💡 9. Sınıf Matematik: Geometri Ve Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler

• ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm.

• DEF üçgeni ile ABC üçgeni eş olduğu için, karşılıklı kenar uzunlukları da aynı olacaktır.

• Yani, \( |DE| = |AB| = 5 \) cm, \( |EF| = |BC| = 7 \) cm ve \( |DF| = |AC| = 9 \) cm olur.

Sonuç olarak, DEF üçgeninin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir. 📌

• Paralellikten dolayı A açısı ortaktır. \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) (yöndeş açılar).

• Bu durumda, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) (ADE üçgeni, ABC üçgenine benzerdir).

• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:

  \[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \]

• Verilen uzunlukları yerine yazalım: \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm, bu durumda \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 \) cm.

• Yine, \( |AE| = 3 \) cm ve \( |AC| = |AE| + |EC| = 3 + |EC| \).

• Denklemimizi kuralım:

  \[ \frac{4}{10} = \frac{3}{3 + |EC|} \]

• İçler dışlar çarpımı yaparsak:

  \( 4 \times (3 + |EC|) = 10 \times 3 \)

  \( 12 + 4|EC| = 30 \)

• \( 4|EC| = 30 - 12 \)

  \( 4|EC| = 18 \)

• \( |EC| = \frac{18}{4} \)

  \( |EC| = 4.5 \) cm.

Sonuç olarak, \( |EC| \) uzunluğu 4.5 cm'dir. ✅

• Birinci dikdörtgenin kenarları: kısa kenar \( k_1 = 6 \) cm, uzun kenar \( u_1 = 10 \) cm.

• İkinci dikdörtgenin kenarları: kısa kenar \( k_2 = 9 \) cm, uzun kenar \( u_2 = ? \).

• Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır. Kısa kenarların oranını kullanarak benzerlik oranını bulabiliriz:

  \[ \text{Benzerlik Oranı} = \frac{k_2}{k_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]

• Bu oran, uzun kenarlar için de geçerli olmalıdır:

  \[ \frac{u_2}{u_1} = \frac{3}{2} \]

• Şimdi \( u_1 = 10 \) cm değerini yerine koyalım:

  \[ \frac{u_2}{10} = \frac{3}{2} \]

• İçler dışlar çarpımı yaparak \( u_2 \) değerini bulalım:

  \( 2 \times u_2 = 3 \times 10 \)

  \( 2u_2 = 30 \)

• \( u_2 = \frac{30}{2} \)

  \( u_2 = 15 \) cm.

İkinci dikdörtgenin uzun kenarı 15 cm'dir. ✅

• Öğrenci ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur. Öğrencinin boyu (dikey kenar) = 2 m, gölgesinin uzunluğu (yatay kenar) = 3 m.

• Okul binası ve gölgesi de benzer bir dik üçgen oluşturur. Okulun boyu (dikey kenar) = \( x \) m, gölgesinin uzunluğu (yatay kenar) = 24 m.

• İki dik üçgenin açıları aynı olduğundan (birer dik açı ve güneş ışınlarının oluşturduğu açılar aynı), bu üçgenler Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre benzerdir.

• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:

  \[ \frac{\text{Öğrencinin boyu}}{\text{Öğrencinin gölgesi}} = \frac{\text{Okulun boyu}}{\text{Okulun gölgesi}} \]

• Verilen değerleri yerine yazalım:

  \[ \frac{2}{3} = \frac{x}{24} \]

• Şimdi \( x \) değerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:

  \( 3 \times x = 2 \times 24 \)

  \( 3x = 48 \)

• \( x = \frac{48}{3} \)

  \( x = 16 \) metre.

Okul binasının boyu 16 metredir. ✅ Bu, günlük hayatta benzerlik ilkesinin nasıl kullanıldığını gösteren güzel bir örnektir. 💡

• Öncelikle kenar uzunluklarını belirleyelim:

  • \( |AC| = |AD| + |DC| = 3 + 6 = 9 \) cm.

  • \( |BC| = |BE| + |EC| = 4 + 8 = 12 \) cm.

  • \( |AD| = 3 \) cm.

  • \( |EC| = 8 \) cm.

• ADE üçgeni ile ABC üçgenini inceleyelim. Bu iki üçgenin ortak bir açısı yoktur. Soruda verilen D ve E noktaları farklı kenarlar üzerindedir. Sanırım burada C ortak açısı olan benzer üçgenler arıyoruz. Yani DEC üçgeni ile ABC üçgeni arasında bir benzerlik olup olmadığını incelemeliyiz. Lütfen dikkatli olalım ve doğru üçgenleri karşılaştıralım.

• C açısı her iki üçgen için de ortaktır: \( \angle C = 90^\circ \). Bu, KAK benzerlik kuralı için bir açıdır.

• Şimdi C açısını oluşturan kenarların oranlarına bakalım:

  • DEC üçgeninin C açısını oluşturan kenarlar: \( |DC| = 6 \) cm ve \( |EC| = 8 \) cm.

  • ABC üçgeninin C açısını oluşturan kenarlar: \( |AC| = 9 \) cm ve \( |BC| = 12 \) cm.

• Kenar oranlarını kontrol edelim:

  \[ \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

  \[ \frac{|EC|}{|BC|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]

• Görüldüğü gibi, C açısını oluşturan kenarların oranları birbirine eşittir (\( \frac{2}{3} \)). Ayrıca C açısı ortaktır.

• Bu durumda, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralına göre \( \triangle DEC \sim \triangle ABC \) (DEC üçgeni, ABC üçgenine benzerdir).

• Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) veya \( k' = \frac{3}{2} \) (hangi üçgeni hangisine oranladığınıza göre değişir).

Sonuç olarak, DEC üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür. ✅

• Verilen ölçek: \( \frac{\text{Maket uzunluğu}}{\text{Gerçek uzunluk}} = \frac{1}{100} \)

• Maketteki pencerenin yüksekliği = 3 cm.

• Gerçek binadaki pencerenin yüksekliği = \( x \) cm (önce santimetre cinsinden bulup sonra metreye çevireceğiz).

• Orantıyı kuralım:

  \[ \frac{3 \text{ cm}}{x \text{ cm}} = \frac{1}{100} \]

• İçler dışlar çarpımı yapalım:

  \( 1 \times x = 3 \times 100 \)

  \( x = 300 \) cm.

• Şimdi bu santimetre değerini metreye çevirelim. Bildiğimiz gibi \( 1 \text{ metre} = 100 \text{ cm} \).

  \( 300 \text{ cm} = \frac{300}{100} = 3 \text{ metre} \).

Gerçek binadaki pencerenin yüksekliği 3 metredir. 🏢 Bu tür ölçeklendirme, haritalardan mimari projelere kadar birçok alanda kullanılır. 📌

• Orijinal resim kare şeklindedir, kenar uzunlukları 20 cm x 20 cm.

• Birinci büyütme seçeneği: 30 cm x 40 cm boyutlarında dikdörtgen tuval.

• İkinci büyütme seçeneği: (Bu kısım soruda eksik bırakılmış, sadece bir dikdörtgen tuval verilmiş. Soruyu, ressamın elinde 30x40 bir de 40x40 bir tuval var gibi düşünelim veya sadece verilen tuvalin benzer olup olmadığını değerlendirelim. Soru metninde sadece "dikdörtgen şeklindeki başka bir tuvale benzer olacak şekilde büyütmek istemektedir" denilmiş. Sadece 30x40 tuvali değerlendirelim.)

• Orijinal resim karedir. Karenin kenar oranları \( \frac{20}{20} = 1 \)'dir.

• Eğer büyütülen resim de benzer olacaksa, onun da kenar oranları aynı olmalıdır. Yani büyütülen resim de kare olmalıdır.

• Verilen tuval 30 cm x 40 cm boyutlarındadır. Bu bir dikdörtgendir.

• Dikdörtgenin kenar oranları \( \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \) veya \( \frac{40}{30} = \frac{4}{3} \)'tür.

• Karenin kenar oranı 1 iken, dikdörtgenin kenar oranı \( \frac{3}{4} \) veya \( \frac{4}{3} \)'tür.

• Bu oranlar eşit değildir (yani \( 1 \neq \frac{3}{4} \)).

• Bu durumda, 20 cm x 20 cm boyutlarındaki kare bir resim, 30 cm x 40 cm boyutlarındaki dikdörtgen bir tuvale benzer olacak şekilde büyütülemez. Resim oranları bozulur; ya bir kenarından kesilmesi gerekir ya da resim gerilir/sıkıştırılır ve orantısızlaşır.

Ressamın, orijinal resmin şeklini bozmadan benzer bir görüntü elde etmesi için kare bir tuval seçmesi gerekmektedir (örneğin 30 cm x 30 cm veya 40 cm x 40 cm gibi). Verilen 30 cm x 40 cm'lik dikdörtgen tuval, orijinal kare resimle benzer değildir ve bu tuvalde büyütüldüğünde resmin orantısı bozulacaktır. 🖼️

• ABC üçgeninde, D noktası BC kenarının orta noktasıdır.

• E noktası AC kenarının orta noktasıdır.

• Bu durumda, DE doğru parçası, ABC üçgeninin AB kenarına paralel olan orta tabanıdır.

• Orta taban özelliği gereği:

  • DE doğru parçası AB doğru parçasına paraleldir (\( DE \parallel AB \)).

  • DE doğru parçasının uzunluğu, AB doğru parçasının uzunluğunun yarısına eşittir.

    \[ |DE| = \frac{|AB|}{2} \]

• Soruda \( |DE| = 5 \) cm olarak verilmiştir.

• Formülü kullanarak \( |AB| \) uzunluğunu bulalım:

  \( 5 = \frac{|AB|}{2} \)

• İçler dışlar çarpımı yaparak \( |AB| \) değerini bulalım:

  \( |AB| = 5 \times 2 \)

  \( |AB| = 10 \) cm.

Sonuç olarak, \( |AB| \) kenarının uzunluğu 10 cm'dir. ✅ Bu, üçgenlerde benzerliğin özel bir durumu olan orta taban özelliğinin doğrudan uygulamasıdır. 📌