🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Paralel Doğrular ve Kesen
Aşağıdaki durumda, \(d_1\) doğrusu \(d_2\) doğrusuna paraleldir. Bu iki doğruyu kesen bir \(k\) doğrusu verilmiştir. Şekilde verilen açı ölçülerine göre \(x\) değerini bulunuz.
\(d_1\) doğrusu üzerinde, \(k\) doğrusunun sol üst tarafında kalan açı \(110^\circ\)'dir.
\(d_2\) doğrusu üzerinde, \(k\) doğrusunun sağ alt tarafında kalan açı \(x\)'tir.
Aşağıdaki durumda, \(d_1\) doğrusu \(d_2\) doğrusuna paraleldir. Bu iki doğruyu kesen bir \(k\) doğrusu verilmiştir. Şekilde verilen açı ölçülerine göre \(x\) değerini bulunuz.
\(d_1\) doğrusu üzerinde, \(k\) doğrusunun sol üst tarafında kalan açı \(110^\circ\)'dir.
\(d_2\) doğrusu üzerinde, \(k\) doğrusunun sağ alt tarafında kalan açı \(x\)'tir.
Çözüm:
Bu tür sorularda paralel doğrular ve kesen arasındaki açı ilişkilerini kullanırız. 💡
- Verilen açılardan biri \(110^\circ\) ve diğeri \(x\)'tir.
- \(110^\circ\) açının bütünleri olan iç ters açıyı bulabiliriz. Veya yöndeş açıyı bulabiliriz.
- \(110^\circ\) açının \(d_1\) üzerinde, \(k\) doğrusunun sağ üst tarafında kalan yöndeş açısı \(70^\circ\) olur (çünkü \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)).
- Bu \(70^\circ\) açı ile \(x\) açısı iç ters açılardır. İç ters açılar birbirine eşittir.
- Alternatif olarak, \(110^\circ\) açının \(d_1\) üzerinde, \(k\) doğrusunun sol alt tarafında kalan açısı da \(110^\circ\) olur (ters açılardan). Bu açı ile \(x\) açısı karşı durumlu açılardır. Karşı durumlu açıların toplamı \(180^\circ\)'dir.
- Yani, \(110^\circ + x = 180^\circ\) olmalıdır.
- Bu durumda \(x = 180^\circ - 110^\circ\) olur.
- ✅ Sonuç: \(x = 70^\circ\).
Örnek 2:
🔺 Üçgende İç Açılar Toplamı
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \(75^\circ\), B açısının ölçüsü \(40^\circ\)'dir. Buna göre C açısının ölçüsü kaç derecedir?
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \(75^\circ\), B açısının ölçüsü \(40^\circ\)'dir. Buna göre C açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Üçgenlerin temel özelliklerinden biri, iç açılarının toplamının \(180^\circ\) olmasıdır. 📐
- ABC üçgeninin iç açıları A, B ve C'dir.
- Bu açıların toplamı \(180^\circ\) olmalıdır: \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
- Verilen değerleri yerine yazalım: \(75^\circ + 40^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
- İlk iki açıyı toplayalım: \(75^\circ + 40^\circ = 115^\circ\).
- Denklemi tekrar yazalım: \(115^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
- C açısının ölçüsünü bulmak için \(180^\circ\)'den \(115^\circ\)'yi çıkaralım: \(m(\widehat{C}) = 180^\circ - 115^\circ\).
- ✅ Sonuç: \(m(\widehat{C}) = 65^\circ\).
Örnek 3:
📏 Dış Açı Özelliği
Bir KLM üçgeninde K açısının ölçüsü \(60^\circ\), L açısının ölçüsü \(55^\circ\)'dir. M köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?
Bir KLM üçgeninde K açısının ölçüsü \(60^\circ\), L açısının ölçüsü \(55^\circ\)'dir. M köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. ✨
- KLM üçgeninin iç açıları K, L ve M'dir.
- Verilen iç açılar: \(m(\widehat{K}) = 60^\circ\) ve \(m(\widehat{L}) = 55^\circ\).
- M köşesindeki dış açıyı bulmak için, kendisine komşu olmayan K ve L açılarının ölçülerini toplamalıyız.
- M köşesindeki dış açı = \(m(\widehat{K}) + m(\widehat{L})\).
- Yerine yazalım: M köşesindeki dış açı = \(60^\circ + 55^\circ\).
- ✅ Sonuç: M köşesindeki dış açının ölçüsü \(115^\circ\)'dir.
- Alternatif olarak, önce M iç açısını bulup (\(180^\circ - (60^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\)), sonra \(180^\circ\)'den çıkararak dış açıyı bulabiliriz: \(180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).
Örnek 4:
📐 Ters ve Bütünler Açılar
Birbirini kesen iki doğru parçasının oluşturduğu açılardan birinin ölçüsü \(70^\circ\)'dir. Bu iki doğru parçasının kesişmesiyle oluşan diğer açıların ölçülerini bulunuz.
Birbirini kesen iki doğru parçasının oluşturduğu açılardan birinin ölçüsü \(70^\circ\)'dir. Bu iki doğru parçasının kesişmesiyle oluşan diğer açıların ölçülerini bulunuz.
Çözüm:
İki doğru kesiştiğinde birbirini bütünleyen ve ters açılar oluşur. 💡
- Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri \(70^\circ\) ise, bunun hemen yanındaki (komşu) açı bütünleridir.
- Bütünler açılar toplamı \(180^\circ\)'dir. Yani, \(70^\circ + \text{komşu açı} = 180^\circ\).
- Komşu açının ölçüsü \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).
- Diğer iki açı ise verilen \(70^\circ\) açının ve \(110^\circ\) açının ters açısıdır.
- Ters açılar birbirine eşittir.
- Bu durumda, \(70^\circ\)'nin karşısındaki ters açı da \(70^\circ\) olacaktır.
- \(110^\circ\)'nin karşısındaki ters açı da \(110^\circ\) olacaktır.
- ✅ Sonuç: Oluşan diğer açılar \(110^\circ\), \(70^\circ\) ve \(110^\circ\)'dir.
Örnek 5:
🛣️ Yol Kavşağı ve Açı Hesaplaması
Bir şehir planında, birbirine paralel olan iki caddeyi (\(C_1\) ve \(C_2\)) kesen bir ara yol (\(A\)) bulunmaktadır. \(C_1\) caddesi ile \(A\) ara yolunun oluşturduğu açılardan biri \(130^\circ\)'dir (iç bölgede ve sol üst köşede).
Buna göre, \(C_2\) caddesi ile \(A\) ara yolunun oluşturduğu ve \(C_1\) caddesindeki \(130^\circ\)'lik açının ters tarafında (sağ alt köşede) kalan iç açının ölçüsü kaç derecedir?
Bir şehir planında, birbirine paralel olan iki caddeyi (\(C_1\) ve \(C_2\)) kesen bir ara yol (\(A\)) bulunmaktadır. \(C_1\) caddesi ile \(A\) ara yolunun oluşturduğu açılardan biri \(130^\circ\)'dir (iç bölgede ve sol üst köşede).
Buna göre, \(C_2\) caddesi ile \(A\) ara yolunun oluşturduğu ve \(C_1\) caddesindeki \(130^\circ\)'lik açının ters tarafında (sağ alt köşede) kalan iç açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu problemde, paralel doğrular ve kesen arasındaki açı ilişkilerini günlük hayattan bir senaryoda uyguluyoruz. 🗺️
- \(C_1\) ve \(C_2\) caddeleri paralel doğrular gibidir. \(A\) ara yolu ise kesen doğrudur.
- \(C_1\) ve \(A\) arasındaki verilen \(130^\circ\) açı, kesenin sol tarafında ve caddelerin iç bölgesinde yer almaktadır.
- Bizden istenen açı ise \(C_2\) ve \(A\) arasındaki, kesenin sağ tarafında ve caddelerin iç bölgesinde kalan açıdır. Bu iki açı karşı durumlu açılardır.
- Karşı durumlu açıların toplamı \(180^\circ\)'dir.
- Denklemi kuralım: \(130^\circ + \text{istenen açı} = 180^\circ\).
- İstenen açıyı bulmak için \(180^\circ - 130^\circ\) işlemini yaparız.
- ✅ Sonuç: \(C_2\) caddesi ile \(A\) ara yolunun oluşturduğu istenen açının ölçüsü \(50^\circ\)'dir.
Örnek 6:
🪜 Merdiven Eğiminde Açı
Bir duvara dayandırılmış bir merdiven düşünün. Merdivenin yerle yaptığı açı \(65^\circ\)'dir. Duvarın yerle dik açı (\(90^\circ\)) yaptığını biliyoruz. Buna göre merdivenin duvarla yaptığı açının ölçüsü kaç derecedir? (Merdiven, duvar ve yer bir üçgen oluşturur.)
Bir duvara dayandırılmış bir merdiven düşünün. Merdivenin yerle yaptığı açı \(65^\circ\)'dir. Duvarın yerle dik açı (\(90^\circ\)) yaptığını biliyoruz. Buna göre merdivenin duvarla yaptığı açının ölçüsü kaç derecedir? (Merdiven, duvar ve yer bir üçgen oluşturur.)
Çözüm:
Bu bir dik üçgen problemidir ve üçgenin iç açıları toplamı kuralını kullanırız. 🏡
- Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
- Bu üçgenin bir köşesi yer ile duvarın birleştiği yerdedir ve bu açı \(90^\circ\)'dir.
- Merdivenin yerle yaptığı açı \(65^\circ\) olarak verilmiştir.
- Bizden istenen açı, merdivenin duvarla yaptığı açıdır. Bu, üçgenin üçüncü iç açısıdır.
- Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan: \(90^\circ + 65^\circ + \text{merdivenin duvarla yaptığı açı} = 180^\circ\).
- Bilinen açıları toplayalım: \(90^\circ + 65^\circ = 155^\circ\).
- Denklemi tekrar yazalım: \(155^\circ + \text{merdivenin duvarla yaptığı açı} = 180^\circ\).
- Merdivenin duvarla yaptığı açıyı bulmak için \(180^\circ - 155^\circ\) işlemini yaparız.
- ✅ Sonuç: Merdivenin duvarla yaptığı açının ölçüsü \(25^\circ\)'dir.
Örnek 7:
🔺 İkizkenar Üçgen Açısı
Bir ABC ikizkenar üçgeninde, AB kenarı AC kenarına eşittir. A köşesindeki tepe açısının ölçüsü \(70^\circ\)'dir. Buna göre B ve C köşelerindeki taban açılarının ölçüleri kaçar derecedir?
Bir ABC ikizkenar üçgeninde, AB kenarı AC kenarına eşittir. A köşesindeki tepe açısının ölçüsü \(70^\circ\)'dir. Buna göre B ve C köşelerindeki taban açılarının ölçüleri kaçar derecedir?
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerde, eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir. 👯♀️
- ABC üçgeni ikizkenardır ve \(|AB| = |AC|\) olduğu için B ve C açıları birbirine eşittir. Yani \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})\).
- A açısının ölçüsü \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) olarak verilmiştir.
- Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan: \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
- \(70^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
- \(m(\widehat{B})\) ve \(m(\widehat{C})\) eşit olduğu için, \(m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})\) yerine \(2 \times m(\widehat{B})\) yazabiliriz.
- Denklemimiz: \(70^\circ + 2 \times m(\widehat{B}) = 180^\circ\).
- \(2 \times m(\widehat{B}) = 180^\circ - 70^\circ\).
- \(2 \times m(\widehat{B}) = 110^\circ\).
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: \(m(\widehat{B}) = \frac{110^\circ}{2}\).
- ✅ Sonuç: \(m(\widehat{B}) = 55^\circ\) ve \(m(\widehat{C}) = 55^\circ\).
Örnek 8:
◻️ Dörtgenin İç Açıları
Bir dörtgenin üç iç açısının ölçüleri sırasıyla \(80^\circ\), \(100^\circ\) ve \(110^\circ\)'dir. Buna göre dördüncü iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
Bir dörtgenin üç iç açısının ölçüleri sırasıyla \(80^\circ\), \(100^\circ\) ve \(110^\circ\)'dir. Buna göre dördüncü iç açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Konveks bir dörtgenin iç açılarının toplamı \(360^\circ\)'dir. 💡
- Dörtgenin dört iç açısının toplamı \(360^\circ\) olmalıdır.
- Verilen üç iç açı: \(80^\circ\), \(100^\circ\) ve \(110^\circ\).
- Bu üç açıyı toplayalım: \(80^\circ + 100^\circ + 110^\circ = 290^\circ\).
- Dördüncü açıyı bulmak için toplamdan bilinen açıların toplamını çıkarırız: \(360^\circ - 290^\circ\).
- ✅ Sonuç: Dördüncü iç açının ölçüsü \(70^\circ\)'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometri/sorular