💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Ve Geometrik Sorular Çözümlü Örnekler

👉 Bu soruyu çözmek için, fonksiyonun koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulmamız ve ardından oluşan dik üçgenin alanını hesaplamamız gerekir.

• 1. Adım: x eksenini kestiği noktayı bulma.
  x eksenini kestiği noktada \( y = 0 \) olmalıdır.
  \( 2x + 6 = 0 \)
  \( 2x = -6 \)
  \( x = -3 \)
  Yani, grafik x eksenini \( (-3, 0) \) noktasında keser. Bu noktanın orijine uzaklığı \( |-3| = 3 \) birimdir.
• 2. Adım: y eksenini kestiği noktayı bulma.
  y eksenini kestiği noktada \( x = 0 \) olmalıdır.
  \( y = 2(0) + 6 \)
  \( y = 6 \)
  Yani, grafik y eksenini \( (0, 6) \) noktasında keser. Bu noktanın orijine uzaklığı \( |6| = 6 \) birimdir.
• 3. Adım: Üçgenin alanını hesaplama.
  Grafik ile eksenler arasında, köşeleri \( (0,0) \), \( (-3,0) \) ve \( (0,6) \) olan bir dik üçgen oluşur.
  Dik kenarların uzunlukları 3 birim ve 6 birimdir.
  Üçgenin alanı = \( \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} \) formülüyle bulunur.
  Alan = \( \frac{3 \times 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) birimkaredir.

✅ Cevap: Oluşan bölgenin alanı 9 birimkaredir.

📌 İki fonksiyonun grafiklerinin kesim noktasını bulmak için, fonksiyonların değerlerini (y değerlerini) birbirine eşitlememiz gerekir.

• 1. Adım: Fonksiyonları eşitleme.
  Kesim noktasında \( f(x) = g(x) \) olmalıdır.
  \( 3x - 5 = -2x + 10 \)
• 2. Adım: x değerini bulma.
  x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım.
  \( 3x + 2x = 10 + 5 \)
  \( 5x = 15 \)
  \( x = \frac{15}{5} \)
  \( x = 3 \)
• 3. Adım: y değerini bulma.
  Bulduğumuz \( x = 3 \) değerini fonksiyonlardan herhangi birinde yerine yazarak y değerini bulabiliriz. \( f(x) \) fonksiyonunu kullanalım:
  \( f(3) = 3(3) - 5 \)
  \( f(3) = 9 - 5 \)
  \( f(3) = 4 \)
  Kontrol için \( g(x) \) fonksiyonunda da yerine yazabiliriz:
  \( g(3) = -2(3) + 10 \)
  \( g(3) = -6 + 10 \)
  \( g(3) = 4 \)

✅ Cevap: Fonksiyonların kesim noktası \( (3, 4) \) koordinatlarına sahiptir.

💡 Bu soruda önce A noktasının koordinatlarını bulmalı, ardından iki nokta arasındaki uzaklık formülünü (Pisagor bağıntısı) kullanmalıyız.

• 1. Adım: A noktasının koordinatlarını bulma.
  A noktasının x koordinatı 5 olarak verilmiş. Bu noktayı fonksiyon denkleminde yerine yazarak y koordinatını bulalım.
  \( y = x - 2 \)
  \( y = 5 - 2 \)
  \( y = 3 \)
  Yani, A noktasının koordinatları \( (5, 3) \)'tür.
• 2. Adım: A noktasının orijine uzaklığını hesaplama.
  Orijin \( O(0,0) \) ve A noktası \( A(5,3) \). İki nokta arasındaki uzaklık, Pisagor bağıntısı kullanılarak bulunabilir. x koordinatları farkının karesi ile y koordinatları farkının karesinin toplamının karekökü alınır.
  Uzaklık = \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
  Uzaklık = \( \sqrt{(5 - 0)^2 + (3 - 0)^2} \)
  Uzaklık = \( \sqrt{5^2 + 3^2} \)
  Uzaklık = \( \sqrt{25 + 9} \)
  Uzaklık = \( \sqrt{34} \) birimdir.

✅ Cevap: A noktasının orijine olan uzaklığı \( \sqrt{34} \) birimdir.

🚀 Bu tür yeni nesil sorularda, verilen bilgileri matematiksel denklemlere dönüştürmek ve problemi çözmek önemlidir.

• 1. Adım: Fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları k cinsinden bulma.
  Fonksiyon: \( y = -x + k \)
  x eksenini kestiği nokta (\( y=0 \)): \( 0 = -x + k \Rightarrow x = k \). Nokta: \( (k, 0) \). Orijine uzaklığı k birim.
  y eksenini kestiği nokta (\( x=0 \)): \( y = -0 + k \Rightarrow y = k \). Nokta: \( (0, k) \). Orijine uzaklığı k birim.
• 2. Adım: Oluşan üçgenin alanını k cinsinden ifade etme.
  Grafik ile eksenler arasında, dik kenarları k birim olan bir dik üçgen oluşur.
  Üçgenin alanı = \( \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} \)
  Alan = \( \frac{k \times k}{2} = \frac{k^2}{2} \)
• 3. Adım: k değerini bulma.
  Soruda üçgensel bölgenin alanının 32 birimkare olduğu verilmiştir.
  \( \frac{k^2}{2} = 32 \)
  \( k^2 = 32 \times 2 \)
  \( k^2 = 64 \)
  \( k = \sqrt{64} \) veya \( k = -\sqrt{64} \)
  \( k = 8 \) veya \( k = -8 \)
  Soruda \( k > 0 \) olduğu belirtildiği için \( k = 8 \) olmalıdır.

✅ Cevap: k değeri 8'dir.

🔍 Bir noktanın bir fonksiyonun grafiği üzerinde olması için, noktanın koordinatlarının fonksiyonun denklemini sağlaması gerekir. Yani, x değerini fonksiyonda yerine yazdığımızda y değerini elde etmeliyiz.

• 1. Adım: Her bir şıkkı kontrol etme.
  Fonksiyon: \( f(x) = 3x - 4 \)
• A) \( (1, -1) \) noktası için:
  \( f(1) = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1 \).
  Bu nokta fonksiyonu sağlar. \( y = -1 \) elde edildi.
• B) \( (2, 1) \) noktası için:
  \( f(2) = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2 \).
  Bu nokta fonksiyonu sağlamaz. \( y = 1 \) yerine \( y = 2 \) elde edildi.
• C) \( (-1, -7) \) noktası için:
  \( f(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7 \).
  Bu nokta fonksiyonu sağlar. \( y = -7 \) elde edildi.
• D) \( (0, 4) \) noktası için:
  \( f(0) = 3(0) - 4 = 0 - 4 = -4 \).
  Bu nokta fonksiyonu sağlamaz. \( y = 4 \) yerine \( y = -4 \) elde edildi.

✅ Cevap: A ve C şıkları fonksiyonun grafiği üzerindedir. (Genellikle bu tür çoktan seçmeli sorularda tek doğru cevap olur, ancak burada birden fazla doğru nokta çıktı. Bu durumda soruyu "Aşağıdaki noktalardan hangileri..." şeklinde düşünebiliriz.)

💡 Üçgenin çevresini bulmak için tüm kenar uzunluklarını bilmemiz gerekir. Dik kenarlar eksenleri kestiği noktalardan, hipotenüs ise Pisagor bağıntısından bulunur.

• 1. Adım: Fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulma.
  Fonksiyon: \( y = -x + 4 \)
  • x eksenini kestiği nokta (\( y=0 \)): \( 0 = -x + 4 \Rightarrow x = 4 \). Bu A noktası olsun: \( A(4, 0) \). Orijine uzaklığı \( |OA| = 4 \) birim.
  • y eksenini kestiği nokta (\( x=0 \)): \( y = -0 + 4 \Rightarrow y = 4 \). Bu B noktası olsun: \( B(0, 4) \). Orijine uzaklığı \( |OB| = 4 \) birim.
• 2. Adım: Hipotenüs uzunluğunu (AB uzunluğunu) bulma.
  AOB bir dik üçgendir ve dik kenarları OA ve OB'dir. Hipotenüs AB'dir. Pisagor bağıntısını kullanalım: \( |AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 \).
  \( |AB|^2 = 4^2 + 4^2 \)
  \( |AB|^2 = 16 + 16 \)
  \( |AB|^2 = 32 \)
  \( |AB| = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \) birim.
• 3. Adım: Üçgenin çevresini hesaplama.
  Çevre = \( |OA| + |OB| + |AB| \)
  Çevre = \( 4 + 4 + 4\sqrt{2} \)
  Çevre = \( 8 + 4\sqrt{2} \) birim.

✅ Cevap: AOB üçgeninin çevresi \( 8 + 4\sqrt{2} \) birimdir.

🛣️ Günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bu tür durumlar, doğrusal fonksiyonlar ile kolayca modellenebilir.

• a) Fonksiyonu yazınız:
  Yolculuk mesafesini \( x \) (kilometre cinsinden) ve toplam ücreti \( f(x) \) (TL cinsinden) ile gösterelim.
  Sabit ücret 10 TL'dir.
  Kilometre başına ücret 4 TL'dir, yani \( x \) kilometre için \( 4x \) TL ödenir.
  Toplam ücret, sabit ücret ile gidilen yolun ücretinin toplamıdır.
  Fonksiyon: \( f(x) = 4x + 10 \)
• b) 25 km'lik bir yolculuk için kaç TL ödenir?
  \( x = 25 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım.
  \( f(25) = 4(25) + 10 \)
  \( f(25) = 100 + 10 \)
  \( f(25) = 110 \) TL.
• c) Eğer bir müşteri 90 TL ödediyse, kaç kilometre yol gitmiştir?
  Toplam ücret \( f(x) = 90 \) TL olarak verilmiş. Fonksiyonu 90'a eşitleyerek \( x \) değerini bulalım.
  \( 4x + 10 = 90 \)
  \( 4x = 90 - 10 \)
  \( 4x = 80 \)
  \( x = \frac{80}{4} \)
  \( x = 20 \) kilometre.

✅ Cevap:
a) \( f(x) = 4x + 10 \)
b) 25 km için 110 TL ödenir.
c) 90 TL ödeyen müşteri 20 km yol gitmiştir.

🧩 Bu soru, iki fonksiyon arasında kalan alanı bulmayı gerektiren bir problemdir. Oluşan şeklin bir yamuk olduğunu fark etmeliyiz.

• 1. Adım: Bölgeleri sınırlayan noktaları bulma.
  Sınırlar: y ekseni (\( x=0 \)), \( x=3 \) doğrusu, \( f(x) = x + 2 \) ve \( g(x) = x + 5 \).
  • \( x=0 \) için (y ekseni üzerindeki noktalar):
    \( f(0) = 0 + 2 = 2 \). Nokta: \( (0, 2) \)
    \( g(0) = 0 + 5 = 5 \). Nokta: \( (0, 5) \)
    Bu noktalar y ekseni üzerindeki yamuğun dikey kenarlarından birini oluşturur. Uzunluk \( 5 - 2 = 3 \) birimdir. (Yamuğun bir tabanı)
  • \( x=3 \) için ( \( x=3 \) doğrusu üzerindeki noktalar):
    \( f(3) = 3 + 2 = 5 \). Nokta: \( (3, 5) \)
    \( g(3) = 3 + 5 = 8 \). Nokta: \( (3, 8) \)
    Bu noktalar \( x=3 \) doğrusu üzerindeki yamuğun diğer dikey kenarını oluşturur. Uzunluk \( 8 - 5 = 3 \) birimdir. (Yamuğun diğer tabanı)
• 2. Adım: Oluşan şekli belirleme ve alan formülünü uygulama.
  Gördüğümüz gibi, y ekseni (\( x=0 \)) ve \( x=3 \) doğruları dikey kenarları, \( f(x) \) ve \( g(x) \) ise eğik kenarları oluşturur. Bu bir yamuktur.
  Yamuğun yüksekliği, \( x=0 \) ile \( x=3 \) arasındaki mesafedir, yani \( 3 - 0 = 3 \) birimdir.
  Yamuğun paralel kenarlarının uzunlukları (tabanları):
  \( x=0 \) anında: \( y_2 - y_1 = 5 - 2 = 3 \) birim.
  \( x=3 \) anında: \( y_2 - y_1 = 8 - 5 = 3 \) birim.
  Yamuğun alanı = \( \frac{\text{(alt taban + üst taban)} \times \text{yükseklik}}{2} \)
• 3. Adım: Alanı hesaplama.
  Yamuğun tabanları 3 birim ve 3 birimdir. Yüksekliği de 3 birimdir.
  Alan = \( \frac{(3 + 3) \times 3}{2} \)
  Alan = \( \frac{6 \times 3}{2} \)
  Alan = \( \frac{18}{2} \)
  Alan = \( 9 \) birimkaredir.

✅ Cevap: İki fonksiyonun grafikleri, y ekseni ve \( x=3 \) doğrusu arasında kalan bölgenin alanı 9 birimkaredir.