9. Sınıf Fonksiyonlarda Öteleme, Parçalı Fonksiyonlar, Mutlak Değerli Fonksiyonlar Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

💡 Fonksiyonlarda Dikey Öteleme
Verilen \(f(x) = 2x+1\) fonksiyonunun grafiği y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyonun kuralını bulunuz. ⬆️

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

💡 Fonksiyonlarda Yatay Öteleme
Verilen \(g(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği x ekseni boyunca 2 birim sağa ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyonun kuralını bulunuz. 👉

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

💡 Fonksiyonlarda Hem Yatay Hem Dikey Öteleme
Verilen \(h(x) = 3x-2\) fonksiyonunun grafiği x ekseni boyunca 1 birim sola ve y ekseni boyunca 4 birim aşağı ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyonun kuralı nedir? 📉👈

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

💡 Parçalı Fonksiyonlarda Değer Bulma
Aşağıda verilen parçalı fonksiyon için \(f(0)\) ve \(f(3)\) değerlerini bulunuz. 🤔 \[ f(x) = \begin{cases} x+2, & x < 1 \\ 2x-1, & x \ge 1 \end{cases} \]

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

💡 Mutlak Değer Fonksiyonunu Parçalı Fonksiyon Olarak Yazma
Verilen \(g(x) = |x-3|\) mutlak değerli fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde ifade ediniz. ✍️

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

💡 Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafiği ve Özellikleri
\(y = |x|\) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni ve y ekseni ile ilgili simetri özelliklerini ve tepe noktasını açıklayınız. 📊

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

💡 Öteleme ve Fonksiyon Anlayışı
Bir fidanın boyunun zamana göre değişimini gösteren fonksiyon \(f(t)\) ile ifade edilmektedir. Burada \(t\) zamanı (hafta), \(f(t)\) ise fidanın boyunu (cm) göstermektedir. Başlangıçta 20 cm olan fidan, her hafta 2 cm uzamaktadır.
1. Bu fidanın \(t\) hafta sonraki boyunu veren \(f(t)\) fonksiyonunu yazınız. 🌱 2. Eğer fidan, dikildikten 3 hafta sonra (yani 3. haftanın sonunda) beklenmedik bir şekilde 5 cm daha uzasaydı, bu durum \(f(t)\) fonksiyonunun grafiğinde nasıl bir değişime karşılık gelirdi? Bu durumu yeni bir fonksiyon \(g(t)\) olarak \(f(t)\) cinsinden ifade ediniz. (Sadece bu anlık uzamayı öteleme olarak düşünün).

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

💡 Mutlak Değer Fonksiyonu ve Mesafe Kavramı
Bir sayı doğrusu üzerinde A noktası -2 konumundadır. B noktasının koordinatı \(x\) olmak üzere, B noktasının A noktasına olan uzaklığını veren fonksiyonu mutlak değer kullanarak ifade ediniz. Daha sonra bu uzaklığın 5 birim olduğu durumdaki B noktasının olası konumlarını bulunuz. 📏

9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme, Parçalı Fonksiyonlar, Mutlak Değerli Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

💡 Fonksiyonlarda Dikey Öteleme
Verilen \(f(x) = 2x+1\) fonksiyonunun grafiği y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyonun kuralını bulunuz. ⬆️

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiği y ekseni boyunca yukarı veya aşağı ötelendiğinde, fonksiyonun kuralına sabit bir sayı eklenir veya çıkarılır.

👉 Bir fonksiyonu y ekseni boyunca \(c\) birim yukarı ötelemek için fonksiyonun kuralına \(c\) eklenir: \(f(x) \to f(x)+c\).
👉 Bir fonksiyonu y ekseni boyunca \(c\) birim aşağı ötelemek için fonksiyonun kuralından \(c\) çıkarılır: \(f(x) \to f(x)-c\).

Bu soruda, \(f(x) = 2x+1\) fonksiyonu y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenmektedir. Bu durumda fonksiyonun kuralına 3 eklemeliyiz.
✅ Çözüm Adımları:

Verilen fonksiyon: \(f(x) = 2x+1\)
3 birim yukarı öteleme: \(f(x)+3\)
Yeni fonksiyonun kuralı: \(g(x) = (2x+1) + 3\)
Sonuç: \(g(x) = 2x+4\)

Örnek 2:

💡 Fonksiyonlarda Yatay Öteleme
Verilen \(g(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği x ekseni boyunca 2 birim sağa ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyonun kuralını bulunuz. 👉

Çözüm:

Bir fonksiyonun grafiği x ekseni boyunca sağa veya sola ötelendiğinde, fonksiyonun içindeki \(x\) yerine \(x-c\) veya \(x+c\) yazılır.

👉 Bir fonksiyonu x ekseni boyunca \(c\) birim sağa ötelemek için fonksiyonun içindeki \(x\) yerine \(x-c\) yazılır: \(f(x) \to f(x-c)\).
👉 Bir fonksiyonu x ekseni boyunca \(c\) birim sola ötelemek için fonksiyonun içindeki \(x\) yerine \(x+c\) yazılır: \(f(x) \to f(x+c)\).

Bu soruda, \(g(x) = x^2\) fonksiyonu x ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenmektedir. Bu durumda fonksiyonun içindeki \(x\) yerine \(x-2\) yazmalıyız.
✅ Çözüm Adımları:

Verilen fonksiyon: \(g(x) = x^2\)
2 birim sağa öteleme: \(g(x-2)\)
Yeni fonksiyonun kuralı: \(h(x) = (x-2)^2\)
Sonuç: \(h(x) = (x-2)^2\)

Örnek 3:

Çözüm:

Hem yatay hem de dikey öteleme işlemlerini sırasıyla uygulamalıyız.

1 birim sola öteleme: Fonksiyonun içindeki \(x\) yerine \(x+1\) yazılır. Kural \(h(x+1)\) olur.
4 birim aşağı öteleme: Fonksiyonun kuralından 4 çıkarılır. Kural \(h(x+1)-4\) olur.

✅ Çözüm Adımları:

Verilen fonksiyon: \(h(x) = 3x-2\)
Önce 1 birim sola öteleme uygulayalım (yani \(x\) yerine \(x+1\) yazalım):
\(h(x+1) = 3(x+1)-2\)
Bu ifadeyi düzenleyelim:
\(h(x+1) = 3x+3-2 = 3x+1\)
Şimdi bu yeni fonksiyona 4 birim aşağı öteleme uygulayalım (yani kuraldan 4 çıkaralım):
\(k(x) = (3x+1) - 4\)
Sonuç: \(k(x) = 3x-3\)

Örnek 4:

Çözüm:

Parçalı fonksiyonlarda bir değer bulmak için, öncelikle verilen \(x\) değerinin hangi aralığa ait olduğunu belirlemeli ve o aralığa karşılık gelen fonksiyon kuralını kullanmalıyız.
✅ Çözüm Adımları:

\(f(0)\) değerini bulalım:
\(x=0\) değeri, \(x < 1\) koşulunu sağlar. Bu yüzden \(f(x)\) için \(x+2\) kuralını kullanmalıyız.
\(f(0) = 0+2 = 2\)
\(f(3)\) değerini bulalım:
\(x=3\) değeri, \(x \ge 1\) koşulunu sağlar. Bu yüzden \(f(x)\) için \(2x-1\) kuralını kullanmalıyız.
\(f(3) = 2(3)-1 = 6-1 = 5\)

Örnek 5:

💡 Mutlak Değer Fonksiyonunu Parçalı Fonksiyon Olarak Yazma
Verilen \(g(x) = |x-3|\) mutlak değerli fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde ifade ediniz. ✍️

Çözüm:

Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon olarak yazarken, mutlak değerin içindeki ifadenin işaretine göre iki farklı durum inceleriz.
📌 Hatırlatma: \(|a|\) ifadesi, \(a \ge 0\) ise \(a\), \(a < 0\) ise \(-a\) olarak tanımlanır.
Bu durumda, \(|x-3|\) ifadesi için \(x-3\) içindeki ifadenin işaretini incelemeliyiz.
✅ Çözüm Adımları:

Durum 1: Mutlak değerin içi (\(x-3\)) sıfırdan büyük veya eşit ise (\(x-3 \ge 0\)).
Bu durumda \(x \ge 3\) olur. Mutlak değerin içi pozitif olduğu için ifade olduğu gibi çıkar.
\(|x-3| = x-3\)
Durum 2: Mutlak değerin içi (\(x-3\)) sıfırdan küçük ise (\(x-3 < 0\)).
Bu durumda \(x < 3\) olur. Mutlak değerin içi negatif olduğu için ifade eksi ile çarpılarak çıkar.
\(|x-3| = -(x-3) = -x+3\)

Bu iki durumu birleştirerek parçalı fonksiyonu yazarız: \[ g(x) = \begin{cases} x-3, & x \ge 3 \\ -x+3, & x < 3 \end{cases} \]

Örnek 6:

💡 Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafiği ve Özellikleri
\(y = |x|\) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni ve y ekseni ile ilgili simetri özelliklerini ve tepe noktasını açıklayınız. 📊

Çözüm:

Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri genellikle "V" şeklindedir. \(y=|x|\) fonksiyonunun grafiğini düşünerek bu özellikleri açıklayabiliriz.
✅ Çözüm Adımları:

Tepe Noktası:
\(|x|\) ifadesinin en küçük değeri 0'dır ve bu değer \(x=0\) iken alınır. Bu durumda \(y=0\) olur. Dolayısıyla, \(y = |x|\) fonksiyonunun tepe noktası orijin (0,0) noktasıdır.
Simetri Özellikleri:
Bir fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrikse, \(f(-x) = f(x)\) kuralını sağlar (çift fonksiyon).
\(f(x) = |x|\) için, \(f(-x) = |-x| = |x|\) olduğundan, \(f(-x) = f(x)\) kuralı sağlanır. Bu nedenle, \(y = |x|\) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. Örneğin, \(x=2\) için \(y=|2|=2\) ve \(x=-2\) için \(y=|-2|=2\) değerleri aynıdır.
x eksenine göre simetri: \(y = |x|\) fonksiyonunun grafiği x eksenine göre simetrik değildir. Çünkü \(y\) değerleri her zaman pozitif veya sıfırdır (grafik x ekseninin altında yer almaz).

Örnek 7:

Çözüm:

Bu soru, bir durumun matematiksel olarak nasıl modellendiğini ve bir değişikliğin fonksiyon üzerindeki etkisini anlamamızı sağlar.
✅ Çözüm Adımları:
1. \(f(t)\) fonksiyonunu yazma:

Fidanın başlangıç boyu (sabit terim): 20 cm
Her hafta uzama miktarı (eğim): 2 cm
Bu durumda, \(t\) hafta sonraki boyunu veren fonksiyon:
\(f(t) = 2t + 20\)

2. 3. haftanın sonundaki 5 cm'lik ek uzamanın fonksiyon üzerindeki etkisi:

Fidanın normal uzama kuralına ek olarak, 3. haftanın sonunda 5 cm'lik bir artış oluyor. Bu, grafiğin belirli bir noktadan sonra yukarı doğru kayması anlamına gelir.
Ancak soruda bu durumun \(f(t)\) fonksiyonunun grafiğinde nasıl bir değişime karşılık geldiği ve \(f(t)\) cinsinden nasıl ifade edileceği soruluyor. Eğer bu 5 cm'lik uzama tüm fidanın ömrü boyunca sabit bir ek uzama gibi düşünülseydi, bu bir dikey öteleme olurdu.
Eğer bu 5 cm'lik uzama, sadece o anlık bir artış ve sonra normal uzamaya devam ediyorsa, bu durumun tamamını \(f(t)\) cinsinden tek bir öteleme ile ifade etmek zordur, parçalı fonksiyon gerektirir. Ancak soru bunu "öteleme olarak düşünün" dediği için, tüm fonksiyonun 5 birim yukarı ötelenmesi olarak yorumlayabiliriz. Bu, sanki fidanın başlangıç boyu 5 cm daha fazlaymış gibi veya her zaman 5 cm daha uzun olacakmış gibi bir etki yaratır.
Bu durumda, yeni fonksiyon \(g(t)\), eski fonksiyona 5 eklenerek elde edilir:
\(g(t) = f(t) + 5\)
Yani, \(g(t) = (2t + 20) + 5 = 2t + 25\) olur.
Bu, \(f(t)\) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni boyunca 5 birim yukarı ötelenmesi anlamına gelir. ⬆️

Örnek 8:

Çözüm:

Günlük hayatta iki nokta arasındaki mesafe her zaman pozitif bir değerdir. Mutlak değer fonksiyonu da tam olarak bu "pozitif uzaklık" kavramını matematiksel olarak ifade etmek için kullanılır.
📌 Hatırlatma: Sayı doğrusu üzerinde iki nokta \(a\) ve \(b\) arasındaki uzaklık \(|a-b|\) veya \(|b-a|\) formülüyle bulunur.
✅ Çözüm Adımları:

Uzaklık Fonksiyonunu Yazma:
A noktasının konumu: \(-2\)
B noktasının konumu: \(x\)
B noktasının A noktasına olan uzaklığını veren fonksiyon \(d(x)\) olsun.
\(d(x) = |x - (-2)| = |x+2|\)
Uzaklığın 5 birim olduğu durumdaki B noktalarının konumlarını bulma:
Bize \(d(x) = 5\) olduğu durum soruluyor. Yani \(|x+2| = 5\) denklemini çözmeliyiz.
Mutlak değerin tanımına göre iki durum vardır:
- Durum 1: Mutlak değerin içi pozitif veya sıfır ise \(x+2 = 5\)
  \(x = 5-2 \Rightarrow x = 3\)
- Durum 2: Mutlak değerin içi negatif ise \(x+2 = -5\)
  \(x = -5-2 \Rightarrow x = -7\)
Sonuç olarak, B noktasının A noktasına olan uzaklığının 5 birim olduğu iki farklı konum vardır: \(x=3\) ve \(x=-7\).

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-fonksiyonlarda-oteleme-parcali-fonksiyonlar-mutlak-degerli-fonksiyonlar/sorular

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.

💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme, Parçalı Fonksiyonlar, Mutlak Değerli Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme, Parçalı Fonksiyonlar, Mutlak Değerli Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

İçerik Hazırlanıyor...