🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geniş açılı üçgen Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geniş açılı üçgen Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 110^\circ \) olduğuna göre, bu üçgenin türü nedir?
Çözüm:
- Bir üçgenin geniş açılı olabilmesi için açılarından en az birinin \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında olması gerekir.
- Verilen ABC üçgeninde A açısı \( 110^\circ \) olarak verilmiştir.
- \( 110^\circ \) değeri, \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında bir değerdir.
- Bu nedenle, A açısı bir geniş açıdır.
- Bir üçgende bir geniş açı varsa, o üçgen geniş açılı üçgen olarak adlandırılır.
Örnek 2:
Geniş açılı bir üçgenin diğer iki açısının ölçüleri en fazla kaçar derece olabilir?
Çözüm:
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
- Geniş açılı bir üçgende bir açı \( 90^\circ \)den büyüktür.
- Bu geniş açının ölçüsünü en küçük değerine yaklaştıralım, örneğin \( 90^\circ \)den hemen büyük bir değer (örneğin \( 90.1^\circ \)).
- Geriye kalan iki açının toplamı \( 180^\circ - 90.1^\circ = 89.9^\circ \) olur.
- Bu iki açının birbirine eşit olduğunu varsayarsak, her biri \( 89.9^\circ / 2 = 44.95^\circ \) olur.
- Eğer geniş açı \( 100^\circ \) olsaydı, diğer iki açının toplamı \( 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \) olurdu. Bu durumda her biri \( 40^\circ \) olabilirdi.
- Eğer geniş açı \( 179^\circ \) olsaydı, diğer iki açının toplamı \( 180^\circ - 179^\circ = 1^\circ \) olurdu. Bu durumda her biri \( 0.5^\circ \) olabilirdi.
- Yani, geniş açılı bir üçgende geniş açı dışındaki iki açının her biri \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arasında olmalıdır.
Örnek 3:
Bir üçgenin iç açıları \( x \), \( 2x \) ve \( 3x \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin türünü belirleyiniz.
Çözüm:
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- Bu nedenle, \( x + 2x + 3x = 180^\circ \) olmalıdır.
- Denklem basitleştirildiğinde: \( 6x = 180^\circ \)
- Her iki tarafı 6'ya bölerek \( x \) değerini buluruz: \( x = 180^\circ / 6 = 30^\circ \)
- Şimdi açıları hesaplayalım:
- Birinci açı: \( x = 30^\circ \)
- İkinci açı: \( 2x = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \)
- Üçüncü açı: \( 3x = 3 \times 30^\circ = 90^\circ \)
- Açıları incelediğimizde: \( 30^\circ \), \( 60^\circ \) ve \( 90^\circ \).
- Bu üçgenin bir açısı dik açı (\( 90^\circ \)) olduğu için, bu üçgen bir dik açılı üçgendir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 120^\circ \) ve \( \angle B = 30^\circ \) ise, \( \angle C \) kaç derecedir? Bu üçgenin türü nedir?
Çözüm:
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir.
- Yani, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 120^\circ + 30^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- Toplamı hesaplayalım: \( 150^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C \) değerini bulmak için 150'yi diğer tarafa atalım: \( \angle C = 180^\circ - 150^\circ \)
- \( \angle C = 30^\circ \)
- Şimdi üçgenin açılarını inceleyelim: \( 120^\circ \), \( 30^\circ \), \( 30^\circ \).
- Üçgenin açılarından biri \( 120^\circ \)dir. Bu açı \( 90^\circ \)den büyüktür.
- Bu nedenle, bu üçgen bir geniş açılı üçgendir.
Örnek 5:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirleri gösterilmiştir. A şehrinden B şehrine doğru giden bir yol \( 130^\circ \)lük bir açıyla saparak C şehrine varmaktadır. Eğer A noktasındaki açı \( 130^\circ \) ise, bu üçgenin türü nedir?
Çözüm:
- Soruda, A, B ve C şehirlerinin bir üçgen oluşturduğu belirtiliyor.
- Bu üçgenin A köşesindeki iç açısının ölçüsü \( 130^\circ \) olarak verilmiştir.
- Bir üçgenin geniş açılı üçgen olması için, iç açılarından en az birinin \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında olması gerekir.
- Verilen \( 130^\circ \) açısı, \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında bir değerdir.
- Dolayısıyla, bu açı bir geniş açıdır.
- Bir üçgende bir geniş açı bulunduğundan, bu üçgen geniş açılı üçgendir.
Örnek 6:
Bir mimar, bir binanın çatısı için taslak çizerken, çatının iki ana kirişi arasında \( 115^\circ \)lik bir açı oluşturmuştur. Bu kirişlerin birleştiği nokta ve çatının diğer iki ucu bir üçgen oluşturduğuna göre, bu üçgenin türü nedir?
Çözüm:
- Mimarın çizdiği çatının tasarımında, iki ana kirişin birleştiği noktadaki açı \( 115^\circ \) olarak belirlenmiştir.
- Bu birleşme noktası, çatının diğer iki ucunu da birleştirdiğimizde bir üçgenin bir köşesini oluşturur.
- Bir üçgenin geniş açılı üçgen olarak adlandırılması için, iç açılarından en az birinin \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında olması gerekmektedir.
- Verilen \( 115^\circ \)lik açı, \( 90^\circ \)den büyük ve \( 180^\circ \)den küçüktür.
- Bu nedenle, bu açı bir geniş açıdır.
- Üçgenin bir açısı geniş açı olduğu için, bu tasarımda oluşan üçgen bir geniş açılı üçgendir.
Örnek 7:
Bir geniş açılı üçgenin dar açıları \( \alpha \) ve \( \beta \) olsun. Eğer \( \alpha = 2\beta \) ise, \( \beta \) açısının en büyük tam sayı değeri kaç olabilir?
Çözüm:
- Bir geniş açılı üçgende, bir açı \( 90^\circ \)den büyüktür ve diğer iki açı dar açıdır (yani \( 90^\circ \)den küçüktür).
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- Geniş açılı üçgenin açıları \( \theta \), \( \alpha \) ve \( \beta \) olsun, burada \( \theta > 90^\circ \).
- \( \theta + \alpha + \beta = 180^\circ \)
- Soruda \( \alpha = 2\beta \) olarak verilmiş.
- Ayrıca \( \alpha \) ve \( \beta \) dar açılar olduğundan, \( \alpha < 90^\circ \) ve \( \beta < 90^\circ \) olmalıdır.
- \( \alpha = 2\beta \) ilişkisini kullanarak, \( 2\beta < 90^\circ \) olur. Bu da \( \beta < 45^\circ \) anlamına gelir.
- Şimdi \( \theta + \alpha + \beta = 180^\circ \) denkleminde \( \alpha \) yerine \( 2\beta \) yazalım:
- \( \theta + 2\beta + \beta = 180^\circ \)
- \( \theta + 3\beta = 180^\circ \)
- Geniş açı \( \theta \)nın \( 90^\circ \)den büyük olması gerektiğini biliyoruz: \( \theta > 90^\circ \).
- Bu eşitsizliği kullanarak \( \beta \) için bir sınır bulalım:
- \( 180^\circ - 3\beta > 90^\circ \)
- \( 180^\circ - 90^\circ > 3\beta \)
- \( 90^\circ > 3\beta \)
- Her iki tarafı 3'e bölersek: \( 30^\circ > \beta \)
- Yani, \( \beta \) açısı \( 30^\circ \)den küçük olmalıdır.
- Ayrıca \( \beta \) bir dar açı olduğundan \( \beta < 90^\circ \) olmalıdır, ancak \( \beta < 30^\circ \) eşitsizliği daha kısıtlayıcıdır.
- \( \beta \) açısının en büyük tam sayı değerini arıyoruz. \( \beta < 30^\circ \) olduğu için, \( \beta \)nın alabileceği en büyük tam sayı değeri \( 29^\circ \)dur.
Örnek 8:
Bir parkta bulunan üç bank, bir üçgen oluşturacak şekilde yerleştirilmiştir. Bu üçgenin bir açısı \( 105^\circ \) olarak ölçülmüştür. Parkın bu bölümünde, bankların oluşturduğu üçgenin çevresinde yürüyen bir kişi, bankların arasındaki açıların toplamını tamamlarken hangi tür bir üçgenle karşılaştığını bilmelidir?
Çözüm:
- Parktaki üç bankın yerleşimi bir üçgen oluşturmaktadır.
- Bu üçgenin bir açısı \( 105^\circ \) olarak ölçülmüştür.
- Bir üçgenin geniş açılı üçgen olması için, iç açılarından en az birinin \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında olması gerekir.
- Verilen \( 105^\circ \) açısı, \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) aralığında bir değerdir.
- Bu, üçgenin bir açısının geniş açı olduğu anlamına gelir.
- Dolayısıyla, parktaki bankların oluşturduğu üçgen bir geniş açılı üçgendir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-genis-acili-ucgen/sorular