🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir? 🧐 Tanım kümesi \(A = \{1, 2, 3\}\) ve değer kümesi \(B = \{a, b, c\}\) olarak verilmiştir.
I. \(f_1 = \{(1, a), (2, b)\}\)
II. \(f_2 = \{(1, a), (2, b), (3, b)\}\)
III. \(f_3 = \{(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)\}\)
Çözüm:
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir: 👇
- 1. Tanım kümesindeki her eleman eşleşmelidir.
- 2. Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnız bir elemanla eşleşmelidir.
-
👉 I. \(f_1 = \{(1, a), (2, b)\}\)
- Tanım kümesi \(A = \{1, 2, 3\}\) olmasına rağmen, 3 elemanı eşleşmemiştir.
- Bu nedenle \(f_1\) bir fonksiyon değildir. ❌
-
👉 II. \(f_2 = \{(1, a), (2, b), (3, b)\}\)
- Tanım kümesindeki tüm elemanlar (\(1, 2, 3\)) eşleşmiştir. ✅
- Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden sadece bir elemanla eşleşmiştir (1 sadece a ile, 2 sadece b ile, 3 sadece b ile). ✅
- Bu nedenle \(f_2\) bir fonksiyondur. 🎉
-
👉 III. \(f_3 = \{(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)\}\)
- Tanım kümesindeki 1 elemanı, hem a hem de b ile eşleşmiştir.
- Bu durum, bir elemanın birden fazla görüntüye sahip olması anlamına gelir ki bu fonksiyon olma şartına aykırıdır.
- Bu nedenle \(f_3\) bir fonksiyon değildir. ❌
Örnek 2:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 3x - 5\) kuralı ile verilmiştir.
Buna göre, \(f(4)\) değerini bulunuz. 💡
Buna göre, \(f(4)\) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Fonksiyonlarda değer hesaplamak için, verilen \(x\) değerini fonksiyon kuralındaki \(x\) yerine yazarız. 👇
- Fonksiyon kuralı: \(f(x) = 3x - 5\)
- Bizden istenen: \(f(4)\)
- Bunun için, \(x\) yerine 4 yazalım:
- \(f(4) = 3 \cdot (4) - 5\)
- \(f(4) = 12 - 5\)
- \(f(4) = 7\)
Örnek 3:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(g\) fonksiyonu \(g(x+2) = 2x + 1\) kuralı ile verilmiştir.
Buna göre, \(g(5)\) değerini bulunuz. 🤔
Buna göre, \(g(5)\) değerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu tür sorularda, parantez içindeki ifadenin istenen değere eşit olmasını sağlarız. 📌
- Fonksiyon kuralı: \(g(x+2) = 2x + 1\)
- Bizden istenen: \(g(5)\)
- Bunun için, \(x+2\) ifadesini 5'e eşitlemeliyiz:
- \(x+2 = 5\)
- \(x = 5 - 2\)
- \(x = 3\)
- Şimdi bulduğumuz \(x=3\) değerini fonksiyon kuralındaki \(x\) yerine yazalım:
- \(g(3+2) = 2 \cdot (3) + 1\)
- \(g(5) = 6 + 1\)
- \(g(5) = 7\)
Örnek 4:
Tanım kümesi \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) olan bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = x^2 + 1\) kuralı ile tanımlanmıştır.
Bu fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz. 🎯
Bu fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz. 🎯
Çözüm:
Görüntü kümesini bulmak için, tanım kümesindeki her elemanı fonksiyon kuralında yerine koyarak çıkan sonuçları (görüntüleri) bir küme içinde toplamalıyız. 💡
- Tanım kümesi: \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\)
- Fonksiyon kuralı: \(f(x) = x^2 + 1\)
- \(f(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5\)
- \(f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2\)
- \(f(0) = (0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1\)
- \(f(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2\)
- \(f(2) = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5\)
Örnek 5:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(h\) fonksiyonu sabit fonksiyondur.
\(h(x) = (a-3)x + 2a - 1\) olduğuna göre, \(h(10)\) değerini bulunuz. 🧐
\(h(x) = (a-3)x + 2a - 1\) olduğuna göre, \(h(10)\) değerini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması demek, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki tek bir elemana eşlemesi demektir. Başka bir deyişle, fonksiyonun kuralında değişken (\(x\)) bulunmamalıdır. 📌
- Verilen fonksiyon kuralı: \(h(x) = (a-3)x + 2a - 1\)
- Bu fonksiyonun sabit olabilmesi için \(x\)'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
- Yani, \(a-3 = 0\) olmalıdır.
- Buradan \(a = 3\) bulunur.
- Şimdi \(a\) değerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyon kuralını tekrar düzenleyelim:
- \(h(x) = (3-3)x + 2(3) - 1\)
- \(h(x) = 0x + 6 - 1\)
- \(h(x) = 5\)
- Artık fonksiyonumuz \(h(x) = 5\) şeklindedir. Bu, hangi \(x\) değerini verirsek verelim, sonucun her zaman 5 olacağı anlamına gelir.
- Bizden \(h(10)\) değeri isteniyor.
- \(h(10) = 5\)
Örnek 6:
Aşağıda verilen, gerçek sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlı bağıntılardan hangisi bir fonksiyon grafiği olabilir? 📈 Çizimler yerine, grafiğin şekli metinsel olarak betimlenmiştir.
I. Koordinat sisteminde y eksenine paralel bir doğru.
II. Koordinat sisteminde x eksenine paralel bir doğru.
III. Merkezi orijin olan bir çember.
Çözüm:
Bir grafiğin fonksiyon belirtip belirtmediğini anlamak için Dikey Doğru Testi'ni kullanırız. 📏
- Dikey Doğru Testi: Tanım kümesinden seçilen her bir \(x\) değeri için, bu \(x\) değerinden y eksenine paralel (dikey) çizilen doğru, grafiği en fazla bir noktada kesmelidir. Eğer bir dikey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, bu bir fonksiyon grafiği değildir.
-
👉 I. Koordinat sisteminde y eksenine paralel bir doğru.
- Örnek olarak \(x=3\) doğrusunu düşünelim. Bu doğru üzerindeki tüm noktaların x koordinatı 3'tür (\((3, 0), (3, 1), (3, 2)\) vb.).
- Dikey doğru testi uyguladığımızda, \(x=3\) doğrusu kendi üzerine çizilen her dikey doğruyla sonsuz noktada kesişir.
- Bu durumda, tanım kümesindeki bir \(x\) değeri (örneğin 3), değer kümesindeki birden fazla (hatta sonsuz) elemanla eşleşmiş olur.
- Bu nedenle, y eksenine paralel bir doğru bir fonksiyon değildir. ❌
-
👉 II. Koordinat sisteminde x eksenine paralel bir doğru.
- Örnek olarak \(y=2\) doğrusunu düşünelim. Bu doğru üzerindeki tüm noktaların y koordinatı 2'dir (\((0, 2), (1, 2), (2, 2)\) vb.).
- Dikey doğru testi uyguladığımızda, her bir dikey doğru (yani her bir farklı \(x\) değeri), bu \(y=2\) doğrusunu sadece bir noktada keser.
- Bu durumda, tanım kümesindeki her \(x\) değeri, değer kümesindeki sadece bir elemanla (bu örnekte 2 ile) eşleşmiştir.
- Bu nedenle, x eksenine paralel bir doğru bir fonksiyondur (aynı zamanda sabit fonksiyondur). 🎉
-
👉 III. Merkezi orijin olan bir çember.
- Örnek olarak \(x^2 + y^2 = r^2\) denklemiyle verilen bir çemberi düşünelim.
- Bu çembere dikey doğru testi uyguladığımızda (örneğin \(x=r/2\) doğrusunu çizdiğimizde), dikey doğru çemberi iki farklı noktada keser (üst ve alt yarıda).
- Bu durum, tanım kümesindeki bir \(x\) değerinin (örneğin \(r/2\)), değer kümesindeki iki farklı elemanla eşleştiği anlamına gelir.
- Bu nedenle, bir çember bir fonksiyon değildir. ❌
Örnek 7:
Bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınavından aldıkları puanları ve bu puanları alan öğrenci sayılarını gösteren aşağıdaki tablo verilmiştir. 📊
Bu tabloya göre, "Öğrenci Puanları" kümesinden "Öğrenci Sayıları" kümesine tanımlanan bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını açıklayınız. Eğer fonksiyonsa, tanım ve görüntü kümesini belirtiniz. 🤔
| Puan | Öğrenci Sayısı |
|---|---|
| 60 | 5 |
| 70 | 8 |
| 80 | 12 |
| 90 | 7 |
Çözüm:
Bu problemi fonksiyon tanımının ışığında inceleyelim. 💡
- Tanım Kümesi (Girdi): "Öğrenci Puanları" kümesi \(P = \{60, 70, 80, 90\}\)
- Değer Kümesi (Çıktı): "Öğrenci Sayıları" kümesi \(S = \{5, 8, 12, 7\}\) (veya daha geniş bir küme olabilir, ancak bu örnekte sadece bu değerlerle ilgileniyoruz.)
-
1. Tanım kümesindeki her eleman eşleşmiş mi?
- Tabloda 60 puanına karşılık 5 öğrenci, 70 puanına karşılık 8 öğrenci, 80 puanına karşılık 12 öğrenci ve 90 puanına karşılık 7 öğrenci olduğu açıkça görülmektedir. Tanım kümesindeki her puan değeri bir öğrenci sayısıyla eşleşmiştir. ✅
-
2. Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnız bir elemanla mı eşleşmiş?
- 60 puanı sadece 5 öğrenci sayısıyla eşleşmiştir.
- 70 puanı sadece 8 öğrenci sayısıyla eşleşmiştir.
- 80 puanı sadece 12 öğrenci sayısıyla eşleşmiştir.
- 90 puanı sadece 7 öğrenci sayısıyla eşleşmiştir.
- Hiçbir puan değeri birden fazla öğrenci sayısıyla eşleşmemiştir. ✅
- Tanım Kümesi: \(P = \{60, 70, 80, 90\}\)
- Görüntü Kümesi: \(f(P) = \{5, 7, 8, 12\}\) (Küme elemanlarını küçükten büyüğe sıraladık.)
Örnek 8:
Bir taksi durağı, müşterilerinden açılış ücreti olarak 15 TL almakta ve her kilometre başına 8 TL ücret eklemektedir. 🚕
Bu durumu matematiksel bir fonksiyon olarak ifade ediniz. Eğer bir müşteri 12 kilometre yol giderse ne kadar ücret öder?
Bu durumu matematiksel bir fonksiyon olarak ifade ediniz. Eğer bir müşteri 12 kilometre yol giderse ne kadar ücret öder?
Çözüm:
Bu günlük hayat problemini bir fonksiyon yardımıyla modelleyelim. 💡
- Öncelikle, taksi ücretini belirleyen değişken nedir? Gidilen yolun uzunluğu, yani kilometre cinsinden mesafe. Bu bizim bağımsız değişkenimiz (\(x\)) olacaktır.
- Peki, bu değişkene bağlı olarak ne değişiyor? Ödenecek toplam ücret. Bu da bizim bağımlı değişkenimiz (\(y\) veya \(f(x)\)) olacaktır.
- Açılış ücreti: 15 TL (Bu, yolculuk mesafesine bağlı olmayan sabit bir ücrettir.)
- Kilometre başına ücret: 8 TL (Bu, gidilen her kilometre için ödenen ücrettir. Yani \(x\) kilometre için \(8x\) TL ödenir.)
- Toplam ücret, açılış ücreti ile gidilen mesafenin ücretinin toplamıdır.
- Bu durumda, taksi ücretini gösteren fonksiyon \(f(x) = 8x + 15\) şeklinde ifade edilebilir.
- Bu durumda, \(x\) yerine 12 yazarak \(f(12)\) değerini bulmalıyız:
- \(f(12) = 8 \cdot (12) + 15\)
- \(f(12) = 96 + 15\)
- \(f(12) = 111\)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-fonksiyonlar/sorular