💡 9. Sınıf Matematik: Geometrik Dönüşüm Çözümlü Örnekler

Bu soruda bir noktanın öteleme dönüşümünü uygulayacağız. Öteleme, bir şeklin veya noktanın konumunu değiştirmeden, belirli bir yönde ve mesafede kaydırma işlemidir.

• 👉 Başlangıç Noktası: A(3, -2)
• 👉 X Ekseni Boyunca Öteleme: 4 birim sağa demek, x koordinatına 4 eklemek demektir.
• 👉 Y Ekseni Boyunca Öteleme: 3 birim yukarı demek, y koordinatına 3 eklemek demektir.

Şimdi bu adımları uygulayalım:

• 1. x koordinatı için: Başlangıç x koordinatı 3 idi. 4 birim sağa ötelendiğinde yeni x koordinatı \(3 + 4 = 7\) olur.
• 2. y koordinatı için: Başlangıç y koordinatı -2 idi. 3 birim yukarı ötelendiğinde yeni y koordinatı \(-2 + 3 = 1\) olur.
• 3. Yeni Nokta: Bu durumda, ötelenmiş yeni nokta \(A'\) nün koordinatları \((7, 1)\) olarak bulunur.

✅ Yani, A(3, -2) noktasının ötelenmesiyle oluşan yeni nokta A'(7, 1)'dir.

Bu soruda bir noktanın eksenlere göre yansıma dönüşümünü uygulayacağız. Yansıma (simetri), bir noktanın veya şeklin bir doğruya (yansıma ekseni) göre ayna görüntüsünü alma işlemidir.

• 📌 Başlangıç Noktası: B(-5, 6)

a) x eksenine göre yansıma:

• 1. Bir noktanın x eksenine göre yansımasında x koordinatı değişmez, y koordinatı işaret değiştirir.
• 2. Başlangıç noktası B(-5, 6) olduğuna göre, x koordinatı -5 olarak kalır.
• 3. y koordinatı 6 iken işaret değiştirerek -6 olur.
• 4. Bu durumda, x eksenine göre yansıması olan nokta \(B_x'\) nün koordinatları \((-5, -6)\) olarak bulunur.

✅ Yani, B(-5, 6) noktasının x eksenine göre yansıması \(B_x'(-5, -6)\)'dir. b) y eksenine göre yansıma:

• 1. Bir noktanın y eksenine göre yansımasında y koordinatı değişmez, x koordinatı işaret değiştirir.
• 2. Başlangıç noktası B(-5, 6) olduğuna göre, y koordinatı 6 olarak kalır.
• 3. x koordinatı -5 iken işaret değiştirerek 5 olur.
• 4. Bu durumda, y eksenine göre yansıması olan nokta \(B_y'\) nün koordinatları \((5, 6)\) olarak bulunur.

✅ Yani, B(-5, 6) noktasının y eksenine göre yansıması \(B_y'(5, 6)\)'dir.

Bu soruda bir noktanın orijin etrafında dönme dönüşümünü uygulayacağız. Dönme, bir noktanın veya şeklin sabit bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açı kadar döndürülmesi işlemidir.

• 📌 Başlangıç Noktası: C(4, -1)
• 📌 Dönme Merkezi: Orijin (0, 0)
• 📌 Dönme Açısı ve Yönü: Pozitif yönde 90 derece (saat yönünün tersine).

Bir noktanın \((x, y)\) orijin etrafında pozitif yönde 90 derece döndürülmesiyle oluşan yeni noktanın koordinatları \((-y, x)\) formülü ile bulunur. Şimdi bu kuralı C(4, -1) noktasına uygulayalım:

• 1. Başlangıç noktamız C(x, y) = C(4, -1) olduğuna göre, \(x = 4\) ve \(y = -1\)'dir.
• 2. Yeni noktanın x koordinatı \(-y\) olmalıdır. Yani \(-(-1) = 1\).
• 3. Yeni noktanın y koordinatı \(x\) olmalıdır. Yani \(4\).
• 4. Bu durumda, dönme sonrası oluşan yeni nokta \(C'\) nün koordinatları \((1, 4)\) olarak bulunur.

✅ Yani, C(4, -1) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 90 derece döndürülmesiyle oluşan yeni nokta C'(1, 4)'tür.

Bu soruda ardışık iki geometrik dönüşüm uygulayacağız: önce öteleme, sonra yansıma.

• 📌 Başlangıç Noktası: D(-2, 5)

1. Adım: Öteleme

• 👉 D noktasını x ekseni boyunca 3 birim sola öteleyeceğiz.
• 👉 3 birim sola öteleme demek, x koordinatından 3 çıkarmak demektir.
• 👉 Yeni x koordinatı: \(-2 - 3 = -5\)
• 👉 y koordinatı öteleme sırasında değişmez, yani 5 olarak kalır.
• 👉 Öteleme sonrası oluşan yeni nokta \(D'\) nün koordinatları \((-5, 5)\) olur.

2. Adım: Yansıma

• 👉 Şimdi \(D'(-5, 5)\) noktasını y eksenine göre yansıtacağız.
• 👉 Bir noktanın y eksenine göre yansımasında y koordinatı değişmez, x koordinatı işaret değiştirir.
• 👉 \(D'(-5, 5)\) noktasının x koordinatı -5 iken işaret değiştirerek 5 olur.
• 👉 y koordinatı 5 olarak kalır.
• 👉 Yansıma sonrası oluşan son nokta \(D''\) nün koordinatları \((5, 5)\) olarak bulunur.

✅ Yani, D(-2, 5) noktasının önce ötelenip sonra yansıtılmasıyla oluşan son nokta D''(5, 5)'tir.

Bir doğru parçasının ötelenmesi, doğru parçasını oluşturan her bir noktanın (yani uç noktalarının) aynı öteleme kurallarına göre ötelenmesi demektir.

• 📌 E Noktası: E(1, 2)
• 📌 F Noktası: F(4, 2)
• 📌 Öteleme Yönü ve Miktarı: x ekseni boyunca 2 birim sola, y ekseni boyunca 1 birim aşağı.

E noktasının ötelenmesi:

• 1. x koordinatı için: 1 birimden 2 birim sola öteleme: \(1 - 2 = -1\)
• 2. y koordinatı için: 2 birimden 1 birim aşağı öteleme: \(2 - 1 = 1\)
• 3. Yeni E noktası \(E'\) nün koordinatları: \((-1, 1)\)

F noktasının ötelenmesi:

• 1. x koordinatı için: 4 birimden 2 birim sola öteleme: \(4 - 2 = 2\)
• 2. y koordinatı için: 2 birimden 1 birim aşağı öteleme: \(2 - 1 = 1\)
• 3. Yeni F noktası \(F'\) nün koordinatları: \((2, 1)\)

✅ Böylece, EF doğru parçasının ötelenmesiyle oluşan yeni doğru parçası \(E'F'\) olup, uç noktaları \(E'(-1, 1)\) ve \(F'(2, 1)\)'dir.

Bu soruda bir üçgenin y = x doğrusuna göre yansıma dönüşümünü uygulayacağız. Bir üçgenin yansıması, her bir köşesinin yansıma eksenine göre ayrı ayrı yansıtılmasıyla bulunur.

• 📌 Yansıma Ekseni: y = x doğrusu

Bir noktanın \((x, y)\) y = x doğrusuna göre yansımasında, x ve y koordinatları yer değiştirir. Yani \((x, y) \to (y, x)\) olur. Şimdi bu kuralı GHI üçgeninin her bir köşesine uygulayalım: G(1, 1) noktasının yansıması:

• 1. G(x, y) = G(1, 1) olduğuna göre, \(x = 1\) ve \(y = 1\)'dir.
• 2. Koordinatlar yer değiştirdiğinde \((1, 1)\) yine \((1, 1)\) olur.
• 3. Yeni G noktası \(G'\) nün koordinatları: \((1, 1)\)

H(3, 1) noktasının yansıması:

• 1. H(x, y) = H(3, 1) olduğuna göre, \(x = 3\) ve \(y = 1\)'dir.
• 2. Koordinatlar yer değiştirdiğinde \((3, 1)\) noktası \((1, 3)\) olur.
• 3. Yeni H noktası \(H'\) nün koordinatları: \((1, 3)\)

I(2, 3) noktasının yansıması:

• 1. I(x, y) = I(2, 3) olduğuna göre, \(x = 2\) ve \(y = 3\)'tür.
• 2. Koordinatlar yer değiştirdiğinde \((2, 3)\) noktası \((3, 2)\) olur.
• 3. Yeni I noktası \(I'\) nün koordinatları: \((3, 2)\)

✅ Böylece, GHI üçgeninin y = x doğrusuna göre yansımasıyla oluşan yeni üçgen \(G'H'I'\) olup, köşelerinin koordinatları \(G'(1, 1)\), \(H'(1, 3)\) ve \(I'(3, 2)\)'dir.

Bu bir dönme dönüşümü problemidir. Orijin etrafında saat yönünde 180 derece dönme ile saat yönünün tersine (pozitif yönde) 180 derece dönme aynı sonucu verir.

• 📌 Başlangıç Noktası: J(2, 4)
• 📌 Dönme Merkezi: Orijin (0, 0)
• 📌 Dönme Açısı ve Yönü: Saat yönünde 180 derece (veya pozitif yönde 180 derece).

Bir noktanın \((x, y)\) orijin etrafında 180 derece döndürülmesiyle oluşan yeni noktanın koordinatları \((-x, -y)\) formülü ile bulunur. Yani hem x hem de y koordinatları işaret değiştirir. Şimdi bu kuralı J(2, 4) noktasına uygulayalım:

• 1. Başlangıç noktamız J(x, y) = J(2, 4) olduğuna göre, \(x = 2\) ve \(y = 4\)'tür.
• 2. Yeni noktanın x koordinatı \(-x\) olmalıdır. Yani \(-(2) = -2\).
• 3. Yeni noktanın y koordinatı \(-y\) olmalıdır. Yani \(-(4) = -4\).
• 4. Bu durumda, dönme sonrası oluşan yeni nokta \(J''\) nün koordinatları \((-2, -4)\) olarak bulunur.

✅ Yani, J(2, 4) noktasının orijin etrafında 180 derece döndürülmesiyle oluşan yeni nokta J''(-2, -4)'tür.

Bu problem, günlük hayatta karşılaşılabilecek bir senaryoyu geometrik dönüşümlerle modellemektedir. Yükün hareketi hem öteleme hem de dönme dönüşümlerini içerir.

• 📌 Yükün Başlangıç Konumu: K(10, 5)

1. Adım: Öteleme (Batıya hareket)

• 👉 Yük, x ekseni boyunca 3 birim batıya (sola) hareket ettiriliyor. Bu, x koordinatından 3 çıkarmak demektir.
• 👉 Yeni x koordinatı: \(10 - 3 = 7\)
• 👉 y koordinatı öteleme sırasında değişmez, yani 5 olarak kalır.
• 👉 Öteleme sonrası yükün yeni konumu \(K'\) nün koordinatları \((7, 5)\) olur.

2. Adım: Dönme (Kendi ekseni etrafında)

• 👉 Vinç kolu sabitlendikten sonra yük, kendi ekseni etrafında 90 derece saat yönünde döndürülüyor. Bu, yükün bulunduğu nokta olan \(K'(7, 5)\) noktasının orijin etrafında 90 derece saat yönünde döndürülmesi anlamına gelir.
• 👉 Bir noktanın \((x, y)\) orijin etrafında saat yönünde 90 derece döndürülmesiyle oluşan yeni noktanın koordinatları \((y, -x)\) formülü ile bulunur.
• 👉 \(K'(7, 5)\) noktasında \(x = 7\) ve \(y = 5\)'tir.
• 👉 Yeni x koordinatı \(y\) olmalıdır. Yani \(5\).
• 👉 Yeni y koordinatı \(-x\) olmalıdır. Yani \(-(7) = -7\).
• 👉 Dönme sonrası yükün son konumu \(K''\) nün koordinatları \((5, -7)\) olarak bulunur.

✅ Yani, vinç operatörünün işlemi sonrasında yükün son konumdaki koordinatları K''(5, -7) olur.