💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Nitel ve Nicel Özellikleri ile Öteleme Çözümlü Örnekler

Öncelikle fonksiyonun nitel özelliklerine bakalım:

• Birebir Fonksiyon mu? Hayır. Çünkü tanım kümesindeki farklı elemanlar (1 ve 3) değer kümesindeki aynı elemana (a) eşlenmiştir.
• Örten Fonksiyon mu? Hayır. Çünkü değer kümesindeki \( \{d, e\} \) elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yoktur.
• İçine Fonksiyon mu? Evet. Örten olmadığı için aynı zamanda içine fonksiyondur.

Şimdi de fonksiyonun nicel özelliklerine bakalım:

• Tanım Kümesi: \( A = \{1, 2, 3, 4\} \)
• Değer Kümesi: \( B = \{a, b, c, d, e\} \)
• Görüntü Kümesi (Değer Kümesinin Alt Kümesidir): \( f(A) = \{a, b, c\} \)
• Tanım Kümesinin Eleman Sayısı: \( |A| = 4 \)
• Değer Kümesinin Eleman Sayısı: \( |B| = 5 \)
• Görüntü Kümesinin Eleman Sayısı: \( |f(A)| = 3 \)

💡 İpucu: Birebir fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki farklı bir elemana eşlenir. Örten fonksiyonlarda ise görüntü kümesi değer kümesine eşittir.

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini \( y \)-ekseni boyunca \( k \) birim yukarı ötelemek demek, fonksiyonun kuralına \( +k \) eklemek demektir.

Bu durumda, \( f(x) \) fonksiyonunu 3 birim yukarı ötelediğimizde yeni fonksiyonumuz \( g(x) \) şu şekilde olur:

• \( g(x) = f(x) + 3 \)
• \( g(x) = (2x + 1) + 3 \)
• \( g(x) = 2x + 4 \)

✅ Yani, \( y \)-ekseni boyunca 3 birim yukarı öteleme, fonksiyonun sabit terimini 3 artırmıştır.

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini \( x \)-ekseni boyunca \( c \) birim sola ötelemek demek, fonksiyonda \( x \) yerine \( (x+c) \) yazmak demektir.

Burada \( h(x) \) fonksiyonunu 2 birim sola ötelediğimiz için, fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( (x+2) \) yazmalıyız:

• \( k(x) = h(x+2) \)
• \( k(x) = (x+2)^2 - 3 \)
• Şimdi bu ifadeyi açalım: \( k(x) = (x^2 + 4x + 4) - 3 \)
• \( k(x) = x^2 + 4x + 1 \)

👉 Unutmayın: \( x \)-ekseni boyunca sağ öteleme \( x \) yerine \( (x-c) \), sol öteleme ise \( x \) yerine \( (x+c) \) yazmayı gerektirir.

Orijinal fonksiyonumuz \( F(x) = 50x + 100 \) idi.

Her gün için 20 TL indirim yapılması demek, toplam ücretten \( x \) gün boyunca \( x \times 20 \) TL'nin düşülmesi demektir.

• Yeni fonksiyon \( G(x) \), eski fonksiyon \( F(x) \) eksi yapılan toplam indirimin farkı olacaktır.
• Toplam indirim: \( 20x \) TL
• \( G(x) = F(x) - 20x \)
• \( G(x) = (50x + 100) - 20x \)
• \( G(x) = 30x + 100 \)

✅ Bu yeni fonksiyon \( G(x) \), kampanya dönemindeki günlük kiralama ücretini doğru bir şekilde göstermektedir.

Fidanın başlangıç boyu 10 cm'dir. Bu, fonksiyonun sabit terimi olacaktır.

Fidan her yıl 5 cm uzadığına göre, \( y \) yıl sonraki uzama miktarı \( 5y \) cm olacaktır.

• Bu durumu modelleyen fonksiyon: \( B(y) = 5y + 10 \)

Şimdi, 3 yıl sonraki boyunu hesaplayalım:

• \( y = 3 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım.
• \( B(3) = 5 \times 3 + 10 \)
• \( B(3) = 15 + 10 \)
• \( B(3) = 25 \) cm

💡 Yani, 3 yıl sonra fidanın boyu 25 cm olacaktır.

Bir fonksiyonu \( y \)-ekseni boyunca \( k \) birim aşağı ötelemek, fonksiyonun kuralından \( k \) çıkarmak anlamına gelir.

Burada 4 birim aşağı öteleme yapacağımız için, \( f(x) \) fonksiyonundan 4 çıkaracağız.

• Yeni fonksiyon \( g(x) \) olsun.
• \( g(x) = f(x) - 4 \)
• \( g(x) = (3x - 5) - 4 \)
• \( g(x) = 3x - 9 \)

✅ Yeni fonksiyonun kuralı \( 3x - 9 \) olur.

Adım adım ilerleyelim:

1. 1. Öteleme: \( x \)-ekseni boyunca 3 birim sağa
• \( x \) yerine \( (x-3) \) yazılır.
• \( f_1(x) = f(x-3) \)
• \( f_1(x) = ((x-3)-1)^2 + 2 \)
• \( f_1(x) = (x-4)^2 + 2 \)
2. 2. Öteleme: \( y \)-ekseni boyunca 1 birim aşağı
• \( y \)-ekseni boyunca aşağı öteleme, fonksiyondan sabit bir değer çıkarmak demektir.
• Yeni fonksiyon \( g(x) \) olsun.
• \( g(x) = f_1(x) - 1 \)
• \( g(x) = ((x-4)^2 + 2) - 1 \)
• \( g(x) = (x-4)^2 + 1 \)

Şimdi bu ifadeyi açarak standart forma getirebiliriz:

• \( g(x) = (x^2 - 8x + 16) + 1 \)
• \( g(x) = x^2 - 8x + 17 \)

👉 Bu, iki öteleme sonucunda elde edilen yeni fonksiyonun kuralıdır.

Orijinal bilet fiyatı fonksiyonu \( P(n) = 10n + 50 \) idi.

Her koltuk numarası için 5 TL'lik bir artış, fonksiyonun \( n \) ile çarpılan katsayısını değiştirecektir.

• Yeni fonksiyon \( Q(n) \) için, \( n \) ile çarpılan katsayı \( 10 \) yerine \( 10 + 5 = 15 \) olacaktır.
• Sabit terim olan \( 50 \) TL ise değişmeyecektir.
• Bu nedenle, yeni bilet fiyatı fonksiyonu: \( Q(n) = 15n + 50 \)

💡 Bu yeni fonksiyon, promosyon sonrası arka sıralardaki koltukların yeni fiyatlarını doğru bir şekilde göstermektedir.