💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun grafiğini inceleyelim:

• Grafikteki en küçük y değeri -2'dir.
• Grafikteki en büyük y değeri 4'tür.
• Fonksiyon bu değerler arasındaki tüm reel sayıları alır.

Bu nedenle, fonksiyonun görüntü kümesi \( [-2, 4] \) aralığıdır. ✅

Fonksiyonun grafiği bir paraboldür ve kolları yukarı doğrudur. Parabolün tepe noktasının y koordinatı, fonksiyonun alabileceği en küçük değeri verir.

• Tepe noktasının apsisi \( x_t = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur. Burada \( a=1 \) ve \( b=-3 \) olduğundan \( x_t = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} \) olur.
• Tepe noktasının ordinatı \( f(x_t) \) hesaplanır: \( f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 5 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 5 = \frac{9 - 18 + 20}{4} = \frac{11}{4} \).
• Fonksiyonun alabileceği en küçük değer \( \frac{11}{4} \) olduğundan, görüntü kümesi \( \left[\frac{11}{4}, \infty\right) \) olur.

Görüntü kümesi: \( \left[\frac{11}{4}, \infty\right) \) ✅

Bir fonksiyonun tek olup olmadığını anlamak için \( f(-x) = -f(x) \) eşitliğine bakarız. Çift olup olmadığını anlamak için ise \( f(-x) = f(x) \) eşitliğine bakarız.

• \( f(-x) = 2(-x) + 1 = -2x + 1 \)
• \( -f(x) = -(2x + 1) = -2x - 1 \)
• \( f(x) = 2x + 1 \)

\( f(-x) \neq f(x) \) ve \( f(-x) \neq -f(x) \) olduğundan, bu fonksiyon ne tek ne de çifttir. ❌

Fonksiyonun tek veya çift olup olmadığını kontrol edelim:

• \( g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x \)
• \( -g(x) = -(x^3 - x) = -x^3 + x \)

\( g(-x) = -g(x) \) eşitliği sağlandığı için, \( g(x) \) fonksiyonu tek bir fonksiyondur. 🎉

Kâr fonksiyonu, satış fiyatı fonksiyonundan maliyet fonksiyonunun çıkarılmasıyla bulunur: \( K(x) = S(x) - C(x) \).

• \( K(x) = (800 + 5x) - (500 + 10x) \)
• \( K(x) = 800 + 5x - 500 - 10x \)
• \( K(x) = 300 - 5x \)

100 adet akıllı saat satıldığında elde edilecek kârı hesaplamak için \( x=100 \) değerini kâr fonksiyonunda yerine koyalım:

• \( K(100) = 300 - 5(100) \)
• \( K(100) = 300 - 500 \)
• \( K(100) = -200 \) TL

Bu durumda, 100 adet akıllı saat satıldığında 200 TL zarar edilecektir. 😟

Depodaki benzin miktarını gösteren fonksiyonu \( B(k) \) olarak tanımlayalım, burada \( k \) gidilen kilometreyi temsil eder.

• Başlangıçta 50 litre benzin var.
• Her 100 km'de 8 litre tüketiliyor, yani 1 km'de \( \frac{8}{100} = 0.08 \) litre tüketiliyor.
• Fonksiyon: \( B(k) = 50 - 0.08k \)

Tanım Kümesi: Gidilen kilometre negatif olamaz ve aracın deposundaki benzin bitene kadar gidilebilir. Depo bittiğinde \( 50 - 0.08k = 0 \) olur, bu da \( k = \frac{50}{0.08} = 625 \) km demektir. Dolayısıyla tanım kümesi \( [0, 625] \) km'dir. Görüntü Kümesi: Gidilen kilometre 0 iken benzin miktarı 50 litredir. Gidilen kilometre 625 olduğunda benzin miktarı 0 litre olur. Dolayısıyla görüntü kümesi \( [0, 50] \) litre benzin olacaktır. ✅

\( (f \circ g)(x) \) bileşke fonksiyonu, \( f(g(x)) \) şeklinde hesaplanır.

• Önce \( g(x) \) fonksiyonunu \( f \) fonksiyonunda yerine yazalım: \( f(g(x)) = \sqrt{g(x) - 2} \)
• \( g(x) = x^2 + 1 \) olduğundan, \( f(g(x)) = \sqrt{(x^2 + 1) - 2} = \sqrt{x^2 - 1} \)

Şimdi bu fonksiyonun tanım kümesini bulalım. Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir:

• \( x^2 - 1 \ge 0 \)
• \( x^2 \ge 1 \)
• Bu eşitsizlik \( x \ge 1 \) veya \( x \le -1 \) olduğunda sağlanır.

Dolayısıyla, \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunun tanım kümesi \( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \) olur. 🎯

Ters fonksiyonu bulmak için adımları izleyelim:

• Fonksiyonda \( y = h(x) \) diyelim: \( y = \frac{3x+1}{x-4} \)
• \( x \) değişkenini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım:
• \( y(x-4) = 3x+1 \)
• \( yx - 4y = 3x + 1 \)
• \( yx - 3x = 4y + 1 \)
• \( x(y-3) = 4y + 1 \)
• \( x = \frac{4y+1}{y-3} \)
• Şimdi \( x \) yerine \( h^{-1}(y) \) ve \( y \) yerine \( x \) yazalım: \( h^{-1}(x) = \frac{4x+1}{x-3} \)

Böylece, \( h(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( h^{-1}(x) = \frac{4x+1}{x-3} \) olarak bulunur. 🌟