Birebir Fonksiyon mu? Hayır. Çünkü tanım kümesindeki farklı elemanlar (1 ve 3) değer kümesindeki aynı elemana (a) eşlenmiştir.
Örten Fonksiyon mu? Hayır. Çünkü değer kümesindeki \( \{d, e\} \) elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yoktur.
İçine Fonksiyon mu? Evet. Örten olmadığı için aynı zamanda içine fonksiyondur.
Şimdi de fonksiyonun nicel özelliklerine bakalım:
Tanım Kümesi: \( A = \{1, 2, 3, 4\} \)
Değer Kümesi: \( B = \{a, b, c, d, e\} \)
Görüntü Kümesi (Değer Kümesinin Alt Kümesidir): \( f(A) = \{a, b, c\} \)
Tanım Kümesinin Eleman Sayısı: \( |A| = 4 \)
Değer Kümesinin Eleman Sayısı: \( |B| = 5 \)
Görüntü Kümesinin Eleman Sayısı: \( |f(A)| = 3 \)
💡 İpucu: Birebir fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki farklı bir elemana eşlenir. Örten fonksiyonlarda ise görüntü kümesi değer kümesine eşittir.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonunun grafiğini, \( y \)-ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleyerek yeni bir \( g(x) \) fonksiyonu elde edelim.
Yeni oluşan \( g(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini \( y \)-ekseni boyunca \( k \) birim yukarı ötelemek demek, fonksiyonun kuralına \( +k \) eklemek demektir.
Bu durumda, \( f(x) \) fonksiyonunu 3 birim yukarı ötelediğimizde yeni fonksiyonumuz \( g(x) \) şu şekilde olur:
\( g(x) = f(x) + 3 \)
\( g(x) = (2x + 1) + 3 \)
\( g(x) = 2x + 4 \)
✅ Yani, \( y \)-ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleme, fonksiyonun sabit terimini 3 artırmıştır.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( h(x) = x^2 - 3 \) fonksiyonunun grafiğini, \( x \)-ekseni boyunca 2 birim sola öteleyerek yeni bir \( k(x) \) fonksiyonu elde edelim.
Yeni oluşan \( k(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini \( x \)-ekseni boyunca \( c \) birim sola ötelemek demek, fonksiyonda \( x \) yerine \( (x+c) \) yazmak demektir.
Burada \( h(x) \) fonksiyonunu 2 birim sola ötelediğimiz için, fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( (x+2) \) yazmalıyız:
\( k(x) = h(x+2) \)
\( k(x) = (x+2)^2 - 3 \)
Şimdi bu ifadeyi açalım: \( k(x) = (x^2 + 4x + 4) - 3 \)
\( k(x) = x^2 + 4x + 1 \)
👉 Unutmayın: \( x \)-ekseni boyunca sağ öteleme \( x \) yerine \( (x-c) \), sol öteleme ise \( x \) yerine \( (x+c) \) yazmayı gerektirir.
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir araç kiralama şirketi, günlük kiralama ücretini belirleyen bir fonksiyon tanımlamıştır.
\( F(x) = 50x + 100 \) formülü ile verilen bu fonksiyon, \( x \) gün boyunca kiralanan aracın toplam ücretini (TL cinsinden) göstermektedir.
Şirket, belirli bir kampanya döneminde bu ücretlendirmeyi her gün için 20 TL indirimli hale getirmiştir.
Bu indirimli kampanya dönemindeki yeni ücretlendirme fonksiyonunu \( G(x) \) olarak ifade ediniz.
Çözüm ve Açıklama
Orijinal fonksiyonumuz \( F(x) = 50x + 100 \) idi.
Her gün için 20 TL indirim yapılması demek, toplam ücretten \( x \) gün boyunca \( x \times 20 \) TL'nin düşülmesi demektir.
Yeni fonksiyon \( G(x) \), eski fonksiyon \( F(x) \) eksi yapılan toplam indirimin farkı olacaktır.
Toplam indirim: \( 20x \) TL
\( G(x) = F(x) - 20x \)
\( G(x) = (50x + 100) - 20x \)
\( G(x) = 30x + 100 \)
✅ Bu yeni fonksiyon \( G(x) \), kampanya dönemindeki günlük kiralama ücretini doğru bir şekilde göstermektedir.
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir fidanın boyunun zamana göre uzamasını modelleyen bir fonksiyon düşünelim.
Başlangıçta 10 cm boyunda olan bir fidanın her yıl 5 cm uzadığı varsayılmaktadır.
Bu durumu modelleyen \( B(y) \) fonksiyonunu yazınız. Burada \( y \) yıl sayısını göstermektedir.
Ardından, bu fidanın başlangıçtan itibaren 3 yıl sonraki boyunu hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Fidanın başlangıç boyu 10 cm'dir. Bu, fonksiyonun sabit terimi olacaktır.
Fidan her yıl 5 cm uzadığına göre, \( y \) yıl sonraki uzama miktarı \( 5y \) cm olacaktır.
Bu durumu modelleyen fonksiyon: \( B(y) = 5y + 10 \)
Şimdi, 3 yıl sonraki boyunu hesaplayalım:
\( y = 3 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım.
\( B(3) = 5 \times 3 + 10 \)
\( B(3) = 15 + 10 \)
\( B(3) = 25 \) cm
💡 Yani, 3 yıl sonra fidanın boyu 25 cm olacaktır.
6
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
\( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun grafiğini, \( y \)-ekseni boyunca 4 birim aşağı öteleyelim.
Oluşan yeni fonksiyonun kuralını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonu \( y \)-ekseni boyunca \( k \) birim aşağı ötelemek, fonksiyonun kuralından \( k \) çıkarmak anlamına gelir.
Burada 4 birim aşağı öteleme yapacağımız için, \( f(x) \) fonksiyonundan 4 çıkaracağız.
Yeni fonksiyon \( g(x) \) olsun.
\( g(x) = f(x) - 4 \)
\( g(x) = (3x - 5) - 4 \)
\( g(x) = 3x - 9 \)
✅ Yeni fonksiyonun kuralı \( 3x - 9 \) olur.
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
\( f(x) = (x-1)^2 + 2 \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Bu grafiği önce \( x \)-ekseni boyunca 3 birim sağa, ardından \( y \)-ekseni boyunca 1 birim aşağı öteleyerek elde edilen yeni fonksiyonun kuralını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Adım adım ilerleyelim:
1. Öteleme: \( x \)-ekseni boyunca 3 birim sağa
\( x \) yerine \( (x-3) \) yazılır.
\( f_1(x) = f(x-3) \)
\( f_1(x) = ((x-3)-1)^2 + 2 \)
\( f_1(x) = (x-4)^2 + 2 \)
2. Öteleme: \( y \)-ekseni boyunca 1 birim aşağı
\( y \)-ekseni boyunca aşağı öteleme, fonksiyondan sabit bir değer çıkarmak demektir.
Yeni fonksiyon \( g(x) \) olsun.
\( g(x) = f_1(x) - 1 \)
\( g(x) = ((x-4)^2 + 2) - 1 \)
\( g(x) = (x-4)^2 + 1 \)
Şimdi bu ifadeyi açarak standart forma getirebiliriz:
\( g(x) = (x^2 - 8x + 16) + 1 \)
\( g(x) = x^2 - 8x + 17 \)
👉 Bu, iki öteleme sonucunda elde edilen yeni fonksiyonun kuralıdır.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sinema salonunda bilet fiyatları, koltuk numarasına göre belirlenmektedir.
Salonun arka sıralarındaki koltuklar için bilet fiyatı \( P(n) = 10n + 50 \) TL olarak belirlenmiştir. Burada \( n \) koltuk numarasını göstermektedir.
Ancak, salon yönetimi bir promosyon yaparak, arka sıralardaki koltukların fiyatını her koltuk numarası için 5 TL artırmıştır.
Bu promosyon sonrası yeni bilet fiyatı fonksiyonunu \( Q(n) \) olarak ifade ediniz.
Çözüm ve Açıklama
Orijinal bilet fiyatı fonksiyonu \( P(n) = 10n + 50 \) idi.
Her koltuk numarası için 5 TL'lik bir artış, fonksiyonun \( n \) ile çarpılan katsayısını değiştirecektir.
Yeni fonksiyon \( Q(n) \) için, \( n \) ile çarpılan katsayı \( 10 \) yerine \( 10 + 5 = 15 \) olacaktır.
Sabit terim olan \( 50 \) TL ise değişmeyecektir.
Bu nedenle, yeni bilet fiyatı fonksiyonu: \( Q(n) = 15n + 50 \)
💡 Bu yeni fonksiyon, promosyon sonrası arka sıralardaki koltukların yeni fiyatlarını doğru bir şekilde göstermektedir.
9. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Nitel ve Nicel Özellikleri ile Öteleme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir 𝑓 fonksiyonu verilsin.
Bu fonksiyonun tanım kümesi \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) ve değer kümesi \( B = \{a, b, c, d, e\} \) olsun.
Fonksiyonun grafiği şu şekilde verilmiştir: \( f = \{(1, a), (2, b), (3, a), (4, c)\} \)
Bu fonksiyonun nitel ve nicel özelliklerini inceleyelim.
Birebir Fonksiyon mu? Hayır. Çünkü tanım kümesindeki farklı elemanlar (1 ve 3) değer kümesindeki aynı elemana (a) eşlenmiştir.
Örten Fonksiyon mu? Hayır. Çünkü değer kümesindeki \( \{d, e\} \) elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yoktur.
İçine Fonksiyon mu? Evet. Örten olmadığı için aynı zamanda içine fonksiyondur.
Şimdi de fonksiyonun nicel özelliklerine bakalım:
Tanım Kümesi: \( A = \{1, 2, 3, 4\} \)
Değer Kümesi: \( B = \{a, b, c, d, e\} \)
Görüntü Kümesi (Değer Kümesinin Alt Kümesidir): \( f(A) = \{a, b, c\} \)
Tanım Kümesinin Eleman Sayısı: \( |A| = 4 \)
Değer Kümesinin Eleman Sayısı: \( |B| = 5 \)
Görüntü Kümesinin Eleman Sayısı: \( |f(A)| = 3 \)
💡 İpucu: Birebir fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki farklı bir elemana eşlenir. Örten fonksiyonlarda ise görüntü kümesi değer kümesine eşittir.
Örnek 2:
\( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonunun grafiğini, \( y \)-ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleyerek yeni bir \( g(x) \) fonksiyonu elde edelim.
Yeni oluşan \( g(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini \( y \)-ekseni boyunca \( k \) birim yukarı ötelemek demek, fonksiyonun kuralına \( +k \) eklemek demektir.
Bu durumda, \( f(x) \) fonksiyonunu 3 birim yukarı ötelediğimizde yeni fonksiyonumuz \( g(x) \) şu şekilde olur:
\( g(x) = f(x) + 3 \)
\( g(x) = (2x + 1) + 3 \)
\( g(x) = 2x + 4 \)
✅ Yani, \( y \)-ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleme, fonksiyonun sabit terimini 3 artırmıştır.
Örnek 3:
\( h(x) = x^2 - 3 \) fonksiyonunun grafiğini, \( x \)-ekseni boyunca 2 birim sola öteleyerek yeni bir \( k(x) \) fonksiyonu elde edelim.
Yeni oluşan \( k(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini \( x \)-ekseni boyunca \( c \) birim sola ötelemek demek, fonksiyonda \( x \) yerine \( (x+c) \) yazmak demektir.
Burada \( h(x) \) fonksiyonunu 2 birim sola ötelediğimiz için, fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( (x+2) \) yazmalıyız:
\( k(x) = h(x+2) \)
\( k(x) = (x+2)^2 - 3 \)
Şimdi bu ifadeyi açalım: \( k(x) = (x^2 + 4x + 4) - 3 \)
\( k(x) = x^2 + 4x + 1 \)
👉 Unutmayın: \( x \)-ekseni boyunca sağ öteleme \( x \) yerine \( (x-c) \), sol öteleme ise \( x \) yerine \( (x+c) \) yazmayı gerektirir.
Örnek 4:
Bir araç kiralama şirketi, günlük kiralama ücretini belirleyen bir fonksiyon tanımlamıştır.
\( F(x) = 50x + 100 \) formülü ile verilen bu fonksiyon, \( x \) gün boyunca kiralanan aracın toplam ücretini (TL cinsinden) göstermektedir.
Şirket, belirli bir kampanya döneminde bu ücretlendirmeyi her gün için 20 TL indirimli hale getirmiştir.
Bu indirimli kampanya dönemindeki yeni ücretlendirme fonksiyonunu \( G(x) \) olarak ifade ediniz.
Çözüm:
Orijinal fonksiyonumuz \( F(x) = 50x + 100 \) idi.
Her gün için 20 TL indirim yapılması demek, toplam ücretten \( x \) gün boyunca \( x \times 20 \) TL'nin düşülmesi demektir.
Yeni fonksiyon \( G(x) \), eski fonksiyon \( F(x) \) eksi yapılan toplam indirimin farkı olacaktır.
Toplam indirim: \( 20x \) TL
\( G(x) = F(x) - 20x \)
\( G(x) = (50x + 100) - 20x \)
\( G(x) = 30x + 100 \)
✅ Bu yeni fonksiyon \( G(x) \), kampanya dönemindeki günlük kiralama ücretini doğru bir şekilde göstermektedir.
Örnek 5:
Bir fidanın boyunun zamana göre uzamasını modelleyen bir fonksiyon düşünelim.
Başlangıçta 10 cm boyunda olan bir fidanın her yıl 5 cm uzadığı varsayılmaktadır.
Bu durumu modelleyen \( B(y) \) fonksiyonunu yazınız. Burada \( y \) yıl sayısını göstermektedir.
Ardından, bu fidanın başlangıçtan itibaren 3 yıl sonraki boyunu hesaplayınız.
Çözüm:
Fidanın başlangıç boyu 10 cm'dir. Bu, fonksiyonun sabit terimi olacaktır.
Fidan her yıl 5 cm uzadığına göre, \( y \) yıl sonraki uzama miktarı \( 5y \) cm olacaktır.
Bu durumu modelleyen fonksiyon: \( B(y) = 5y + 10 \)
Şimdi, 3 yıl sonraki boyunu hesaplayalım:
\( y = 3 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım.
\( B(3) = 5 \times 3 + 10 \)
\( B(3) = 15 + 10 \)
\( B(3) = 25 \) cm
💡 Yani, 3 yıl sonra fidanın boyu 25 cm olacaktır.
Örnek 6:
\( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun grafiğini, \( y \)-ekseni boyunca 4 birim aşağı öteleyelim.
Oluşan yeni fonksiyonun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Bir fonksiyonu \( y \)-ekseni boyunca \( k \) birim aşağı ötelemek, fonksiyonun kuralından \( k \) çıkarmak anlamına gelir.
Burada 4 birim aşağı öteleme yapacağımız için, \( f(x) \) fonksiyonundan 4 çıkaracağız.
Yeni fonksiyon \( g(x) \) olsun.
\( g(x) = f(x) - 4 \)
\( g(x) = (3x - 5) - 4 \)
\( g(x) = 3x - 9 \)
✅ Yeni fonksiyonun kuralı \( 3x - 9 \) olur.
Örnek 7:
\( f(x) = (x-1)^2 + 2 \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Bu grafiği önce \( x \)-ekseni boyunca 3 birim sağa, ardından \( y \)-ekseni boyunca 1 birim aşağı öteleyerek elde edilen yeni fonksiyonun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Adım adım ilerleyelim:
1. Öteleme: \( x \)-ekseni boyunca 3 birim sağa
\( x \) yerine \( (x-3) \) yazılır.
\( f_1(x) = f(x-3) \)
\( f_1(x) = ((x-3)-1)^2 + 2 \)
\( f_1(x) = (x-4)^2 + 2 \)
2. Öteleme: \( y \)-ekseni boyunca 1 birim aşağı
\( y \)-ekseni boyunca aşağı öteleme, fonksiyondan sabit bir değer çıkarmak demektir.
Yeni fonksiyon \( g(x) \) olsun.
\( g(x) = f_1(x) - 1 \)
\( g(x) = ((x-4)^2 + 2) - 1 \)
\( g(x) = (x-4)^2 + 1 \)
Şimdi bu ifadeyi açarak standart forma getirebiliriz:
\( g(x) = (x^2 - 8x + 16) + 1 \)
\( g(x) = x^2 - 8x + 17 \)
👉 Bu, iki öteleme sonucunda elde edilen yeni fonksiyonun kuralıdır.
Örnek 8:
Bir sinema salonunda bilet fiyatları, koltuk numarasına göre belirlenmektedir.
Salonun arka sıralarındaki koltuklar için bilet fiyatı \( P(n) = 10n + 50 \) TL olarak belirlenmiştir. Burada \( n \) koltuk numarasını göstermektedir.
Ancak, salon yönetimi bir promosyon yaparak, arka sıralardaki koltukların fiyatını her koltuk numarası için 5 TL artırmıştır.
Bu promosyon sonrası yeni bilet fiyatı fonksiyonunu \( Q(n) \) olarak ifade ediniz.
Çözüm:
Orijinal bilet fiyatı fonksiyonu \( P(n) = 10n + 50 \) idi.
Her koltuk numarası için 5 TL'lik bir artış, fonksiyonun \( n \) ile çarpılan katsayısını değiştirecektir.
Yeni fonksiyon \( Q(n) \) için, \( n \) ile çarpılan katsayı \( 10 \) yerine \( 10 + 5 = 15 \) olacaktır.
Sabit terim olan \( 50 \) TL ise değişmeyecektir.
Bu nedenle, yeni bilet fiyatı fonksiyonu: \( Q(n) = 15n + 50 \)
💡 Bu yeni fonksiyon, promosyon sonrası arka sıralardaki koltukların yeni fiyatlarını doğru bir şekilde göstermektedir.