🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometri Üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometri Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 50^\circ \), B açısının ölçüsü \( 70^\circ \) ise C açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
- 📌 Üçgenin iç açıları toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.
- 👉 Verilen açıları toplayalım: \( 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \).
- ✅ C açısının ölçüsünü bulmak için toplamdan çıkaralım: \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Sonuç olarak, C açısının ölçüsü \( 60^\circ \)dir.
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde K açısının ölçüsü \( 65^\circ \), L açısının ölçüsü \( 45^\circ \)dir. M köşesine ait dış açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
- 📌 Öncelikle M iç açısının ölçüsünü bulalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)dir:
\( m(\angle K) + m(\angle L) + m(\angle M_{iç}) = 180^\circ \)
\( 65^\circ + 45^\circ + m(\angle M_{iç}) = 180^\circ \)
\( 110^\circ + m(\angle M_{iç}) = 180^\circ \)
\( m(\angle M_{iç}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \). - 👉 Bir iç açı ile komşu dış açının toplamı \( 180^\circ \)dir.
\( m(\angle M_{dış}) = 180^\circ - m(\angle M_{iç}) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \). - 💡 Alternatif olarak, bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir:
\( m(\angle M_{dış}) = m(\angle K) + m(\angle L) = 65^\circ + 45^\circ = 110^\circ \). - ✅ Yani M köşesine ait dış açının ölçüsü \( 110^\circ \)dir.
Örnek 3:
Bir PRS ikizkenar üçgeninde PR kenarının uzunluğu RS kenarının uzunluğuna eşittir (\(|PR| = |RS|\)). S açısının ölçüsü \( 40^\circ \) olduğuna göre P açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
- 📌 İkizkenar üçgenlerde eşit kenarların karşılarındaki açılar da eşittir.
- 👉 Verilen üçgende \(|PR| = |RS|\) olduğundan, PR kenarının karşısındaki S açısı ile RS kenarının karşısındaki P açısı birbirine eşittir.
- Yani \( m(\angle P) = m(\angle S) \)dir.
- 💡 \( m(\angle S) = 40^\circ \) olarak verildiğine göre, \( m(\angle P) = 40^\circ \)dir.
- ✅ P açısının ölçüsü \( 40^\circ \)dir. (R açısının ölçüsü \( 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ \) olurdu, ancak bu sorulmuyor.)
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde A köşesinden çıkan ve BC kenarını D noktasında kesen AD doğru parçası, A açısının açıortayıdır. Eğer \( m(\angle BAD) = 35^\circ \) ise \( m(\angle BAC) \) kaç derecedir?
Çözüm:
- 📌 Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır.
- 👉 AD, A açısının açıortayı olduğuna göre, A açısını iki eşit parçaya bölmüştür.
- Bu durumda \( m(\angle BAD) = m(\angle CAD) \)dir.
- 💡 Verilen \( m(\angle BAD) = 35^\circ \) olduğuna göre, \( m(\angle CAD) = 35^\circ \)dir.
- ✅ BAC açısının tamamı, bu iki açının toplamıdır:
\( m(\angle BAC) = m(\angle BAD) + m(\angle CAD) = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ \). - Yani BAC açısının ölçüsü \( 70^\circ \)dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden inen AD doğru parçası hem BC kenarına ait kenarortay hem de yüksekliktir. Eğer \( |AB| = 8 \) cm ise \( |AC| \) kaç cm'dir?
Çözüm:
- 📌 Bir üçgende, bir köşeden inen doğru parçası hem kenarortay hem de yükseklik ise, bu üçgen ikizkenar üçgendir.
- 👉 Bu özel durumda, kenarortay ve yüksekliğin indiği kenarın diğer iki kenarı (yani bu köşeden çıkan kenarlar) birbirine eşit uzunlukta olur.
- 💡 AD'nin kenarortay ve yükseklik olması, AB kenarı ile AC kenarının eşit uzunlukta olduğunu gösterir. Yani \( |AB| = |AC| \)dir.
- ✅ Verilen \( |AB| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |AC| \) de \( 8 \) cm'dir.
Örnek 6:
Bir mühendis, üç farklı uzunluktaki çubuktan bir üçgen oluşturmak istiyor. Çubukların uzunlukları \( 5 \) cm, \( 12 \) cm ve \( x \) cm'dir. Bu çubuklarla bir üçgen oluşturulabilmesi için \( x \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?
Çözüm:
- 📌 Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
- 👉 Verilen kenarlar \( 5 \), \( 12 \) ve \( x \) olduğuna göre, bu kuralı \( x \) için uygulayalım:
\( |12 - 5| < x < 12 + 5 \)
\( |7| < x < 17 \)
\( 7 < x < 17 \) - 💡 Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı değerleri \( 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 \)dır.
- ✅ Bu tam sayı değerlerinin toplamını bulalım:
\( 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 108 \). - Yani \( x \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri toplamı \( 108 \)dir.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni verilmiştir. \( |AB| = |DE| = 6 \) cm, \( |BC| = |EF| = 8 \) cm ve \( m(\angle B) = m(\angle E) = 70^\circ \)dir. Buna göre \( |AC| \) uzunluğu \( 10 \) cm ise \( |DF| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 📌 Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni ile DEF üçgenini inceleyelim.
- 1. \( |AB| = |DE| = 6 \) cm (Birinci kenar eşit)
- 2. \( m(\angle B) = m(\angle E) = 70^\circ \) (Bu kenarlar arasındaki açılar eşit)
- 3. \( |BC| = |EF| = 8 \) cm (İkinci kenar eşit)
- 👉 Bu üç özelliği incelediğimizde, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nın sağlandığını görürüz.
- 💡 Yani, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)dir.
- Eş üçgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşittir.
- ✅ Bu durumda, ABC üçgenindeki AC kenarı ile DEF üçgenindeki DF kenarı birbirine eşittir.
Yani \( |AC| = |DF| \)dir.
Verilen \( |AC| = 10 \) cm olduğuna göre, \( |DF| \) de \( 10 \) cm'dir.
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, depreme dayanıklı bir bina tasarlarken yapı iskeletinde neden genellikle üçgen şekilli elemanlar kullanır? Bu durum üçgenlerin hangi geometrik özelliğiyle açıklanabilir?
Çözüm:
- 🏗️ İnşaat mühendisleri, köprülerde, çatılarda ve bina iskeletlerinde sıkça üçgen şekilli destekler kullanırlar. Bunun temel nedeni, üçgenin geometrik rijitliği (katılığı) özelliğidir.
- 👉 Bir dörtgeni veya daha fazla kenarı olan bir çokgeni düşünün. Bu şekillerin kenarları sabit olsa bile, köşelerden bastırıldığında veya çekildiğinde şekil kolayca bozulabilir (yani açıları değişebilir, yamulabilir).
- 📌 Ancak bir üçgenin kenar uzunlukları sabitlendiğinde, açıları da otomatik olarak sabitlenir ve şekil asla değişmez. Başka bir deyişle, kenar uzunlukları belirli olan tek çokgen üçgendir.
- 💡 Bu özellik, üçgeni dış kuvvetlere karşı en dayanıklı ve stabil yapı elemanı yapar. Deprem gibi yatay veya dikey kuvvetler uygulandığında, üçgen şekilli destekler yapının deforme olmasını (şekil değiştirmesini) engeller ve böylece daha güvenli ve dayanıklı binalar inşa edilmesini sağlar.
- ✅ Bu durum, üçgenin "üç kenarının uzunluğu belirlendiğinde, üçgenin şeklinin tek türlü belirlenmesi" veya "üçgen çizim şartları" ile açıklanabilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometri-ucgenler/sorular