🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Soruları ve Çözümleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Soruları ve Çözümleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
f(x) = 2x + 3 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(4) değeri kaçtır? 💡
Çözüm:
Fonksiyonun tanımını kullanarak istenen değeri hesaplayacağız.
- Verilen fonksiyon: \(f(x) = 2x + 3\)
- Hesaplanması istenen değer: \(f(4)\)
- Fonksiyonda \(x\) yerine \(4\) yazılır: \(f(4) = 2 \times 4 + 3\)
- Çarpma işlemi yapılır: \(f(4) = 8 + 3\)
- Toplama işlemi yapılır: \(f(4) = 11\)
Örnek 2:
Bir aracın deposunda bulunan benzin miktarı (litre), geçen zamana (saat) bağlı olarak B(t) = 50 - 5t fonksiyonu ile ifade ediliyor. Araç harekete başladıktan 3 saat sonra depoda kaç litre benzin kalır? ⛽
Çözüm:
Bu bir fonksiyon uygulaması sorusudur. Benzin miktarını bulmak için zamanı fonksiyonda yerine koyacağız.
- Verilen benzin miktarı fonksiyonu: \(B(t) = 50 - 5t\)
- Geçen zaman: \(t = 3\) saat
- Fonksiyonda \(t\) yerine \(3\) yazılır: \(B(3) = 50 - 5 \times 3\)
- Çarpma işlemi yapılır: \(B(3) = 50 - 15\)
- Çıkarma işlemi yapılır: \(B(3) = 35\)
Örnek 3:
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + b fonksiyonu için f(1) = 5 ve f(3) = 11 olduğuna göre, \(a + b\) değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu soruda, fonksiyonun iki farklı noktadaki değeri verilmiş ve bilinmeyen katsayıları bulmamız isteniyor.
- Verilen fonksiyon: \(f(x) = ax + b\)
- İlk verilen bilgi: \(f(1) = 5\). Fonksiyonda \(x\) yerine \(1\) yazarsak: \(a \times 1 + b = 5 \implies a + b = 5\) (Denklem 1)
- İkinci verilen bilgi: \(f(3) = 11\). Fonksiyonda \(x\) yerine \(3\) yazarsak: \(a \times 3 + b = 11 \implies 3a + b = 11\) (Denklem 2)
- Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var:
- \(a + b = 5\)
- \(3a + b = 11\)
- Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım: \((3a + b) - (a + b) = 11 - 5 \implies 2a = 6 \implies a = 3\)
- Bulduğumuz \(a\) değerini Denklem 1'de yerine koyalım: \(3 + b = 5 \implies b = 2\)
- Bize sorulan \(a + b\) değeri: \(a + b = 3 + 2 = 5\)
Örnek 4:
f(x) = x^2 - 4 ve g(x) = 2x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre (f \circ g)(2) değeri kaçtır? 🧮
Çözüm:
Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısını diğerinin girdisi olarak kullanır.
- Bileşke fonksiyonun tanımı: \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
- Hesaplanması istenen değer: \((f \circ g)(2)\)
- Önce içteki fonksiyonu, yani \(g(2)\) değerini hesaplayalım:
- \(g(x) = 2x + 1\)
- \(g(2) = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5\)
- Şimdi \(f(g(2))\) yani \(f(5)\) değerini hesaplayalım:
- \(f(x) = x^2 - 4\)
- \(f(5) = 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21\)
Örnek 5:
Bir yazılım geliştirici, bir uygulamanın kullanıcı sayısındaki artışı modellemek için bir fonksiyon kullanıyor. Başlangıçta 1000 kullanıcı ile başlayan uygulama, her ay %10 oranında kullanıcı artışı gösteriyor. Bu durumu modelleyen fonksiyonu ve 3 ay sonraki kullanıcı sayısını bulunuz. 📈
Çözüm:
Bu, üstel artış gösteren bir fonksiyon örneğidir. Her ay belirli bir oranda artış olduğu için bu tür durumlarda üslü fonksiyonlar kullanılır.
- Başlangıç kullanıcı sayısı: \(N_0 = 1000\)
- Aylık artış oranı: \(r = 10% = 0.10\)
- Artış sonrası her ayki oran: \(1 + r = 1 + 0.10 = 1.10\)
- \(t\) ay sonraki kullanıcı sayısını veren fonksiyon: \(N(t) = N_0 \times (1 + r)^t\)
- Yani fonksiyonumuz: \(N(t) = 1000 \times (1.10)^t\)
- 3 ay sonraki kullanıcı sayısını bulmak için \(t=3\) değerini fonksiyonda yerine koyalım:
- \(N(3) = 1000 \times (1.10)^3\)
- \(1.10^3 = 1.10 \times 1.10 \times 1.10 = 1.21 \times 1.10 = 1.331\)
- \(N(3) = 1000 \times 1.331 = 1331\)
Örnek 6:
Bir taksicinin açılış ücreti 20 TL'dir ve kilometre başına 5 TL ücret almaktadır. Buna göre, taksinin kat ettiği mesafeye göre ödenen ücreti gösteren fonksiyonu ve 15 kilometre yol gidildiğinde ödenecek tutarı hesaplayınız. 🚕
Çözüm:
Bu problem, doğrusal bir fonksiyon ile modellenebilir.
- Açılış ücreti (sabit terim): 20 TL
- Kilometre başına ücret (eğim): 5 TL
- Kat edilen mesafe (bağımsız değişken): \(x\) kilometre
- Ödenecek toplam ücreti gösteren fonksiyon: \(Ücret(x) = 5x + 20\)
- 15 kilometre yol gidildiğinde ödenecek tutarı bulmak için \(x=15\) değerini fonksiyonda yerine koyalım:
- \(Ücret(15) = 5 \times 15 + 20\)
- Çarpma işlemi yapılır: \(Ücret(15) = 75 + 20\)
- Toplama işlemi yapılır: \(Ücret(15) = 95\)
Örnek 7:
f(x) = \frac{x+1}{x-1} fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(f(x)) ifadesinin sadeleştirilmiş halini bulunuz. 🔄
Çözüm:
Bu soruda bileşke fonksiyonun cebirsel sadeleştirmesi yapılacaktır.
- Verilen fonksiyon: \(f(x) = \frac{x+1}{x-1}\)
- Hesaplanması istenen: \(f(f(x))\)
- Bu, \(f(x)\) fonksiyonunun çıktısını, \(f\) fonksiyonunun girdisi olarak kullanmak anlamına gelir. Yani \(f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\) hesaplanacaktır.
- Fonksiyonda \(x\) gördüğümüz her yere \(\frac{x+1}{x-1}\) ifadesini yazalım:
- \(f\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \frac{\left(\frac{x+1}{x-1}\right) + 1}{\left(\frac{x+1}{x-1}\right) - 1}\)
- Şimdi pay ve paydayı ayrı ayrı payda eşitleyerek sadeleştirelim:
- Pay: \(\frac{x+1}{x-1} + 1 = \frac{x+1}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} = \frac{x+1 + x-1}{x-1} = \frac{2x}{x-1}\)
- Payda: \(\frac{x+1}{x-1} - 1 = \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x-1} = \frac{x+1 - (x-1)}{x-1} = \frac{x+1 - x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}\)
- Şimdi bu iki ifadeyi oranlayalım:
- \(f(f(x)) = \frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{2}{x-1}}\)
- Bölme işlemini çarpma olarak yazıp ters çevirelim:
- \(f(f(x)) = \frac{2x}{x-1} \times \frac{x-1}{2}\)
- \(x-1\) ve \(2\) terimleri sadeleşir:
- \(f(f(x)) = x\)
Örnek 8:
Bir grafik tasarımcı, bir logonun boyutunu ayarlamak için bir fonksiyon kullanıyor. Logonun ilk genişliği 10 cm'dir. Tasarımcı, her seferinde logonun genişliğini %20 oranında artırarak veya %10 oranında azaltarak boyutları ayarlıyor. Eğer tasarımcı önce genişliği %20 artırıp sonra %10 azaltırsa, son genişlik ilk genişliğe göre nasıl değişir? 📏
Çözüm:
Bu problem, ardışık yüzdesel değişimleri fonksiyonlarla modellemeyi gerektirir.
- İlk genişlik: \(G_0 = 10\) cm
- Genişliği %20 artırmak demek, mevcut genişliği 1.20 ile çarpmak demektir.
- Genişliği %10 azaltmak demek, mevcut genişliği (1 - 0.10) = 0.90 ile çarpmak demektir.
- Önce %20 artırma işlemi:
- \(G_1 = G_0 \times 1.20 = 10 \times 1.20 = 12\) cm
- Sonra %10 azaltma işlemi:
- \(G_2 = G_1 \times 0.90 = 12 \times 0.90 = 10.8\) cm
- Alternatif olarak, bu işlemi tek bir fonksiyonda birleştirebiliriz:
- Son genişlik = İlk Genişlik \(\times\) (Artış Oranı) \(\times\) (Azalış Oranı)
- Son genişlik = \(10 \times 1.20 \times 0.90 = 10 \times 1.08 = 10.8\) cm
- İlk genişlik 10 cm iken son genişlik 10.8 cm olmuştur.
- Değişim miktarı: \(10.8 - 10 = 0.8\) cm
- Yüzdesel değişim: \(\frac{0.8}{10} \times 100 = 8%\)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-fonksiyonlar-sorulari-ve-cozumleri/sorular