💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Ve Mutlak Değer Eşitsizlikleri Sorular Çözümlü Örnekler

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:

• 👉 Tanım Kümesindeki her eleman, değer kümesinde yalnız bir elemana eşleşmelidir.
• 👉 Tanım Kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• I. \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = x - 5 \)
• Tanım kümesi doğal sayılar (\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\} \)) ve değer kümesi tam sayılar (\( \mathbb{Z} \)).
• Her doğal sayı için \( x-5 \) bir tam sayıdır. Örneğin, \( f(0) = 0-5 = -5 \in \mathbb{Z} \), \( f(1) = 1-5 = -4 \in \mathbb{Z} \).
• Hiçbir doğal sayı açıkta kalmaz ve her doğal sayı sadece bir tam sayıya eşleşir.
• ✅ Bu bir fonksiyondur.
• II. \( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, g(x) = x^2 + 1 \)
  
• Tanım kümesi tam sayılar (\( \mathbb{Z} \)) ve değer kümesi doğal sayılar (\( \mathbb{N} \)).
• Her tam sayı için \( x^2 + 1 \) bir doğal sayıdır. Örneğin, \( g(0) = 0^2+1 = 1 \in \mathbb{N} \), \( g(-2) = (-2)^2+1 = 5 \in \mathbb{N} \).
• Hiçbir tam sayı açıkta kalmaz ve her tam sayı sadece bir doğal sayıya eşleşir.
• ✅ Bu bir fonksiyondur.
• III. \( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{1}{x-2} \)
  
• Tanım kümesi reel sayılar (\( \mathbb{R} \)).
• Ancak, \( x-2 = 0 \) yani \( x=2 \) olduğunda payda sıfır olur ve fonksiyon tanımsız hale gelir.
• Tanım kümesindeki \( x=2 \) elemanı için bir görüntü yoktur. Bu durum, fonksiyon olma şartına aykırıdır.
• ❌ Bu bir fonksiyon değildir.

Sonuç: I ve II numaralı bağıntılar birer fonksiyondur. 💡

Bu tür sorularda yapmamız gereken, verilen \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine yazarak ayrı ayrı değerleri bulmak ve sonra istenen işlemi yapmaktır.

• Öncelikle \( f(4) \) değerini bulalım:
  Fonksiyonda \( x \) yerine \( 4 \) yazarsak:
  \( f(4) = 3 \cdot 4 - 7 \)
  \( f(4) = 12 - 7 \)
  \( f(4) = 5 \) ✅
• Şimdi de \( f(-1) \) değerini bulalım:
  Fonksiyonda \( x \) yerine \( -1 \) yazarsak:
  \( f(-1) = 3 \cdot (-1) - 7 \)
  \( f(-1) = -3 - 7 \)
  \( f(-1) = -10 \) ✅
• Son olarak, istenen \( f(4) + f(-1) \) ifadesini hesaplayalım:
  \( f(4) + f(-1) = 5 + (-10) \)
  \( f(4) + f(-1) = 5 - 10 \)
  \( f(4) + f(-1) = -5 \) 🎯

Cevap: \( -5 \)

Fonksiyonlarda dört işlem yaparken, önce fonksiyonları toplayıp veya çarpıp sonra değeri yerine yazabiliriz ya da her bir fonksiyonun değerini ayrı ayrı bulup sonra toplama/çarpma işlemlerini yapabiliriz. İkinci yöntem genellikle daha pratiktir.

• Önce \( (f+g)(2) \) değerini bulalım:
  Bunun için \( f(2) \) ve \( g(2) \) değerlerini bulup toplayacağız.
  • \( f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2 \)
  • \( g(2) = 2 \cdot 2 + 5 = 4 + 5 = 9 \)
  • \( (f+g)(2) = f(2) + g(2) = -2 + 9 = 7 \) ✅
• Şimdi de \( (f \cdot g)(1) \) değerini bulalım:
  Bunun için \( f(1) \) ve \( g(1) \) değerlerini bulup çarpacağız.
  • \( f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2 \)
  • \( g(1) = 2 \cdot 1 + 5 = 2 + 5 = 7 \)
  • \( (f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = (-2) \cdot 7 = -14 \) ✅
• Son olarak, istenen \( (f+g)(2) - (f \cdot g)(1) \) ifadesini hesaplayalım:
  \( (f+g)(2) - (f \cdot g)(1) = 7 - (-14) \)
  \( = 7 + 14 \)
  \( = 21 \) 🎯

Cevap: \( 21 \)

Mutlak değerin tanımına göre, bir sayının mutlak değeri kendisi veya eksilisine eşit olabilir. Yani, \( |a| = b \) ise \( a = b \) veya \( a = -b \) olmalıdır. Bu bilgiye göre, denklemimizi iki farklı duruma ayırarak çözeceğiz:

• 1. Durum: Mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya sıfır ise
  \( 2x - 5 = 13 \)
  \( 2x = 13 + 5 \)
  \( 2x = 18 \)
  \( x = \frac{18}{2} \)
  \( x = 9 \) ✅
• 2. Durum: Mutlak değerin içindeki ifade negatif ise
  \( 2x - 5 = -13 \)
  \( 2x = -13 + 5 \)
  \( 2x = -8 \)
  \( x = \frac{-8}{2} \)
  \( x = -4 \) ✅

Denklemin çözüm kümesi, bulduğumuz \( x \) değerlerinden oluşur.

Çözüm Kümesi: \( \{ -4, 9 \} \) 🎯

Mutlak değer eşitsizliklerinde \( |a| \le b \) (burada \( b > 0 \) olmak üzere) şeklindeki bir ifade, \( -b \le a \le b \) şeklinde yazılabilir. Bu, mutlak değerin içindeki ifadenin \( -b \) ile \( b \) arasında bir değer alması gerektiği anlamına gelir. Eşitsizliğimizi bu kurala göre düzenleyelim: \[ -15 \le 3x + 6 \le 15 \] Şimdi bu bileşik eşitsizliği adım adım çözelim:

• Önce her taraftan \( 6 \) çıkaralım:
  \( -15 - 6 \le 3x + 6 - 6 \le 15 - 6 \)
  \( -21 \le 3x \le 9 \) ✅
• Şimdi her tarafı \( 3 \) ile bölelim (pozitif bir sayı ile böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
  \( \frac{-21}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{9}{3} \)
  \( -7 \le x \le 3 \) ✅

Bu, \( x \) değerlerinin \( -7 \) ile \( 3 \) arasında, \( -7 \) ve \( 3 \) dahil olmak üzere tüm reel sayıları alabileceği anlamına gelir.

Çözüm Kümesi: \( [-7, 3] \) 🎯

Mutlak değer eşitsizliklerinde \( |a| > b \) (burada \( b > 0 \) olmak üzere) şeklindeki bir ifade, \( a > b \) veya \( a < -b \) şeklinde iki ayrı eşitsizlik olarak çözülür. Bu, mutlak değerin içindeki ifadenin \( b \) 'den büyük veya \( -b \) 'den küçük olması gerektiği anlamına gelir. Eşitsizliğimizi bu kurala göre iki farklı duruma ayırarak çözelim:

• 1. Durum: Mutlak değerin içindeki ifade pozitif ise
  \( 4x - 8 > 12 \)
  \( 4x > 12 + 8 \)
  \( 4x > 20 \)
  \( x > \frac{20}{4} \)
  \( x > 5 \) ✅
• 2. Durum: Mutlak değerin içindeki ifade negatif ise
  \( 4x - 8 < -12 \)
  \( 4x < -12 + 8 \)
  \( 4x < -4 \)
  \( x < \frac{-4}{4} \)
  \( x < -1 \) ✅

Çözüm kümesi, her iki durumdan gelen \( x \) değerlerinin birleşimidir.

Çözüm Kümesi: \( (-\infty, -1) \cup (5, \infty) \) 🎯

Doğrusal bir fonksiyonun genel denklemi \( y = mx + n \) şeklindedir. Burada \( m \) eğim, \( n \) ise \( y \) eksenini kestiği noktadır.

• 1. Adım: \( y \) eksenini kestiği noktayı belirleyelim.
  Grafik \( y \) eksenini \( (0, 6) \) noktasında kesiyorsa, bu demektir ki \( x=0 \) iken \( y=6 \) 'dır. Dolayısıyla, \( n=6 \) olur. Fonksiyonumuz şimdilik \( f(x) = mx + 6 \) şeklindedir. ✅
• 2. Adım: Eğimi (\( m \)) bulalım.
  Doğru, \( (-3, 0) \) ve \( (0, 6) \) noktalarından geçmektedir. İki noktası bilinen doğrunun eğimi şu formülle bulunur:
  \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
  \( m = \frac{6 - 0}{0 - (-3)} \)
  \( m = \frac{6}{3} \)
  \( m = 2 \) ✅
• 3. Adım: Fonksiyonun kuralını yazalım.
  Bulduğumuz \( m=2 \) ve \( n=6 \) değerlerini yerine yazarsak, fonksiyonun kuralı:
  \( f(x) = 2x + 6 \) olur. 🎉
• 4. Adım: \( f(2) \) değerini hesaplayalım.
  Fonksiyon kuralında \( x \) yerine \( 2 \) yazarsak:
  \( f(2) = 2 \cdot 2 + 6 \)
  \( f(2) = 4 + 6 \)
  \( f(2) = 10 \) 🎯

Cevap: Fonksiyon kuralı \( f(x) = 2x + 6 \) ve \( f(2) = 10 \)'dur.

Bu problemi mutlak değer eşitsizliği kullanarak çözebiliriz.

• 1. Adım: Değişkeni tanımlayalım.
  Ortamdaki gerçek sıcaklığı \( T \) ile gösterelim.
• 2. Adım: Farklılığı mutlak değerle ifade edelim.
  Gerçek sıcaklık ile ideal sıcaklık arasındaki fark, ideal sıcaklıktan \( 22^\circ\text{C} \) çıkarılarak bulunur: \( |T - 22| \).
• 3. Adım: Eşitsizliği kuralım.
  Bu farkın en fazla \( 3^\circ\text{C} \) olabileceği belirtiliyor. "En fazla" ifadesi, farkın \( 3^\circ\text{C} \) veya daha az olabileceği anlamına gelir. Bu durumda eşitsizliğimiz:
  \[ |T - 22| \le 3 \] ✅
• 4. Adım: Eşitsizliği çözelim.
  Mutlak değer eşitsizliğinin kuralına göre, \( |a| \le b \) ise \( -b \le a \le b \) şeklinde yazabiliriz. Burada \( a = T - 22 \) ve \( b = 3 \).
  \[ -3 \le T - 22 \le 3 \]
• 5. Adım: Her tarafa \( 22 \) ekleyelim.
  \( -3 + 22 \le T - 22 + 22 \le 3 + 22 \)
  \( 19 \le T \le 25 \) ✅

Bu eşitsizlik, klimanın çalıştığı ortamdaki sıcaklığın \( 19^\circ\text{C} \) ile \( 25^\circ\text{C} \) arasında (bu değerler dahil) olması gerektiğini gösterir.

Cevap: Klimanın çalıştığı ortamdaki sıcaklık aralığını gösteren eşitsizlik \( |T - 22| \le 3 \) ve çözüm kümesi \( [19, 25] \)'tir. 🎯