💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar ve kümelerle analiz etme Çözümlü Örnekler

A kümesi şu şekildedir: A = {1, 2, 3, 4}

Bir kümenin eleman sayısı, kümenin içinde bulunan farklı nesnelerin (elemanların) sayısını ifade eder.

• A kümesinin elemanları 1, 2, 3 ve 4'tür.
• Bu elemanları tek tek saydığımızda 4 tane eleman olduğunu görürüz.

Bu nedenle, A kümesinin eleman sayısı 4'tür.

Matematiksel olarak bu durum s(A) = 4 şeklinde gösterilir.

B kümesi: B = {elma, armut, çilek}

C kümesi: C = {armut, muz, kiraz}

İki kümenin birleşim kümesi (B ∪ C), her iki kümede bulunan tüm elemanları içeren kümedir. Birleşim kümesinde tekrar eden elemanlar yalnızca bir kez yazılır.

• B kümesindeki elemanlar: elma, armut, çilek
• C kümesindeki elemanlar: armut, muz, kiraz
• Bu elemanların hepsini bir araya getirelim: elma, armut, çilek, armut, muz, kiraz
• Tekrar eden 'armut' elemanını bir kez alarak birleşim kümesini oluşturalım: {elma, armut, çilek, muz, kiraz}

Dolayısıyla, B ∪ C = {elma, armut, çilek, muz, kiraz} olur.

D kümesi: D = {a, b, c, d}

E kümesi: E = {c, d, e, f}

İki kümenin kesişim kümesi (D ∩ E), her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanları içeren kümedir.

• D kümesinde bulunan elemanlar: a, b, c, d
• E kümesinde bulunan elemanlar: c, d, e, f
• Şimdi bu iki kümede de ortak olan elemanları bulalım:
• 'a' sadece D'de var.
• 'b' sadece D'de var.
• 'c' hem D'de hem de E'de var. ✅
• 'd' hem D'de hem de E'de var. ✅
• 'e' sadece E'de var.
• 'f' sadece E'de var.
• Ortak elemanlar 'c' ve 'd'dir.

Bu nedenle, D ∩ E = {c, d} olur.

F kümesi: F = {1, 2, 3, 4, 5}

F kümesinin eleman sayısı s(F) = 5'tir.

Bir kümenin alt kümelerinin sayısı, o kümenin eleman sayısının 2'nin kuvveti olarak yazılmasıyla bulunur. Eğer bir kümenin n tane elemanı varsa, alt kümelerinin sayısı \( 2^n \) olur.

• F kümesinin 5 elemanı var, yani \( n = 5 \).
• Alt kümelerinin sayısı \( 2^5 \) olacaktır.
• \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)

Yani, F kümesinin 32 tane alt kümesi vardır. Boş küme ve kendisi de bu alt kümeler arasındadır.

Önce verilen bilgileri küme olarak ifade edelim:

• Futbol oynayanlar kümesi F olsun. s(F) = 15
• Basketbol oynayanlar kümesi B olsun. s(B) = 12
• Hem futbol hem basketbol oynayanlar (kesişim kümesi) F ∩ B olsun. s(F ∩ B) = 7

Soruda bizden sadece futbol oynayanlar ve sadece basketbol oynayanların toplamı isteniyor.

Sadece futbol oynayanlar: Futbol oynayanlardan, hem futbol hem basketbol oynayanları çıkararak bulunur.

• Sadece F = s(F) - s(F ∩ B)
• Sadece F = 15 - 7 = 8

Sadece basketbol oynayanlar: Basketbol oynayanlardan, hem futbol hem basketbol oynayanları çıkararak bulunur.

• Sadece B = s(B) - s(F ∩ B)
• Sadece B = 12 - 7 = 5

Şimdi bu iki sayıyı toplayalım:

• Toplam = Sadece F + Sadece B
• Toplam = 8 + 5 = 13

Bu sınıfta sadece futbol oynayan öğrenci sayısı ile sadece basketbol oynayan öğrenci sayısının toplamı 13'tür.

Verilen bilgileri kümelerle ifade edelim:

• Kampanya 1: Elma (E) ve Armut (A) alanlar. Bu durumu E ∩ A olarak düşünebiliriz.
• Kampanya 2: Armut (A) ve Çilek (Ç) alanlar. Bu durumu A ∩ Ç olarak düşünebiliriz.

Müşterinin her iki kampanyadan da faydalandığı belirtiliyor. Bu şu anlama gelir:

• Müşteri, Kampanya 1'in koşulunu sağladığına göre elma ve armut almıştır.
• Müşteri, Kampanya 2'nin koşulunu sağladığına göre armut ve çilek almıştır.

Şimdi bu iki durumu birleştirelim. Müşterinin aldığı meyveler:

• Elma (Kampanya 1'den dolayı)
• Armut (Kampanya 1'den dolayı VE Kampanya 2'den dolayı)
• Çilek (Kampanya 2'den dolayı)

Bu durumda müşteri kesinlikle elma, armut ve çilek almıştır. Armut her iki kampanyada da olduğu için, bu meyve müşterinin sepetinde mutlaka bulunmalıdır.

G kümesi: G = {kırmızı, mavi, yeşil}

Bir kümenin alt kümeleri, o kümenin elemanlarından oluşturulan yeni kümelerdir. Boş küme (hiçbir elemanı olmayan küme) de her kümenin alt kümesidir.

• En basit alt küme boş kümedir: ∅ veya {}.
• Tek elemanlı alt kümeler: {kırmızı}, {mavi}, {yeşil}
• İki elemanlı alt kümeler: {kırmızı, mavi}, {kırmızı, yeşil}, {mavi, yeşil}
• Üç elemanlı alt küme (kendisi): {kırmızı, mavi, yeşil}

Soruda bizden bu alt kümelerden ikisini yazmamız isteniyor. İstediğiniz herhangi ikisini seçebilirsiniz. Örneğin:

• Alt küme 1: {mavi}
• Alt küme 2: {kırmızı, yeşil}

Verilen küme tanımı: H = {x | x, 10'dan küçük pozitif tam sayılar}

Bu tanımı adım adım inceleyelim:

• Pozitif tam sayılar: Bunlar 1, 2, 3, 4, ... şeklinde devam eden sayılardır.
• 10'dan küçük: Bu, sayıların 10'dan büyük olamayacağı anlamına gelir. Yani, en fazla 9 olabilirler.

Şimdi bu iki koşulu birleştirelim. 10'dan küçük olan pozitif tam sayılar şunlardır:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9

Bu elemanları küme parantezleri içine alarak liste yöntemiyle yazabiliriz.

H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Verilen bilgileri kümelerle ifade edelim:

• Satranç kulübüne katılanlar kümesi S olsun. s(S) = 20
• Tiyatro kulübüne katılanlar kümesi T olsun. s(T) = 15
• Hem satranç hem de tiyatro kulübüne katılanlar (kesişim kümesi) S ∩ T olsun. s(S ∩ T) = 8

Soruda bizden yalnızca bir kulübe katılan toplam öğrenci sayısı isteniyor. Bu, sadece satranç kulübüne katılanlar ile sadece tiyatro kulübüne katılanların toplamıdır.

Sadece satranç kulübüne katılanlar: Satranç kulübüne katılanlardan, her iki kulübe de katılanları çıkararak bulunur.

• Sadece S = s(S) - s(S ∩ T)
• Sadece S = 20 - 8 = 12

Sadece tiyatro kulübüne katılanlar: Tiyatro kulübüne katılanlardan, her iki kulübe de katılanları çıkararak bulunur.

• Sadece T = s(T) - s(S ∩ T)
• Sadece T = 15 - 8 = 7

Şimdi bu iki sayıyı toplayalım:

• Toplam yalnızca bir kulübe katılan = Sadece S + Sadece T
• Toplam = 12 + 7 = 19

Bu iki kulüpten yalnızca birine katılan toplam öğrenci sayısı 19'dur.