🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometrik Dönüşümler Öteleme Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometrik Dönüşümler Öteleme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir \( A \) noktası \( (3, 5) \) koordinatlarına sahiptir. Bu nokta x ekseni boyunca 2 birim sağa ve y ekseni boyunca 4 birim aşağı ötelenirse yeni koordinatları ne olur?
Çözüm:
- 📌 Öteleme dönüşümünde, bir noktanın x koordinatı sağa ötelemede artırılır, sola ötelemede azaltılır. Y koordinatı ise yukarı ötelemede artırılır, aşağı ötelemede azaltılır.
- Başlangıç noktası: \( A = (3, 5) \)
- X ekseni boyunca 2 birim sağa öteleme demek, x koordinatına 2 eklemek demektir. 👉 \( 3 + 2 = 5 \)
- Y ekseni boyunca 4 birim aşağı öteleme demek, y koordinatından 4 çıkarmak demektir. 👉 \( 5 - 4 = 1 \)
- Yeni noktanın koordinatları \( A' = (5, 1) \) olur. ✅
Örnek 2:
\( B = (-2, 7) \) noktası, x ekseni boyunca 3 birim sola ve y ekseni boyunca 1 birim yukarı öteleniyor. Oluşan \( B' \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
- Başlangıç noktası: \( B = (-2, 7) \)
- X ekseni boyunca 3 birim sola öteleme demek, x koordinatından 3 çıkarmak demektir. 👉 \( -2 - 3 = -5 \)
- Y ekseni boyunca 1 birim yukarı öteleme demek, y koordinatına 1 eklemek demektir. 👉 \( 7 + 1 = 8 \)
- Yeni noktanın koordinatları \( B' = (-5, 8) \) olur. ✅
Örnek 3:
Köşeleri \( C = (1, 2) \) ve \( D = (4, 0) \) olan bir CD doğru parçası, x ekseni boyunca 2 birim sola ve y ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleniyor. Oluşan yeni doğru parçasının uç noktalarının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Bir şeklin ötelenmesi için, şekli oluşturan her bir noktanın ayrı ayrı ötelenmesi gerekir.
- Öteleme kuralı: \( (x, y) \to (x - 2, y + 3) \)
- C noktasının ötelenmesi:
- Başlangıç noktası: \( C = (1, 2) \)
- X koordinatı: \( 1 - 2 = -1 \)
- Y koordinatı: \( 2 + 3 = 5 \)
- Yeni C noktası: \( C' = (-1, 5) \)
- D noktasının ötelenmesi:
- Başlangıç noktası: \( D = (4, 0) \)
- X koordinatı: \( 4 - 2 = 2 \)
- Y koordinatı: \( 0 + 3 = 3 \)
- Yeni D noktası: \( D' = (2, 3) \)
- Ötelenmiş doğru parçasının uç noktaları \( C' = (-1, 5) \) ve \( D' = (2, 3) \) olur. ✅
Örnek 4:
Köşe koordinatları \( K = (0, 0) \), \( L = (3, 0) \) ve \( M = (0, 4) \) olan bir KLM üçgeni, x ekseni boyunca 1 birim sağa ve y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleniyor. Oluşan \( K'L'M' \) üçgeninin köşe koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
- Öteleme kuralı: \( (x, y) \to (x + 1, y - 2) \)
- K noktasının ötelenmesi:
- \( K = (0, 0) \to K' = (0 + 1, 0 - 2) = (1, -2) \)
- L noktasının ötelenmesi:
- \( L = (3, 0) \to L' = (3 + 1, 0 - 2) = (4, -2) \)
- M noktasının ötelenmesi:
- \( M = (0, 4) \to M' = (0 + 1, 4 - 2) = (1, 2) \)
- Ötelenmiş üçgenin köşe koordinatları \( K' = (1, -2) \), \( L' = (4, -2) \) ve \( M' = (1, 2) \) olur. ✅
Örnek 5:
Bir \( P \) noktası, x ekseni boyunca 5 birim sola ve y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelendiğinde \( P' = (-1, 6) \) noktası elde ediliyor. Buna göre \( P \) noktasının başlangıç koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
- Öteleme kuralı: \( (x, y) \to (x - 5, y + 3) \)
- Ötelenmiş nokta: \( P' = (-1, 6) \)
- Başlangıç noktası \( P = (x_0, y_0) \) olsun.
- X koordinatı için denklemi kuralım: \( x_0 - 5 = -1 \)
- \( x_0 = -1 + 5 = 4 \)
- Y koordinatı için denklemi kuralım: \( y_0 + 3 = 6 \)
- \( y_0 = 6 - 3 = 3 \)
- Başlangıç noktası \( P = (4, 3) \) olur. ✅
- 💡 İpucu: Öteleme işleminin tersini yaparak başlangıç noktasına ulaşabilirsiniz. Yani, 5 birim sağa ve 3 birim aşağı öteleme yapın.
Örnek 6:
Bir \( R = (a, b) \) noktası önce x ekseni boyunca 4 birim sağa, ardından y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleniyor. Elde edilen son nokta \( R'' = (7, -1) \) olduğuna göre, başlangıçtaki \( R \) noktasının koordinatları toplamı \( a+b \) kaçtır?
Çözüm:
- Başlangıç noktası: \( R = (a, b) \)
- 1. Adım: X ekseni boyunca 4 birim sağa öteleme
- Bu öteleme sonucunda nokta \( R' = (a + 4, b) \) olur.
- 2. Adım: Y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleme
- \( R' \) noktasını y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleyelim: \( R'' = (a + 4, b - 2) \)
- Bize verilen son nokta \( R'' = (7, -1) \). Bu iki noktayı eşitleyelim:
- X koordinatları için: \( a + 4 = 7 \) 👉 \( a = 7 - 4 = 3 \)
- Y koordinatları için: \( b - 2 = -1 \) 👉 \( b = -1 + 2 = 1 \)
- Başlangıçtaki \( R \) noktası \( (3, 1) \) imiş.
- Koordinatları toplamı \( a + b = 3 + 1 = 4 \) olur. ✅
Örnek 7:
Bir robot, koordinat düzleminde bulunduğu noktadan her seferinde belirli bir kurala göre hareket etmektedir. Robot başlangıçta \( (1, 2) \) noktasındadır. İlk hamlesinde x ekseni boyunca 3 birim sağa ve y ekseni boyunca 1 birim yukarı hareket ediyor. İkinci hamlesinde ise x ekseni boyunca 2 birim sola ve y ekseni boyunca 4 birim aşağı hareket ediyor. Robotun son konumu hangi noktadır?
Çözüm:
- Başlangıç noktası: \( R_0 = (1, 2) \)
- 1. Hamle (Öteleme 1): X ekseni boyunca 3 birim sağa, Y ekseni boyunca 1 birim yukarı.
- \( R_1 = (1 + 3, 2 + 1) = (4, 3) \)
- 2. Hamle (Öteleme 2): X ekseni boyunca 2 birim sola, Y ekseni boyunca 4 birim aşağı.
- \( R_2 = (4 - 2, 3 - 4) = (2, -1) \)
- Robotun son konumu \( (2, -1) \) noktasıdır. ✅
- 📌 Not: Bu tür ardışık ötelemeler, tek bir bileşke öteleme olarak da düşünülebilir. Toplamda x ekseninde \( 3 - 2 = 1 \) birim sağa, y ekseninde \( 1 - 4 = -3 \) birim (yani 3 birim aşağı) öteleme yapılmıştır. Başlangıç noktasına bu bileşke ötelemeyi uygulayarak da sonuca ulaşabiliriz: \( (1 + 1, 2 - 3) = (2, -1) \).
Örnek 8:
Bir mobilya ustası, dikdörtgen şeklindeki bir masayı atölyesinde bir yerden başka bir yere sürükleyerek taşıyor. Masanın sol ön ayağının başlangıç konumu \( (5, 8) \) noktasındadır. Usta masayı x ekseni boyunca 3 birim sola ve y ekseni boyunca 2 birim yukarı taşıdığına göre, masanın sol ön ayağının yeni konumu hangi noktada olur?
Çözüm:
- Masanın sol ön ayağının başlangıç konumu: \( A = (5, 8) \)
- Uygulanan öteleme:
- X ekseni boyunca 3 birim sola öteleme demek, x koordinatından 3 çıkarmak demektir. 👉 \( 5 - 3 = 2 \)
- Y ekseni boyunca 2 birim yukarı öteleme demek, y koordinatına 2 eklemek demektir. 👉 \( 8 + 2 = 10 \)
- Masanın sol ön ayağının yeni konumu \( A' = (2, 10) \) noktasında olur. ✅
- 💡 Öteleme, bir nesnenin konumunu değiştirmesi ancak şeklini, boyutunu veya yönünü değiştirmemesi anlamına gelir. Masa taşınırken şekli bozulmaz, sadece yeri değişir. Bu durum günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bir geometrik dönüşüm örneğidir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometrik-donusumler-oteleme/sorular