🪄 İçerik Hazırla
🚀 Hemen Hazırla!
Ana Sayfa / 9. Sınıf / 9. Sınıf Matematik / Fonksiyonlar / Çözümlü Örnekler
🎓 9. Sınıf 📚 9. Sınıf Matematik

💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir? 🧐 Tanım kümesi \(A = \{1, 2, 3\}\) ve değer kümesi \(B = \{a, b, c\}\) olarak verilmiştir.

I. \(f_1 = \{(1, a), (2, b)\}\)

II. \(f_2 = \{(1, a), (2, b), (3, b)\}\)

III. \(f_3 = \{(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)\}\)

Çözüm ve Açıklama
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir: 👇
  • 1. Tanım kümesindeki her eleman eşleşmelidir.
  • 2. Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnız bir elemanla eşleşmelidir.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
  • 👉 I. \(f_1 = \{(1, a), (2, b)\}\)
    • Tanım kümesi \(A = \{1, 2, 3\}\) olmasına rağmen, 3 elemanı eşleşmemiştir.
    • Bu nedenle \(f_1\) bir fonksiyon değildir. ❌
  • 👉 II. \(f_2 = \{(1, a), (2, b), (3, b)\}\)
    • Tanım kümesindeki tüm elemanlar (\(1, 2, 3\)) eşleşmiştir. ✅
    • Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden sadece bir elemanla eşleşmiştir (1 sadece a ile, 2 sadece b ile, 3 sadece b ile). ✅
    • Bu nedenle \(f_2\) bir fonksiyondur. 🎉
  • 👉 III. \(f_3 = \{(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)\}\)
    • Tanım kümesindeki 1 elemanı, hem a hem de b ile eşleşmiştir.
    • Bu durum, bir elemanın birden fazla görüntüye sahip olması anlamına gelir ki bu fonksiyon olma şartına aykırıdır.
    • Bu nedenle \(f_3\) bir fonksiyon değildir. ❌
Doğru cevap yalnız II'dir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 3x - 5\) kuralı ile verilmiştir.
Buna göre, \(f(4)\) değerini bulunuz. 💡
Çözüm ve Açıklama
Fonksiyonlarda değer hesaplamak için, verilen \(x\) değerini fonksiyon kuralındaki \(x\) yerine yazarız. 👇
  • Fonksiyon kuralı: \(f(x) = 3x - 5\)
  • Bizden istenen: \(f(4)\)
  • Bunun için, \(x\) yerine 4 yazalım:
  • \(f(4) = 3 \cdot (4) - 5\)
  • \(f(4) = 12 - 5\)
  • \(f(4) = 7\)
Sonuç olarak, \(f(4)\) değeri 7'dir. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(g\) fonksiyonu \(g(x+2) = 2x + 1\) kuralı ile verilmiştir.
Buna göre, \(g(5)\) değerini bulunuz. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bu tür sorularda, parantez içindeki ifadenin istenen değere eşit olmasını sağlarız. 📌
  • Fonksiyon kuralı: \(g(x+2) = 2x + 1\)
  • Bizden istenen: \(g(5)\)
  • Bunun için, \(x+2\) ifadesini 5'e eşitlemeliyiz:
  • \(x+2 = 5\)
  • \(x = 5 - 2\)
  • \(x = 3\)
  • Şimdi bulduğumuz \(x=3\) değerini fonksiyon kuralındaki \(x\) yerine yazalım:
  • \(g(3+2) = 2 \cdot (3) + 1\)
  • \(g(5) = 6 + 1\)
  • \(g(5) = 7\)
Sonuç olarak, \(g(5)\) değeri 7'dir. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Tanım kümesi \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) olan bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = x^2 + 1\) kuralı ile tanımlanmıştır.
Bu fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz. 🎯
Çözüm ve Açıklama
Görüntü kümesini bulmak için, tanım kümesindeki her elemanı fonksiyon kuralında yerine koyarak çıkan sonuçları (görüntüleri) bir küme içinde toplamalıyız. 💡
  • Tanım kümesi: \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\)
  • Fonksiyon kuralı: \(f(x) = x^2 + 1\)
Şimdi her eleman için görüntüleri bulalım:
  • \(f(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5\)
  • \(f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2\)
  • \(f(0) = (0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1\)
  • \(f(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2\)
  • \(f(2) = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5\)
Bulduğumuz görüntüleri bir küme içinde yazarken, aynı elemanları sadece bir kez yazarız. Görüntü kümesi \(f(A) = \{1, 2, 5\}\)'tir. ✅
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(h\) fonksiyonu sabit fonksiyondur.
\(h(x) = (a-3)x + 2a - 1\) olduğuna göre, \(h(10)\) değerini bulunuz. 🧐
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması demek, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki tek bir elemana eşlemesi demektir. Başka bir deyişle, fonksiyonun kuralında değişken (\(x\)) bulunmamalıdır. 📌
  • Verilen fonksiyon kuralı: \(h(x) = (a-3)x + 2a - 1\)
  • Bu fonksiyonun sabit olabilmesi için \(x\)'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
  • Yani, \(a-3 = 0\) olmalıdır.
  • Buradan \(a = 3\) bulunur.
  • Şimdi \(a\) değerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyon kuralını tekrar düzenleyelim:
  • \(h(x) = (3-3)x + 2(3) - 1\)
  • \(h(x) = 0x + 6 - 1\)
  • \(h(x) = 5\)
  • Artık fonksiyonumuz \(h(x) = 5\) şeklindedir. Bu, hangi \(x\) değerini verirsek verelim, sonucun her zaman 5 olacağı anlamına gelir.
  • Bizden \(h(10)\) değeri isteniyor.
  • \(h(10) = 5\)
Sonuç olarak, \(h(10)\) değeri 5'tir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Aşağıda verilen, gerçek sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlı bağıntılardan hangisi bir fonksiyon grafiği olabilir? 📈 Çizimler yerine, grafiğin şekli metinsel olarak betimlenmiştir.

I. Koordinat sisteminde y eksenine paralel bir doğru.

II. Koordinat sisteminde x eksenine paralel bir doğru.

III. Merkezi orijin olan bir çember.

Çözüm ve Açıklama
Bir grafiğin fonksiyon belirtip belirtmediğini anlamak için Dikey Doğru Testi'ni kullanırız. 📏
  • Dikey Doğru Testi: Tanım kümesinden seçilen her bir \(x\) değeri için, bu \(x\) değerinden y eksenine paralel (dikey) çizilen doğru, grafiği en fazla bir noktada kesmelidir. Eğer bir dikey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, bu bir fonksiyon grafiği değildir.
Şimdi verilen durumları inceleyelim:
  • 👉 I. Koordinat sisteminde y eksenine paralel bir doğru.
    • Örnek olarak \(x=3\) doğrusunu düşünelim. Bu doğru üzerindeki tüm noktaların x koordinatı 3'tür (\((3, 0), (3, 1), (3, 2)\) vb.).
    • Dikey doğru testi uyguladığımızda, \(x=3\) doğrusu kendi üzerine çizilen her dikey doğruyla sonsuz noktada kesişir.
    • Bu durumda, tanım kümesindeki bir \(x\) değeri (örneğin 3), değer kümesindeki birden fazla (hatta sonsuz) elemanla eşleşmiş olur.
    • Bu nedenle, y eksenine paralel bir doğru bir fonksiyon değildir. ❌
  • 👉 II. Koordinat sisteminde x eksenine paralel bir doğru.
    • Örnek olarak \(y=2\) doğrusunu düşünelim. Bu doğru üzerindeki tüm noktaların y koordinatı 2'dir (\((0, 2), (1, 2), (2, 2)\) vb.).
    • Dikey doğru testi uyguladığımızda, her bir dikey doğru (yani her bir farklı \(x\) değeri), bu \(y=2\) doğrusunu sadece bir noktada keser.
    • Bu durumda, tanım kümesindeki her \(x\) değeri, değer kümesindeki sadece bir elemanla (bu örnekte 2 ile) eşleşmiştir.
    • Bu nedenle, x eksenine paralel bir doğru bir fonksiyondur (aynı zamanda sabit fonksiyondur). 🎉
  • 👉 III. Merkezi orijin olan bir çember.
    • Örnek olarak \(x^2 + y^2 = r^2\) denklemiyle verilen bir çemberi düşünelim.
    • Bu çembere dikey doğru testi uyguladığımızda (örneğin \(x=r/2\) doğrusunu çizdiğimizde), dikey doğru çemberi iki farklı noktada keser (üst ve alt yarıda).
    • Bu durum, tanım kümesindeki bir \(x\) değerinin (örneğin \(r/2\)), değer kümesindeki iki farklı elemanla eşleştiği anlamına gelir.
    • Bu nedenle, bir çember bir fonksiyon değildir. ❌
Doğru cevap yalnız II'dir. ✅
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınavından aldıkları puanları ve bu puanları alan öğrenci sayılarını gösteren aşağıdaki tablo verilmiştir. 📊
Puan Öğrenci Sayısı
60 5
70 8
80 12
90 7
Bu tabloya göre, "Öğrenci Puanları" kümesinden "Öğrenci Sayıları" kümesine tanımlanan bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını açıklayınız. Eğer fonksiyonsa, tanım ve görüntü kümesini belirtiniz. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi fonksiyon tanımının ışığında inceleyelim. 💡
  • Tanım Kümesi (Girdi): "Öğrenci Puanları" kümesi \(P = \{60, 70, 80, 90\}\)
  • Değer Kümesi (Çıktı): "Öğrenci Sayıları" kümesi \(S = \{5, 8, 12, 7\}\) (veya daha geniş bir küme olabilir, ancak bu örnekte sadece bu değerlerle ilgileniyoruz.)
Şimdi fonksiyon olma şartlarını kontrol edelim:
  • 1. Tanım kümesindeki her eleman eşleşmiş mi?
    • Tabloda 60 puanına karşılık 5 öğrenci, 70 puanına karşılık 8 öğrenci, 80 puanına karşılık 12 öğrenci ve 90 puanına karşılık 7 öğrenci olduğu açıkça görülmektedir. Tanım kümesindeki her puan değeri bir öğrenci sayısıyla eşleşmiştir. ✅
  • 2. Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnız bir elemanla mı eşleşmiş?
    • 60 puanı sadece 5 öğrenci sayısıyla eşleşmiştir.
    • 70 puanı sadece 8 öğrenci sayısıyla eşleşmiştir.
    • 80 puanı sadece 12 öğrenci sayısıyla eşleşmiştir.
    • 90 puanı sadece 7 öğrenci sayısıyla eşleşmiştir.
    • Hiçbir puan değeri birden fazla öğrenci sayısıyla eşleşmemiştir. ✅
Her iki şart da sağlandığı için, bu bağıntı bir fonksiyondur. 🎉 Fonksiyonun kümelerini belirtelim:
  • Tanım Kümesi: \(P = \{60, 70, 80, 90\}\)
  • Görüntü Kümesi: \(f(P) = \{5, 7, 8, 12\}\) (Küme elemanlarını küçükten büyüğe sıraladık.)
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir taksi durağı, müşterilerinden açılış ücreti olarak 15 TL almakta ve her kilometre başına 8 TL ücret eklemektedir. 🚕
Bu durumu matematiksel bir fonksiyon olarak ifade ediniz. Eğer bir müşteri 12 kilometre yol giderse ne kadar ücret öder?
Çözüm ve Açıklama
Bu günlük hayat problemini bir fonksiyon yardımıyla modelleyelim. 💡
  • Öncelikle, taksi ücretini belirleyen değişken nedir? Gidilen yolun uzunluğu, yani kilometre cinsinden mesafe. Bu bizim bağımsız değişkenimiz (\(x\)) olacaktır.
  • Peki, bu değişkene bağlı olarak ne değişiyor? Ödenecek toplam ücret. Bu da bizim bağımlı değişkenimiz (\(y\) veya \(f(x)\)) olacaktır.
Fonksiyon kuralını oluşturalım:
  • Açılış ücreti: 15 TL (Bu, yolculuk mesafesine bağlı olmayan sabit bir ücrettir.)
  • Kilometre başına ücret: 8 TL (Bu, gidilen her kilometre için ödenen ücrettir. Yani \(x\) kilometre için \(8x\) TL ödenir.)
  • Toplam ücret, açılış ücreti ile gidilen mesafenin ücretinin toplamıdır.
  • Bu durumda, taksi ücretini gösteren fonksiyon \(f(x) = 8x + 15\) şeklinde ifade edilebilir.
Şimdi sorunun ikinci kısmını cevaplayalım: Bir müşteri 12 kilometre yol giderse ne kadar ücret öder?
  • Bu durumda, \(x\) yerine 12 yazarak \(f(12)\) değerini bulmalıyız:
  • \(f(12) = 8 \cdot (12) + 15\)
  • \(f(12) = 96 + 15\)
  • \(f(12) = 111\)
Sonuç olarak, 12 kilometre yol giden bir müşteri 111 TL ücret öder. ✅

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.