📄 9. Sınıf Matematik: Geniş açılı üçgenler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Üçgen eşitsizliğine göre:

\(|8-6| < x < 8+6 \Rightarrow 2 < x < 14\).



Geniş açılı üçgen olma şartı için üç durumu incelemeliyiz:



Durum 1: \(x\) en uzun kenardır. Bu durumda \(x^2 > 6^2 + 8^2\) olmalıdır.

\(x^2 > 36 + 64 \Rightarrow x^2 > 100\). Buradan \(x > 10\) elde edilir.

Bu durumu üçgen eşitsizliği ile birleştirirsek: \(10 < x < 14\). Bu aralıktaki tam sayılar: 11, 12, 13.



Durum 2: 8 en uzun kenardır. Bu durumda \(8^2 > 6^2 + x^2\) olmalıdır.

\(64 > 36 + x^2 \Rightarrow 28 > x^2\). Buradan \(x < \sqrt{28}\) elde edilir.

\(\sqrt{25} = 5\) ve \(\sqrt{36} = 6\) olduğundan \(\sqrt{28}\) yaklaşık 5.2'dir. Yani \(x < 5.2\).

Bu durumu üçgen eşitsizliği ile birleştirirsek: \(2 < x < 5.2\). Bu aralıktaki tam sayılar: 3, 4, 5.



Durum 3: 6 en uzun kenardır. Bu durumda \(6^2 > 8^2 + x^2\) olmalıdır.

\(36 > 64 + x^2 \Rightarrow x^2 < -28\). Bir sayının karesi negatif olamayacağından bu durum mümkün değildir.



Sonuç olarak, \(x\)'in alabileceği tam sayı değerleri {3, 4, 5, 11, 12, 13} kümesidir.

💡 Çözüm Adımları:

Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan:

\(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\)

\((2x+10) + (x+20) + (3x-30) = 180\)

\(6x + 0 = 180\)

\(6x = 180\)

\(x = 30\)



Şimdi açı değerlerini yerine koyalım:

\(m(\widehat{A}) = (2 \cdot 30 + 10)^\circ = (60 + 10)^\circ = 70^\circ\)

\(m(\widehat{B}) = (30 + 20)^\circ = 50^\circ\)

\(m(\widehat{C}) = (3 \cdot 30 - 30)^\circ = (90 - 30)^\circ = 60^\circ\)



Üçgenin açıları \(70^\circ, 50^\circ, 60^\circ\) olarak bulunmuştur.

Geniş açılı üçgen tanımına göre, bir açının \(90^\circ\)'den büyük olması gerekir.

Bulduğumuz açılardan hiçbiri \(90^\circ\)'den büyük değildir (tümü dar açıdır).

Dolayısıyla, bu üçgen geniş açılı bir üçgen değildir, dar açılı bir üçgendir.

💡 Çözüm Adımları:

Geniş açılı bir üçgenin temel özellikleri şunlardır:

1. Bir Açısı Geniş Açı Olmalıdır: Geniş açılı bir üçgende, iç açılardan sadece bir tanesi \(90^\circ\)'den büyük (geniş açı) olmalıdır. Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğu için, bir üçgende birden fazla geniş açı bulunamaz.

2. Diğer İki Açı Dar Açı Olmalıdır: Geniş açılı bir üçgende, geniş açı dışındaki diğer iki iç açı daima \(90^\circ\)'den küçük (dar açı) olmak zorundadır.

3. Geniş Açının Karşısındaki Kenar En Uzun Kenardır: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. Dolayısıyla, geniş açılı bir üçgende en büyük açı olan geniş açının karşısındaki kenar, üçgenin diğer iki kenarından daha uzundur.

4. Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişki (Pisagor Eşitsizliği): Eğer \(c\) geniş açının karşısındaki kenar ve \(a, b\) diğer iki kenar ise, bu kenarlar arasında \(c^2 > a^2 + b^2\) eşitsizliği geçerlidir. Bu eşitsizlik, üçgenin geniş açılı olduğunu gösterir.