🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometri Sorusu Cevabı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometri Sorusu Cevabı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Bir doğru üzerinde bulunan üç farklı açının toplamı \( 180^\circ \) ise bu açılara doğrusal açılar denir. Komşu tümler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 2 katından \( 30^\circ \) eksiktir. Buna göre, büyük açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 💡 Tümler Açılar Nedir? Tümler açılar, ölçüleri toplamı \( 90^\circ \) olan iki açıdır.
- 👉 İki komşu tümler açıya \( x \) ve \( y \) diyelim. O zaman \( x + y = 90^\circ \) olur.
- 👉 Soruda verilen bilgiye göre, bir açının ölçüsü diğerinin 2 katından \( 30^\circ \) eksiktir. Yani, \( y = 2x - 30^\circ \) diyebiliriz.
- ✅ Şimdi bu ifadeyi ilk denklemde yerine yazalım:
\[ x + (2x - 30^\circ) = 90^\circ \] \[ 3x - 30^\circ = 90^\circ \] \[ 3x = 90^\circ + 30^\circ \] \[ 3x = 120^\circ \] \[ x = \frac{120^\circ}{3} \] \[ x = 40^\circ \] - ✅ Küçük açıyı \( 40^\circ \) bulduk. Büyük açıyı bulmak için \( y = 2x - 30^\circ \) formülünde \( x \) yerine \( 40^\circ \) yazalım:
\[ y = 2(40^\circ) - 30^\circ \] \[ y = 80^\circ - 30^\circ \] \[ y = 50^\circ \] - Sonuç olarak, açılardan biri \( 40^\circ \) diğeri \( 50^\circ \) dir. Büyük açı \( 50^\circ \) olur.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 70^\circ \) dir. B açısının ölçüsü, C açısının ölçüsünün 3 katından \( 10^\circ \) fazladır. Buna göre, C açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu geometri sorusunu çözmek için üçgenin iç açıları toplamı kuralını kullanacağız:
- 💡 Üçgenin İç Açıları Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.
- 👉 Verilen bilgiler:
- A açısı \( (\hat{A}) = 70^\circ \)
- C açısının ölçüsüne \( x \) diyelim. \( (\hat{C}) = x \)
- B açısının ölçüsü, C açısının 3 katından \( 10^\circ \) fazla olduğu için \( (\hat{B}) = 3x + 10^\circ \) olur.
- ✅ Şimdi üçgenin iç açıları toplamı kuralını uygulayalım:
\[ \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ \] \[ 70^\circ + (3x + 10^\circ) + x = 180^\circ \] \[ 4x + 80^\circ = 180^\circ \] \[ 4x = 180^\circ - 80^\circ \] \[ 4x = 100^\circ \] \[ x = \frac{100^\circ}{4} \] \[ x = 25^\circ \] - Sonuç olarak, C açısının ölçüsü \( 25^\circ \) dir.
Örnek 3:
📏 Bir ABC üçgeninde, AB kenarı AC kenarına eşittir. Bu durumda ABC üçgeni ikizkenar üçgen olur. B açısının ölçüsü \( 55^\circ \) olduğuna göre, A açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruda ikizkenar üçgenin özelliklerini kullanacağız:
- 💡 İkizkenar Üçgen Nedir? İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir (taban açıları).
- 👉 Verilen bilgiye göre, AB kenarı AC kenarına eşit olduğundan, B açısının ölçüsü ile C açısının ölçüsü birbirine eşittir. Yani \( \hat{B} = \hat{C} \).
- 👉 B açısının ölçüsü \( 55^\circ \) olarak verildiği için, C açısının ölçüsü de \( 55^\circ \) dir. \( \hat{C} = 55^\circ \)
- ✅ Şimdi üçgenin iç açıları toplamı kuralını uygulayarak A açısını bulalım:
\[ \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ \] \[ \hat{A} + 55^\circ + 55^\circ = 180^\circ \] \[ \hat{A} + 110^\circ = 180^\circ \] \[ \hat{A} = 180^\circ - 110^\circ \] \[ \hat{A} = 70^\circ \] - Sonuç olarak, A açısının ölçüsü \( 70^\circ \) dir.
Örnek 4:
Bir dik üçgen olan ABC üçgeninde, B açısı \( 90^\circ \) dir. AB kenarının uzunluğu 6 birim ve BC kenarının uzunluğu 8 birimdir. Buna göre, AC kenarının (hipotenüsün) uzunluğu kaç birimdir? 🚧
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız:
- 💡 Pisagor Teoremi Nedir? Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Eğer dik kenarlar \( a \) ve \( b \), hipotenüs \( c \) ise, \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülü geçerlidir.
- 👉 Verilen bilgiler:
- Dik kenarlar: AB = 6 birim, BC = 8 birim.
- Hipotenüs: AC (bunu bulacağız).
- ✅ Şimdi Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:
\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] \[ 6^2 + 8^2 = AC^2 \] \[ 36 + 64 = AC^2 \] \[ 100 = AC^2 \] - 👉 Her iki tarafın karekökünü alarak AC uzunluğunu bulalım:
\[ AC = \sqrt{100} \] \[ AC = 10 \] - Sonuç olarak, AC kenarının uzunluğu 10 birimdir.
Örnek 5:
🧑🏫 Bir harita üzerinde A, B ve C noktaları bir üçgen oluşturmaktadır. Bu üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla AB = 7 km, BC = 12 km ve AC = x km'dir. Harita mühendisi, bu üç noktanın bir üçgen oluşturabilmesi için üçgen eşitsizliği kuralına uyması gerektiğini biliyor. Buna göre, x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🌍
Çözüm:
Bu problemde üçgen eşitsizliği kuralını uygulayacağız:
- 💡 Üçgen Eşitsizliği Nedir? Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. Yani, \( |b-c| < a < b+c \) şeklindedir.
- 👉 Verilen kenar uzunlukları: AB = 7, BC = 12, AC = x.
- ✅ Üçgen eşitsizliğini x kenarı için uygulayalım:
\[ |12 - 7| < x < 12 + 7 \] \[ |5| < x < 19 \] \[ 5 < x < 19 \] - 👉 Bu eşitsizliğe göre, x'in alabileceği tam sayı değerleri 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18'dir.
- ✅ Şimdi bu tam sayı değerlerinin toplamını bulalım:
Toplam = \( 6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18 \) - Bu bir aritmetik dizi olduğu için pratik bir yöntem kullanabiliriz: \( \frac{\text{terim sayısı} \times (\text{ilk terim} + \text{son terim})}{2} \)
Terim sayısı = \( 18 - 6 + 1 = 13 \)
Toplam = \( \frac{13 \times (6 + 18)}{2} \)
Toplam = \( \frac{13 \times 24}{2} \)
Toplam = \( 13 \times 12 \)
Toplam = \( 156 \) - Sonuç olarak, x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 156'dır.
Örnek 6:
🏡 Bir çiftçi tarlasının etrafına üçgen şeklinde bir çit çekmek istiyor. Tarlanın köşeleri A, B ve C noktaları olarak belirlenmiştir. AB kenarı boyunca 15 metre, BC kenarı boyunca 20 metre çit çekilmiştir. Çiftçi, AC kenarı boyunca ne kadar çit çekeceğini hesaplamak istiyor. Eğer A köşesindeki açı \( 90^\circ \) ise, AC kenarının uzunluğu kaç metredir? (Çit malzemesi metre başına 10 TL'dir.) 💰
Çözüm:
Bu günlük hayat probleminde dik üçgen ve Pisagor Teoremi'ni kullanacağız:
- 💡 Problem Tanımı: Çiftçinin tarlası, A köşesinde \( 90^\circ \) olan bir dik üçgen şeklindedir. AB ve BC kenarları biliniyor, AC kenarı bulunacak.
- 👉 Verilen bilgiler:
- A açısı \( (\hat{A}) = 90^\circ \) (Dik açı).
- AB kenarı (dik kenar) = 15 metre.
- BC kenarı (hipotenüs) = 20 metre.
- AC kenarı (diğer dik kenar) = x metre (Bunu bulacağız).
- ✅ Şimdi Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( (\text{dik kenar})^2 + (\text{dik kenar})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] \[ 15^2 + x^2 = 20^2 \] \[ 225 + x^2 = 400 \] \[ x^2 = 400 - 225 \] \[ x^2 = 175 \] - 👉 Her iki tarafın karekökünü alarak x uzunluğunu bulalım:
\[ x = \sqrt{175} \] \[ x = \sqrt{25 \times 7} \] \[ x = 5\sqrt{7} \] - Sonuç olarak, AC kenarının uzunluğu \( 5\sqrt{7} \) metredir. (Yaklaşık olarak \( 5 \times 2.64 = 13.2 \) metredir.)
- Ek bilgi: Çit maliyeti sorulmuş olsaydı, \( 5\sqrt{7} \times 10 \) TL olurdu. Ancak soruda sadece kenar uzunluğu isteniyor.
Örnek 7:
📐 Bir ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerindedir. AD doğru parçası, A açısının açıortayıdır. Eğer \( \hat{B} = 60^\circ \) ve \( \hat{C} = 40^\circ \) ise, \( \hat{ADB} \) açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenin iç açıları toplamı ve açıortay kavramını kullanacağız:
- 💡 Açıortay Nedir? Bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.
- 👉 İlk olarak ABC üçgeninin A açısını bulalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) dir.
\[ \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ \] \[ \hat{A} + 60^\circ + 40^\circ = 180^\circ \] \[ \hat{A} + 100^\circ = 180^\circ \] \[ \hat{A} = 180^\circ - 100^\circ \] \[ \hat{A} = 80^\circ \] - 👉 AD, A açısının açıortayı olduğu için A açısını iki eşit parçaya böler. Yani, \( \hat{BAD} = \hat{CAD} = \frac{\hat{A}}{2} \).
\[ \hat{BAD} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \] - ✅ Şimdi ABD üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iç açıları \( \hat{B} \), \( \hat{BAD} \) ve \( \hat{ADB} \) dir.
\[ \hat{B} + \hat{BAD} + \hat{ADB} = 180^\circ \] \[ 60^\circ + 40^\circ + \hat{ADB} = 180^\circ \] \[ 100^\circ + \hat{ADB} = 180^\circ \] \[ \hat{ADB} = 180^\circ - 100^\circ \] \[ \hat{ADB} = 80^\circ \] - Sonuç olarak, \( \hat{ADB} \) açısının ölçüsü \( 80^\circ \) dir.
Örnek 8:
🏗️ Bir inşaat projesinde, iki paralel direk arasına gergin bir ip çekilecektir. Direklerden biri 4 metre, diğeri 6 metre yüksekliğindedir. Bu direkler arasındaki yatay uzaklık 10 metredir. İpin direklerin tepeleri arasına gerildiği varsayıldığında, ipin uzunluğu kaç metredir? 👷♂️ (Bu problemi, Pisagor Teoremi ve bir dikdörtgen oluşturma mantığıyla çözün.)
Çözüm:
Bu problemi çözmek için hayali bir dik üçgen oluşturacağız:
- 💡 Problem Görselleştirmesi: İki direk dikey, yer yataydır. Direklerin tepelerini birleştiren ip, bir dik üçgenin hipotenüsü gibi düşünülebilir.
- 👉 Verilen bilgiler:
- Direk 1 yüksekliği = 4 metre.
- Direk 2 yüksekliği = 6 metre.
- Direkler arası yatay uzaklık = 10 metre.
- ✅ Yardımcı Çizim: Kısa direğin tepesinden uzun direğe paralel bir çizgi çekelim. Bu çizgi, direkler arasındaki yatay uzaklığa eşit uzunlukta olacaktır (10 metre). Bu çizgi ile uzun direğin üst kısmı arasında bir dik üçgen oluşur.
- 👉 Oluşan dik üçgenin dik kenarları:
- Birinci dik kenar (yatay): Direkler arası yatay uzaklık = 10 metre.
- İkinci dik kenar (dikey): Uzun direğin kısa direkten ne kadar yüksekte olduğu = \( 6 \text{ metre} - 4 \text{ metre} = 2 \text{ metre} \).
- ✅ Şimdi Pisagor Teoremi'ni uygulayarak ipin uzunluğunu (hipotenüs) bulalım:
\[ (\text{yatay kenar})^2 + (\text{dikey kenar})^2 = (\text{ipin uzunluğu})^2 \] \[ 10^2 + 2^2 = (\text{ipin uzunluğu})^2 \] \[ 100 + 4 = (\text{ipin uzunluğu})^2 \] \[ 104 = (\text{ipin uzunluğu})^2 \] - 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ \text{ipin uzunluğu} = \sqrt{104} \] \[ \text{ipin uzunluğu} = \sqrt{4 \times 26} \] \[ \text{ipin uzunluğu} = 2\sqrt{26} \] - Sonuç olarak, ipin uzunluğu \( 2\sqrt{26} \) metredir. (Yaklaşık olarak \( 2 \times 5.099 \approx 10.2 \) metredir.)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometri-sorusu-cevabi/sorular