🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geniş açılı üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geniş açılı üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 110^\circ \) ve \( \angle B = 30^\circ \) ise, \( \angle C \) kaç derecedir? Geniş açılı bir üçgen midir? 💡
Çözüm:
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
- \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 110^\circ + 30^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( 140^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C = 180^\circ - 140^\circ \)
- \( \angle C = 40^\circ \)
- Üçgenin bir açısı \( 110^\circ \) olup \( 90^\circ \)den büyüktür. Bu nedenle bu üçgen geniş açılı bir üçgendir. ✅
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 10 cm olan bir üçgenin geniş açılı olup olmadığını belirleyiniz. 📏
Çözüm:
- Bir üçgenin geniş açılı olup olmadığını anlamak için kosinüs teoreminin bir sonucunu kullanabiliriz. En uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyükse, bu kenarın karşısındaki açı geniş açıdır.
- Üçgenin kenarları a = 5 cm, b = 7 cm ve c = 10 cm olsun.
- En uzun kenar c = 10 cm'dir.
- Kosinüs teoreminin sonucuna göre kontrol edelim: \( c^2 \) ile \( a^2 + b^2 \) değerlerini karşılaştıralım.
- \( c^2 = 10^2 = 100 \)
- \( a^2 + b^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 \)
- \( 100 > 74 \) olduğundan, yani \( c^2 > a^2 + b^2 \) olduğundan, bu üçgen geniş açılı bir üçgendir. 👉
Örnek 3:
Bir geniş açılı üçgenin iki dar açısı \( 2x \) ve \( 3x \) olarak verilmiştir. Üçgenin geniş açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Geniş açılı bir üçgende bir açı \( 90^\circ \)den büyüktür ve diğer iki açı dar açıdır ( \( 90^\circ \)den küçüktür).
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- Dar açılar \( 2x \) ve \( 3x \) ise, bu iki açının toplamı \( 5x \) olur.
- Geniş açı ise \( 180^\circ - 5x \) olur.
- Geniş açının \( 90^\circ \)den büyük olması gerekir: \( 180^\circ - 5x > 90^\circ \)
- Bu eşitsizliği çözelim: \( 180^\circ - 90^\circ > 5x \)
- \( 90^\circ > 5x \)
- \( 18^\circ > x \)
- Ayrıca dar açıların da \( 90^\circ \)den küçük olması gerekir: \( 3x < 90^\circ \Rightarrow x < 30^\circ \). Bu koşul \( x < 18^\circ \) koşulunu sağladığı için \( x < 18^\circ \) geçerlidir.
- Geniş açının değeri \( 180^\circ - 5x \) olduğundan ve \( x < 18^\circ \) olduğundan, geniş açının alabileceği en küçük değer \( 180^\circ - 5 \times 18^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) olurdu. Ancak geniş açı kesinlikle \( 90^\circ \)den büyük olmalıdır.
- Bu durumda, \( x \) değeri \( 18^\circ \)den küçük olmalıdır. Örneğin \( x = 17^\circ \) alırsak, dar açılar \( 34^\circ \) ve \( 51^\circ \) olur. Geniş açı \( 180^\circ - (34^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \) olur. Bu bir geniş açıdır.
- Soruda belirli bir \( x \) değeri verilmediği için, geniş açının ifadesi \( 180^\circ - 5x \) olup, \( x < 18^\circ \) koşulunu sağlamalıdır.
- Eğer soruda "en küçük tam sayı değeri" gibi bir ek bilgi olsaydı daha net bir sonuç bulunurdu. Ancak genel ifade budur. 📌
Örnek 4:
Bir mimar tasarladığı bir binanın planında, üçgen şeklindeki bir alanı geniş açılı üçgen olarak çizmiştir. Bu üçgenin iki açısı \( 40^\circ \) ve \( 55^\circ \) olarak ölçülmüştür. Bu çizimdeki hatalı bilgiyi bulunuz. ❌
Çözüm:
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
- Verilen iki açı \( 40^\circ \) ve \( 55^\circ \)dir.
- Bu iki açının toplamı \( 40^\circ + 55^\circ = 95^\circ \) olur.
- Üçüncü açıyı bulmak için \( 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ \) olur.
- Bu durumda üçgenin açıları \( 40^\circ \), \( 55^\circ \) ve \( 85^\circ \) olur.
- Bu üçgenin hiçbir açısı \( 90^\circ \)den büyük değildir.
- Dolayısıyla, bu üçgen geniş açılı bir üçgen olamaz.
- Mimarın çizimindeki hata, geniş açılı bir üçgenin açılarını yanlış belirtmesidir. ✅
Örnek 5:
Bir harita üzerinde üç şehir (A, B, C) işaretlenmiştir. A şehrinden B şehrine olan mesafe 12 km, B şehrinden C şehrine olan mesafe 15 km ve A şehrinden C şehrine olan mesafe 20 km'dir. Bu üç şehrin oluşturduğu üçgenin türü (geniş açılı, dik açılı veya dar açılı) nedir? 🗺️
Çözüm:
- Üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir: a = 15 km (BC), b = 20 km (AC), c = 12 km (AB).
- En uzun kenar b = 20 km'dir.
- Üçgenin türünü belirlemek için en uzun kenarın karesini, diğer iki kenarın kareleri toplamıyla karşılaştırırız.
- \( b^2 = 20^2 = 400 \)
- \( a^2 + c^2 = 15^2 + 12^2 = 225 + 144 = 369 \)
- Şimdi karşılaştıralım: \( b^2 \) ile \( a^2 + c^2 \).
- \( 400 > 369 \) olduğundan, yani \( b^2 > a^2 + c^2 \) olduğundan, bu üçgen geniş açılı bir üçgendir. 👉 En uzun kenarın karşısındaki açı geniş açıdır.
Örnek 6:
Geniş açılı bir üçgenin bir açısı \( 130^\circ \) olarak verilmiştir. Diğer iki açısının toplamı kaç derecedir? ➕
Çözüm:
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- Üçgenin bir açısı \( 130^\circ \) olarak verilmiştir.
- Diğer iki açının toplamını bulmak için, toplam açıdan verilen açıyı çıkarırız.
- Diğer iki açının toplamı = \( 180^\circ - 130^\circ \)
- Diğer iki açının toplamı = \( 50^\circ \)
- Bu iki açı dar açıdır çünkü toplamları \( 90^\circ \)den azdır ve her biri \( 90^\circ \)den küçük olmalıdır. ✅
Örnek 7:
Bir spor salonunda, yerden \( 3 \) metre yükseklikte bulunan bir kamera, salonun zemindeki bir noktaya \( 120^\circ \)lik bir açıyla bakmaktadır. Kameranın bulunduğu noktadan zemindeki noktaya olan düz çizgi mesafesi \( 5 \) metre ise, bu durum bir geniş açılı üçgen oluşturur mu? Açıklayınız. 📸
Çözüm:
- Bu durumu bir üçgen olarak düşünebiliriz:
- Kameranın konumu (K), zemindeki nokta (Z) ve kameranın tam dikey olarak zemine indiği nokta (D) bir üçgen oluşturur.
- Kameranın yerden yüksekliği KD = \( 3 \) metredir.
- Kameranın zemindeki noktaya olan düz çizgi mesafesi KZ = \( 5 \) metre olarak verilmiştir.
- Kameranın zemindeki noktaya bakış açısı \( 120^\circ \)dir. Bu açı, kameranın bulunduğu K noktasındaki açıdır.
- Üçgenimiz KZD üçgenidir. KD kenarı \( 3 \) metre, KZ kenarı \( 5 \) metre ve \( \angle ZKD = 120^\circ \)dir.
- Üçgenin bir açısı \( 120^\circ \) olduğu için, bu durum bir geniş açılı üçgen oluşturur. 👉
- Zemindeki nokta ile kameranın dikey olarak zemine indiği nokta arasındaki mesafe DZ'yi bulmak istersek, kosinüs teoremini kullanabiliriz: \( DZ^2 = KD^2 + KZ^2 - 2 \cdot KD \cdot KZ \cdot \cos(\angle ZKD) \)
- Ancak soruda sadece üçgenin türü sorulduğu için, \( \angle ZKD = 120^\circ \) olması yeterlidir. ✅
Örnek 8:
Kenar uzunlukları \( 6 \) cm, \( 8 \) cm ve \( 12 \) cm olan bir üçgenin en büyük açısının geniş açı olup olmadığını belirleyiniz. 🧐
Çözüm:
- Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür.
- Bu üçgende en uzun kenar \( 12 \) cm'dir.
- Üçgenin geniş açılı olup olmadığını anlamak için en uzun kenarın karesini, diğer iki kenarın kareleri toplamıyla karşılaştırırız.
- En uzun kenarın karesi: \( 12^2 = 144 \)
- Diğer iki kenarın kareleri toplamı: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
- Karşılaştırma: \( 144 > 100 \)
- Bu durum \( (\text{en uzun kenarın karesi} > \text{diğer iki kenarın kareleri toplamı}) \) geniş açılı bir üçgen olduğunu gösterir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-genis-acili-ucgenler/sorular