🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 60^\circ \)'dir. B açısının ölçüsü, C açısının ölçüsünün \( 2 \) katı olduğuna göre, C açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)'dir. Bu temel kuralı uygulayarak adım adım çözüme ulaşalım:
- C açısının ölçüsüne \( x \) diyelim.
- B açısının ölçüsü, C'nin 2 katı olduğu için \( 2x \) olur.
- A açısının ölçüsü ise \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
- İç açılar toplamı denklemini kuralım: \[ 60 + 2x + x = 180 \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ 60 + 3x = 180 \] \[ 3x = 120 \] \[ x = 40 \]
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayıdır. \( |AB| = 5 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm olduğuna göre, BC kenarının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimedir?
Çözüm:
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.
- BC kenarının uzunluğuna \( x \) diyelim.
- Üçgen eşitsizliği formülünü uygulayalım: \[ |8 - 5| < x < 8 + 5 \] \[ 3 < x < 13 \]
- Bu eşitsizliğe göre \( x \) değerinin alabileceği tam sayı değerleri:
- En küçük tam sayı değeri: \( 4 \) cm
- En büyük tam sayı değeri: \( 12 \) cm
- Bizden bu değerlerin toplamı istenmektedir: \[ 4 + 12 = 16 \]
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 2 \) cm ve \( |DE| = 6 \) cm olduğuna göre, BC kenarının uzunluğu kaç santimedir?
Çözüm:
DE doğrusu BC doğrusuna paralel olduğu için Thales Teoremi ve üçgen benzerliği (A.A. benzerlik kuralı) uygulanır. ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir (\( ADE \sim ABC \)).
- Öncelikle AB kenarının toplam uzunluğunu bulalım: \[ |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 2 = 6 \text{ cm} \]
- Benzerlik oranını yazalım: \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]
- Değerleri yerine koyalım (\( |BC| = x \) olsun): \[ \frac{4}{6} = \frac{6}{x} \]
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım: \[ 4 \times x = 6 \times 6 \] \[ 4x = 36 \] \[ x = 9 \]
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \)'dir. [AH] yüksekliği BC hipotenüsüne diktir. \( |BH| = 9 \) cm ve \( |HC| = 16 \) cm olduğuna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç santimetredir?
Çözüm:
Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde Öklid Teoremleri geçerli olur.
- Öncelikle hipotenüs uzunluğunu bulalım: \[ |BC| = |BH| + |HC| = 9 + 16 = 25 \text{ cm} \]
- Öklid'in dik kenar bağıntılarını kullanarak AB ve AC kenarlarını bulalım: \[ |AB|^2 = |BH| \times |BC| \] \[ |AB|^2 = 9 \times 25 = 225 \implies |AB| = 15 \text{ cm} \]
- Diğer dik kenar için de aynı bağıntıyı uygulayalım: \[ |AC|^2 = |HC| \times |BC| \] \[ |AC|^2 = 16 \times 25 = 400 \implies |AC| = 20 \text{ cm} \]
- Son olarak ABC üçgeninin çevresini hesaplayalım: \[ \text{Çevre} = |AB| + |AC| + |BC| \] \[ \text{Çevre} = 15 + 20 + 25 = 60 \text{ cm} \]
Örnek 5:
Bir çocuk parkındaki kaydırağın merdiven uzunluğu \( 5 \) metre, kaydırağın dik dikey yüksekliği ise \( 3 \) metredir. Merdivenin yerdeki ucu ile kaydırağın kayma yüzeyinin yerdeki ucu arasındaki toplam mesafe \( 8 \) metredir. Buna göre kaydırağın kayma yüzeyinin uzunluğu kaç metredir? (Merdiven ve dik yükseklik ile kayma yüzeyi ve dik yükseklik birer dik üçgen oluşturmaktadır.)
Çözüm:
Bu problemi günlük hayat durumunu iki adet dik üçgene modelleyerek çözebiliriz.
- 1. Adım: Merdiven tarafındaki dik üçgeni inceleyelim.
- Hipotenüs (Merdiven) = \( 5 \) metre
- Karşı dik kenar (Yükseklik) = \( 3 \) metre
- Bu üçgen meşhur bir \( 3-4-5 \) özel dik üçgenidir. Dolayısıyla merdivenin yerdeki ucunun, yüksekliğin indiği noktaya olan yatay mesafesi \( 4 \) metredir.
- 2. Adım: Kaydırağın kayma yüzeyinin yerdeki mesafesini bulalım.
- Toplam yer mesafesi \( 8 \) metre olarak verilmiştir.
- Kaydırak tarafındaki yatay mesafe: \( 8 - 4 = 4 \) metre olur.
- 3. Adım: Kayma yüzeyinin uzunluğunu (hipotenüs) hesaplayalım.
- Yükseklik = \( 3 \) metre
- Yatay taban = \( 4 \) metre
- Yine bir \( 3-4-5 \) dik üçgeni oluşur. Kayma yüzeyinin uzunluğu \( 5 \) metre olmalıdır.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde [AD] kenarortaydır. ABD üçgeninin alanı \( 24 \) santimetrekare olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç santimetrekaredir?
Çözüm:
Üçgenlerde alan ile ilgili çok önemli bir kuralı hatırlayalım: Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanlarının oranı, taban uzunluklarının oranına eşittir.
- [AD] kenarortay olduğu için, BC tabanını iki eşit parçaya böler. Yani: \[ |BD| = |DC| \]
- ABD ve ADC üçgenlerinin A köşesinden inen yükseklikleri ortaktır.
- Tabanları ve yükseklikleri eşit olan bu iki üçgenin alanları da birbirine eşit olmalıdır: \[ \text{Alan}(ABD) = \text{Alan}(ADC) = 24 \text{ santimetrekare} \]
- Tüm ABC üçgeninin alanı bu iki alanın toplamıdır: \[ \text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABD) + \text{Alan}(ADC) \] \[ \text{Alan}(ABC) = 24 + 24 = 48 \text{ santimetrekare} \]
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde [AN] iç açıortaydır. \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 10 \) cm ve ABC üçgeninin çevresi \( 32 \) cm olduğuna göre, \( |NC| \) uzunluğu kaç santimetredir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için İç Açıortay Teoremi'ni kullanacağız.
- Öncelikle üçgenin çevresinden BC kenarının toplam uzunluğunu bulalım: \[ |AB| + |AC| + |BC| = 32 \] \[ 6 + 10 + |BC| = 32 \] \[ 16 + |BC| = 32 \implies |BC| = 16 \text{ cm} \]
- İç açıortay teoremine göre, kolların oranı yolların oranına eşittir: \[ \frac{|BN|}{|NC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \] \[ \frac{|BN|}{|NC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
- Bu durumda oranları bilinmeyen cinsinden yazabiliriz: \[ |BN| = 3k \quad \text{ve} \quad |NC| = 5k \]
- BC kenarının toplam uzunluğu \( 16 \) cm olduğuna göre: \[ 3k + 5k = 16 \] \[ 8k = 16 \implies k = 2 \]
- Bizden istenen \( |NC| \) uzunluğu: \[ |NC| = 5k = 5 \times 2 = 10 \text{ cm} \]
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, engelli vatandaşlar için güvenli bir erişim rampası tasarlamaktadır. Yönetmeliğe göre rampanın yatay zeminle yaptığı açının sinüs (\( \sin \)) değeri en fazla \( 0.6 \) olmalıdır. Mühendis, dikey yüksekliği \( 3 \) metre olan bir rampa tasarladığına göre, bu rampanın boyu (hipotenüs) en az kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
Güvenli rampa eğimi sorusunu dik üçgende trigonometrik oranları kullanarak çözebiliriz.
- Rampanın yatay zeminle yaptığı açıya \( a \) diyelim.
- Dik üçgende sinüs fonksiyonunun tanımı: \[ \sin(a) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \]
- Soruda verilen değerleri yerleştirelim (Rampanın boyuna \( x \) diyelim): \[ \sin(a) = \frac{3}{x} \]
- Yönetmeliğe göre bu değer en fazla \( 0.6 \) olmalıdır: \[ \sin(a) \le 0.6 \] \[ \frac{3}{x} \le \frac{6}{10} \] \[ \frac{3}{x} \le \frac{3}{5} \]
- Bu eşitsizlikten \( x \) değerini çekelim: \[ x \ge 5 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometri/sorular