🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme, Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme, Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem Ve Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun grafiği y ekseni boyunca 4 birim yukarı ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyonun denklemini bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Bir fonksiyonun grafiği y ekseni boyunca \( k \) birim yukarı ötelendiğinde, fonksiyonun kuralına \( k \) eklenir.
- 👉 Orijinal fonksiyonumuz \( f(x) = 2x + 3 \)'tür.
- ⬆️ Fonksiyon 4 birim yukarı ötelendiği için, \( f(x) \) ifadesine 4 eklememiz gerekir.
- ✅ Yeni fonksiyon \( g(x) = f(x) + 4 \) şeklinde olur.
- Hesaplama: \( g(x) = (2x + 3) + 4 \)
- Sonuç: \( g(x) = 2x + 7 \)
Örnek 2:
\( f(x) = 3x - 1 \) fonksiyonunun grafiği x ekseni boyunca 2 birim sağa ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyonun denklemini bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Bir fonksiyonun grafiği x ekseni boyunca \( k \) birim sağa ötelendiğinde, fonksiyonun içindeki \( x \) yerine \( (x - k) \) yazılır.
- 👉 Orijinal fonksiyonumuz \( f(x) = 3x - 1 \)'dir.
- ➡️ Fonksiyon 2 birim sağa ötelendiği için, \( x \) yerine \( (x - 2) \) yazmalıyız.
- ✅ Yeni fonksiyon \( g(x) = f(x - 2) \) şeklinde olur.
- Hesaplama: \( g(x) = 3(x - 2) - 1 \)
- Parantezi açalım: \( g(x) = 3x - 6 - 1 \)
- Sonuç: \( g(x) = 3x - 7 \)
Örnek 3:
\( f(x) = x + 5 \) fonksiyonunun grafiği x ekseni boyunca 3 birim sola ve y ekseni boyunca 2 birim aşağı ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyonun denklemini bulunuz.
Çözüm:
- 💡 Yatay öteleme için \( x \) yerine \( (x \pm k) \), dikey öteleme için \( f(x) \) ifadesine \( \pm k \) eklenir.
- 👉 Orijinal fonksiyonumuz \( f(x) = x + 5 \)'tir.
- ⬅️ X ekseni boyunca 3 birim sola öteleme: \( x \) yerine \( (x - (-3)) \), yani \( (x + 3) \) yazılır.
- ⬇️ Y ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleme: \( f(x) \) ifadesinden 2 çıkarılır.
- ✅ Yeni fonksiyon \( g(x) = f(x + 3) - 2 \) şeklinde olur.
- Hesaplama: \( g(x) = (x + 3) + 5 - 2 \) (Burada \( f(x+3) \) ifadesi \( (x+3)+5 \) olarak yerine yazıldı.)
- Toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım: \( g(x) = x + 8 - 2 \)
- Sonuç: \( g(x) = x + 6 \)
Örnek 4:
\( 5(x - 2) + 3x = 2x + 8 \) denklemini çözerek \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
- 📌 Öncelikle parantez içindeki ifadeyi dağılma özelliği kullanarak açalım.
- Adım 1: \( 5x - 10 + 3x = 2x + 8 \)
- 📌 Benzer terimleri bir araya getirelim.
- Adım 2: \( 8x - 10 = 2x + 8 \)
- 📌 \( x \) içeren terimleri denklemin bir tarafına, sabit terimleri diğer tarafına toplayalım.
- Adım 3: \( 8x - 2x = 8 + 10 \)
- Adım 4: \( 6x = 18 \)
- 📌 Her iki tarafı \( x \)'in katsayısına bölelim.
- Adım 5: \( \frac{6x}{6} = \frac{18}{6} \)
- Sonuç: \( x = 3 \)
Örnek 5:
\( 3(x + 1) - 5 < 7x + 4 \) eşitsizliğini çözerek \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
Çözüm:
- 📌 Öncelikle parantez içindeki ifadeyi dağılma özelliği kullanarak açalım.
- Adım 1: \( 3x + 3 - 5 < 7x + 4 \)
- 📌 Benzer terimleri bir araya getirelim.
- Adım 2: \( 3x - 2 < 7x + 4 \)
- 📌 \( x \) içeren terimleri denklemin bir tarafına, sabit terimleri diğer tarafına toplayalım. Eşitsizliklerde, \( x \)'in katsayısının pozitif kalmasına dikkat edebiliriz.
- Adım 3: \( -2 - 4 < 7x - 3x \)
- Adım 4: \( -6 < 4x \)
- 📌 Her iki tarafı \( x \)'in katsayısına bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez.
- Adım 5: \( \frac{-6}{4} < \frac{4x}{4} \)
- Adım 6: \( -\frac{3}{2} < x \) veya \( x > -\frac{3}{2} \)
- 👉 Bu da \( x > -1.5 \) anlamına gelir.
- ✅ \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri \( -1, 0, 1, 2, ... \) şeklindedir.
Örnek 6:
Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz:
\( x + 2y = 7 \)
\( 3x - y = 7 \)
\( x + 2y = 7 \)
\( 3x - y = 7 \)
Çözüm:
- 📌 Bu denklem sistemini yok etme metodu ile çözelim. İkinci denklemi 2 ile çarparak \( y \) terimlerini eşitleyelim.
- Denklem 1: \( x + 2y = 7 \)
- Denklem 2 (2 ile çarpılmış hali): \( 2(3x - y) = 2(7) \Rightarrow 6x - 2y = 14 \)
- 📌 Şimdi iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
- \( (x + 2y) + (6x - 2y) = 7 + 14 \)
- \( x + 6x + 2y - 2y = 21 \)
- \( 7x = 21 \)
- 📌 Her iki tarafı 7'ye bölelim.
- \( x = 3 \)
- 📌 Bulduğumuz \( x = 3 \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım.
- \( 3 + 2y = 7 \)
- \( 2y = 7 - 3 \)
- \( 2y = 4 \)
- \( y = 2 \)
- ✅ Çözüm kümesi: \( (x, y) = (3, 2) \)
Örnek 7:
Bir fidan dikildiğinde boyu 20 cm'dir ve her ay 3 cm uzamaktadır.
a) Fidanın boyunu zamana (ay) bağlı olarak gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız.
b) Eğer fidan 5 cm daha uzun dikilmiş olsaydı, yeni fonksiyonu öteleme kavramını kullanarak nasıl ifade ederdik?
a) Fidanın boyunu zamana (ay) bağlı olarak gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız.
b) Eğer fidan 5 cm daha uzun dikilmiş olsaydı, yeni fonksiyonu öteleme kavramını kullanarak nasıl ifade ederdik?
Çözüm:
- a) Fidanın boyunu zamana bağlı olarak gösteren fonksiyon:
- 📌 Fidanın başlangıç boyu (sabit terim) 20 cm'dir.
- 📌 Her ay 3 cm uzadığı için, ay sayısı \( t \) olmak üzere, uzama miktarı \( 3t \) olacaktır.
- ✅ Fidanın boyunu gösteren fonksiyon \( B(t) = 3t + 20 \) cm'dir.
- b) Fidan 5 cm daha uzun dikilmiş olsaydı:
- 📌 Bu durum, fidanın başlangıç boyunun 5 cm artması anlamına gelir. Fonksiyon grafiği y ekseni boyunca 5 birim yukarı ötelenmiş olurdu.
- 👉 Orijinal fonksiyonumuz \( B(t) = 3t + 20 \).
- ⬆️ 5 cm daha uzun dikilmesi, yani 5 birim yukarı öteleme, fonksiyona 5 eklemek demektir.
- ✅ Yeni fonksiyon \( B_{yeni}(t) = B(t) + 5 = (3t + 20) + 5 = 3t + 25 \) olurdu.
Örnek 8:
Bir şehirde otobüs ücretleri aşağıdaki gibidir:
- İlk 5 durak için sabit ücret: 4 TL
- 5. duraktan sonraki her durak için ek ücret: 0.50 TL
Çözüm:
- 📌 Öncelikle ücretlendirme modelini anlayalım.
- 👉 İlk 5 durak için ücret 4 TL'dir. Yani 1, 2, 3, 4, 5. duraklarda inenler 4 TL öder.
- 👉 5. duraktan sonraki her durak için 0.50 TL ek ücret alınır.
- 📌 Yolcunun indiği durak sayısına \( x \) diyelim.
- ✅ Eğer \( x \le 5 \) ise, ödenen ücret 4 TL'dir. Bu durumda \( 4 < 8 \) olduğundan, ilk 5 durakta inenler 8 TL'den az ödemiş olur.
- ✅ Eğer \( x > 5 \) ise, ödenen ücreti hesaplamalıyız.
- Sabit ücret: 4 TL
- Ek durak sayısı: \( x - 5 \) (çünkü ilk 5 durak sabit ücrete dahil)
- Ek ücret: \( 0.50 \times (x - 5) \)
- Toplam ücret: \( 4 + 0.5(x - 5) \)
- 📌 Yolcu 8 TL'den az ödediğine göre eşitsizliği kuralım:
- \[ 4 + 0.5(x - 5) < 8 \]
- 📌 Eşitsizliği çözelim:
- Adım 1: \( 0.5(x - 5) < 8 - 4 \)
- Adım 2: \( 0.5(x - 5) < 4 \)
- Adım 3: Her iki tarafı 0.5'e bölelim (veya 2 ile çarpalım): \( x - 5 < \frac{4}{0.5} \)
- Adım 4: \( x - 5 < 8 \)
- Adım 5: \( x < 8 + 5 \)
- Adım 6: \( x < 13 \)
- 📌 Yolcu durak numarası tam sayı olacağı için ve \( x > 5 \) koşulunu göz önünde bulundurarak, \( x \) en fazla 12 olabilir.
- ✅ Yani yolcu en fazla 12. durakta inmiş olabilir. (12. durakta ödeyeceği ücret: \( 4 + 0.5(12-5) = 4 + 0.5(7) = 4 + 3.5 = 7.5 \) TL, ki bu 8 TL'den azdır.)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-fonksiyonlarda-oteleme-dogrusal-fonksiyonlarla-ifade-edilebilen-denklem-ve-esitsizlikler/sorular