir.
Bu üçgende AC kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
Bu üçgende AC kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır.
- Uygulama: Üçgenin kenarları a, b, c olsun. Bu kurala göre:
- a + b > c
- a + c > b
- b + c > a
- Verilen Kenarlar: AB = 7 cm, BC = 10 cm. AC kenarına x diyelim.
- Eşitsizlikler:
- 7 + 10 > x => 17 > x
- 7 + x > 10 => x > 3
- 10 + x > 7 => x > -3 (Bu eşitsizlik zaten x > 3 tarafından kapsanır)
- Sonuç: x'in alabileceği değerler 3 < x < 17 aralığındadır.
- Tam Sayı Değerleri: x'in alabileceği tam sayılar 4, 5, 6, ..., 16'dır.
- Toplam: Bu ardışık sayıların toplamını bulmak için (ilk terim + son terim) * (terim sayısı / 2) formülünü kullanabiliriz.
- Terim sayısı = 16 - 4 + 1 = 13
- Toplam = (4 + 16) (13 / 2) = 20 6.5 = 130
- Cevap: AC kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 130'dur. 💡
Örnek 2:
Bir ABCD dörtgeninde AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm'dir.
Bu dörtgende AD kenarının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerleri arasındaki fark kaçtır?
Bu dörtgende AD kenarının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerleri arasındaki fark kaçtır?
Çözüm:
- Dörtgen Eşitsizliği: Bir dörtgende herhangi üç kenarın uzunlukları toplamı, dördüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır.
- Uygulama: Dörtgenin kenarları a, b, c, d olsun.
- a + b + c > d
- a + b + d > c
- a + c + d > b
- b + c + d > a
- Verilen Kenarlar: AB = 5, BC = 8, CD = 6. AD kenarına y diyelim.
- En Küçük Değer İçin Eşitsizlik:
- 5 + 8 + 6 > y => 19 > y
- En Büyük Değer İçin Eşitsizlik:
- En büyük kenar, diğer üç kenarın toplamından küçük olmalıdır.
- y + 5 + 8 > 6 => y + 13 > 6 => y > -7 (Bu eşitsizlik y > 0 tarafından kapsanır)
- y + 5 + 6 > 8 => y + 11 > 8 => y > -3 (Bu eşitsizlik y > 0 tarafından kapsanır)
- y + 8 + 6 > 5 => y + 14 > 5 => y > -9 (Bu eşitsizlik y > 0 tarafından kapsanır)
- Ayrıca, bir kenarın uzunluğu negatif olamaz, yani y > 0 olmalıdır.
- Sonuç: y'nin alabileceği değerler 0 < y < 19 aralığındadır.
- En Küçük Tam Sayı Değeri: y = 1
- En Büyük Tam Sayı Değeri: y = 18
- Fark: 18 - 1 = 17
- Cevap: AD kenarının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerleri arasındaki fark 17'dir. 🧐
Örnek 3:
Bir parkta bulunan A, B ve C noktaları bir üçgen oluşturmaktadır. A noktasından B noktasına giden bir yol 120 metre, B noktasından C noktasına giden bir yol 150 metredir.
Bu iki yol arasındaki açı 60 derecedir.
A noktasından C noktasına doğrudan bir yol yapılması planlanmaktadır. Bu yolun uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin kaç farklı seçenek sunduğunu bulunuz.
Bu iki yol arasındaki açı 60 derecedir.
A noktasından C noktasına doğrudan bir yol yapılması planlanmaktadır. Bu yolun uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin kaç farklı seçenek sunduğunu bulunuz.
Çözüm:
- Konsept: Bu soruda üçgen eşitsizliği ve Cosinüs Teoremi'nin temel mantığı kullanılır. Ancak 9. sınıf müfredatında Cosinüs Teoremi olmadığı için, sadece üçgen eşitsizliği ile çözülebilecek bir sınır belirleyeceğiz.
- Üçgen Eşitsizliği: Üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük ve toplamından küçük olmalıdır.
- Verilenler: AB = 120 m, BC = 150 m. AC kenarına z diyelim.
- Eşitsizlik:
- |150 - 120| < z < 150 + 120
- 30 < z < 270
- Açı Bilgisi: Açı bilgisi (60 derece), z'nin 30 ile 270 arasında olmasını garanti eder ve aslında z'nin daha dar bir aralıkta olacağını söyler. Ancak 9. sınıf seviyesinde bu açı bilgisini kullanarak kesin bir uzunluk hesaplamak yerine, sadece üçgen eşitsizliği ile olası aralığı bulmak yeterlidir.
- Tam Sayı Değerleri: z'nin alabileceği tam sayılar 31, 32, ..., 269'dur.
- Farklı Seçenek Sayısı: Bu aralıktaki tam sayıların sayısını bulmak için:
- Terim Sayısı = Son Terim - İlk Terim + 1
- Terim Sayısı = 269 - 31 + 1 = 239
- Cevap: A noktasından C noktasına yapılacak yolun uzunluğu için 239 farklı tam sayı seçeneği bulunmaktadır. 📏
Örnek 4:
Bir terzi, elindeki kumaştan bir masa örtüsü dikecektir. Masa örtüsünün kenar uzunlukları 1.5 metre ve 2 metre olarak belirlenmiştir.
Bu masa örtüsünün köşegen uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. (Masa örtüsünün dikdörtgen olduğunu varsayalım.)
Bu masa örtüsünün köşegen uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. (Masa örtüsünün dikdörtgen olduğunu varsayalım.)
Çözüm:
- Konsept: Dikdörtgenin köşegen uzunluğu, Pisagor Teoremi ile bulunur. Ancak 9. sınıf müfredatında Pisagor Teoremi henüz işlenmediği için, bu soruyu üçgen eşitsizliği ile çözebileceğimiz bir sınırlandırma ile ele alacağız.
- Üçgen Eşitsizliği: Dikdörtgenin kenarlarıyla köşegeni bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende köşegen, en uzun kenardır. Üçgen eşitsizliği gereği, köşegen uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
- Verilenler: Kenar 1 = 1.5 m, Kenar 2 = 2 m. Köşegen uzunluğuna k diyelim.
- Eşitsizlik:
- k < 1.5 + 2
- k < 3.5
- Ayrıca, köşegen uzunluğu en kısa kenardan büyük olmalıdır (dik üçgenin mantığı gereği):
- k > 1.5
- Sonuç: Köşegen uzunluğu k, 1.5 < k < 3.5 aralığındadır.
- Tam Sayı Değerleri: k'nin alabileceği tam sayı değeri sadece 2 ve 3'tür. (1.5'ten büyük ve 3.5'ten küçük tam sayılar)
- Toplam: 2 + 3 = 5
- Cevap: Masa örtüsünün köşegen uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir. 🏠
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 8 birim, BC kenarı 5 birimdir.
Bu üçgende AC kenarının uzunluğu tam sayı ise, AC kenarının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Bu üçgende AC kenarının uzunluğu tam sayı ise, AC kenarının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük ve toplamından küçük olmalıdır.
- Verilenler: AB = 8, BC = 5. AC kenarına x diyelim.
- Eşitsizlik:
- |8 - 5| < x < 8 + 5
- 3 < x < 13
- Tam Sayı Değerleri: x'in alabileceği tam sayılar 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12'dir.
- Farklı Değer Sayısı: Bu aralıktaki tam sayıların sayısını bulmak için:
- Terim Sayısı = Son Terim - İlk Terim + 1
- Terim Sayısı = 12 - 4 + 1 = 9
- Cevap: AC kenarının alabileceği 9 farklı tam sayı değeri vardır. ✅
Örnek 6:
Bir bahçenin etrafına tel çekilecektir. Bahçenin kenar uzunlukları sırasıyla 20 metre, 25 metre, 30 metre ve 35 metredir.
Bu telin uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değeri arasındaki fark kaçtır? (Bahçenin dörtgen olduğunu varsayalım.)
Bu telin uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değeri arasındaki fark kaçtır? (Bahçenin dörtgen olduğunu varsayalım.)
Çözüm:
- Dörtgen Eşitsizliği: Bir dörtgende bir kenarın uzunluğu, diğer üç kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
- Verilenler: Kenarlar 20, 25, 30, 35 metre. Telin uzunluğu (dördüncü kenar) y olsun.
- En Küçük Değer İçin Eşitsizlik:
- En uzun kenar, diğer üç kenarın toplamından küçük olmalıdır.
- 35 < 20 + 25 + 30
- 35 < 75 (Bu eşitsizlik sağlanır.)
- Bu kural bize bir kenarın diğer üç kenarın toplamından küçük olması gerektiğini söyler.
- En Büyük Değer İçin Eşitsizlik:
- Tel uzunluğu (y), diğer üç kenarın toplamından küçük olmalıdır.
- y < 20 + 25 + 30
- y < 75
- En Küçük Değer İçin Eşitsizlik:
- Herhangi bir kenar, diğer üç kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
- 20 < 25 + 30 + y => 20 < 55 + y => y > -35 (y pozitif olmalı)
- 25 < 20 + 30 + y => 25 < 50 + y => y > -25 (y pozitif olmalı)
- 30 < 20 + 25 + y => 30 < 45 + y => y > -15 (y pozitif olmalı)
- Ayrıca, bir kenarın uzunluğu negatif olamaz, yani y > 0 olmalıdır.
- Sonuç: y'nin alabileceği değerler 0 < y < 75 aralığındadır.
- En Küçük Tam Sayı Değeri: y = 1
- En Büyük Tam Sayı Değeri: y = 74
- Fark: 74 - 1 = 73
- Cevap: Telin uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değeri arasındaki fark 73 metredir. 🌳
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir köprü ayakları arasındaki mesafeyi hesaplamaktadır. İki ayak arasındaki en kısa mesafe 50 metre, en uzun mesafe ise 120 metredir.
Bu iki ayak arasındaki mesafenin (köprü ayağının uzunluğu) alabileceği tam sayı değerlerinin kaç farklı seçenek sunduğunu bulunuz.
Bu iki ayak arasındaki mesafenin (köprü ayağının uzunluğu) alabileceği tam sayı değerlerinin kaç farklı seçenek sunduğunu bulunuz.
Çözüm:
- Konsept: Bu soru, üçgen eşitsizliğinin bir uygulamasını temsil eder. İki ayak ve köprü ayağı bir üçgen oluşturur.
- Üçgen Eşitsizliği: Üçgenin bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük ve toplamından küçük olmalıdır.
- Verilenler: En kısa mesafe = 50 m, En uzun mesafe = 120 m. Köprü ayağının uzunluğuna p diyelim.
- Eşitsizlik:
- |120 - 50| < p < 120 + 50
- 70 < p < 170
- Tam Sayı Değerleri: p'nin alabileceği tam sayılar 71, 72, ..., 169'dur.
- Farklı Seçenek Sayısı: Bu aralıktaki tam sayıların sayısını bulmak için:
- Terim Sayısı = Son Terim - İlk Terim + 1
- Terim Sayısı = 169 - 71 + 1 = 99
- Cevap: Köprü ayağının uzunluğu için 99 farklı tam sayı seçeneği bulunmaktadır. 🏗️
Örnek 8:
Bir bisikletlinin iki şehir arasındaki mesafeyi kat etmesi gerekmektedir. Birinci şehir ile ikinci şehir arasındaki yol 80 km, ikinci şehir ile üçüncü şehir arasındaki yol 110 km'dir.
Bu bisikletlinin birinci şehirden üçüncü şehre doğrudan gitmesi durumunda, bu yolun uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
Bu bisikletlinin birinci şehirden üçüncü şehre doğrudan gitmesi durumunda, bu yolun uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
- Konsept: Bu durum, üçgen eşitsizliği ile modellenebilir. Üç şehir bir üçgenin köşeleri olarak düşünülebilir.
- Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük ve toplamından küçük olmalıdır.
- Verilenler: Şehir 1-2 arası = 80 km, Şehir 2-3 arası = 110 km. Şehir 1-3 arası yolun uzunluğuna y diyelim.
- Eşitsizlik:
- |110 - 80| < y < 110 + 80
- 30 < y < 190
- Tam Sayı Değerleri: y'nin alabileceği tam sayılar 31, 32, ..., 189'dur.
- Toplam: Bu ardışık sayıların toplamını bulmak için (ilk terim + son terim) * (terim sayısı / 2) formülünü kullanabiliriz.
- Terim sayısı = 189 - 31 + 1 = 159
- Toplam = (31 + 189) (159 / 2) = 220 79.5 = 17490
- Cevap: Birinci şehirden üçüncü şehre doğrudan gidilecek yolun uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 17490 km'dir. 🚴
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometrik-sekiller-ve-esitsizlik/sorular