🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonda Tanım ve Görüntü Kümesi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Fonksiyonda Tanım ve Görüntü Kümesi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir A kümesi \( \{1, 2, 3\} \) ve bir B kümesi \( \{a, b, c, d\} \) olsun. \( f: A \to B \) şeklinde tanımlanan aşağıdaki fonksiyonun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz:
\( f = \{ (1, a), (2, b), (3, a) \} \) 💡
Çözüm:
Fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun eşlediği elemanların bulunduğu kümedir. Bu örnekte, A kümesindeki elemanlar fonksiyonun girdileridir.
- Tanım Kümesi: Fonksiyonun eşlediği ilk elemanlar A kümesinden gelir. Bu durumda tanım kümesi \( \{1, 2, 3\} \) olur.
- Görüntü Kümesi: Fonksiyonun çıktısı olan ikinci elemanlar B kümesinden gelir. Fonksiyonumuzda 1 sayısı 'a'ya, 2 sayısı 'b'ye ve 3 sayısı yine 'a'ya eşlenmiştir.
- Bu nedenle görüntü kümesi, eşleşen çıktılar olan \( \{a, b\} \) kümesidir.
Örnek 2:
\( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \) (reel sayılar) ise, görüntü kümesini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu fonksiyon doğrusal bir fonksiyondur ve tüm reel sayıları eşleyebilir.
- Tanım Kümesi: Soruda \( \mathbb{R} \) olarak verilmiş.
- Görüntü Kümesi: Fonksiyonun her reel sayı için bir çıktısı vardır. Bir reel sayıyı 2 ile çarpıp 1 eklediğimizde yine bir reel sayı elde ederiz.
- Bu fonksiyonun grafiği bir doğru olduğundan ve eğimi sıfırdan farklı olduğundan, tüm reel sayı değerlerini alabilir.
Örnek 3:
\( g(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz. 🚀
Çözüm:
Tanım kümesindeki her elemanı fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesini bulabiliriz.
- \( g(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \)
- \( g(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 \)
- \( g(0) = (0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4 \)
- \( g(1) = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 \)
- \( g(2) = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \)
- Görüntü Kümesi: \( \{0, -3, -4\} \)
Örnek 4:
\( h(x) = \frac{1}{x-3} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu tür rasyonel fonksiyonlarda paydanın sıfır olmaması gerekir. Tanım kümesi bu durumu zaten belirtmiş. Görüntü kümesini bulmak için fonksiyonun alabileceği değerleri inceleyelim.
- Fonksiyonun \( y = \frac{1}{x-3} \) olduğunu varsayalım.
- Buradan \( x-3 = \frac{1}{y} \) ve \( x = 3 + \frac{1}{y} \) elde ederiz.
- \( x \) bir reel sayı olabilmesi için \( y \) sıfır olamaz. Çünkü \( \frac{1}{y} \) tanımsız olur.
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında satılan akıllı saatlerin fiyatları ile satış adetleri arasında bir fonksiyon ilişkisi kurulmuştur. Tanım kümesi, satılan farklı akıllı saat modellerinin fiyatları (TL) olsun. Görüntü kümesi ise bu modellere karşılık gelen satış adetleri olsun. Eğer mağaza 5 farklı model akıllı saat satıyorsa ve bu modellerin fiyatları \( \{1500, 2000, 2500, 3000, 3500\} \) TL ise, bu durumdaki tanım kümesi ve olası görüntü kümesi hakkında ne söylenebilir? 📈
Çözüm:
Bu senaryoda, fonksiyonun tanım kümesi doğrudan verilen fiyatlardır.
- Tanım Kümesi: Mağazada satılan farklı akıllı saat modellerinin fiyatlarıdır.
- Bu nedenle tanım kümesi \( \{1500, 2000, 2500, 3000, 3500\} \) TL'dir.
- Görüntü Kümesi: Bu fiyatlara karşılık gelen satış adetlerinin kümesidir.
- Örneğin, 1500 TL'lik modelden 100 adet, 2000 TL'lik modelden 75 adet satılmış olabilir.
- Görüntü kümesi, bu satış adetlerinin oluşturduğu küme olacaktır. Örneğin, \( \{100, 75, 50, 60, 80\} \) gibi bir küme olabilir.
- Önemli olan, görüntü kümesinin boş küme olamayacağı ve elemanlarının pozitif tam sayılar olacağıdır.
Örnek 6:
Bir öğrencinin okul numarası ile o öğrencinin adı arasında bir fonksiyon tanımlayalım. Bu fonksiyonun tanım kümesi ve görüntü kümesi ne olur? 🧑🎓
Çözüm:
Bu örnekte, okul numaraları fonksiyonun girdilerini, öğrenci adları ise çıktılarını temsil eder.
- Tanım Kümesi: Okul numaralarının kümesidir. Her öğrencinin benzersiz bir okul numarası olduğu varsayılır.
- Örneğin, \( \{101, 102, 103, \dots \} \) gibi bir küme olabilir.
- Görüntü Kümesi: Öğrenci adlarının kümesidir.
- Her okul numarası farklı bir öğrenciye ait olacağından, görüntü kümesindeki elemanlar da farklı isimler olacaktır.
- Örneğin, \( \{\text{Ali, Veli, Ayşe, ...}\} \) gibi bir küme olabilir.
Örnek 7:
\( f(x) = \sqrt{x-5} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi ve bu tanım kümesi üzerindeki görüntü kümesini bulunuz. 🧮
Çözüm:
Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Tanım Kümesi: Karekök içindeki \( x-5 \) ifadesi sıfıra eşit veya büyük olmalıdır.
- \( x-5 \ge 0 \)
- \( x \ge 5 \)
- Bu durumda en geniş tanım kümesi \( [5, \infty) \) olur.
- Tanım kümesindeki en küçük değer \( x=5 \) olduğunda, \( f(5) = \sqrt{5-5} = \sqrt{0} = 0 \) olur.
- Tanım kümesi sonsuza doğru giderken, \( x \) değeri büyüdükçe \( x-5 \) değeri de büyür ve dolayısıyla \( \sqrt{x-5} \) değeri de büyür.
- Bu nedenle, görüntü kümesi 0'dan başlayıp sonsuza kadar tüm reel sayıları kapsar.
Örnek 8:
Bir yazılım geliştirme ekibinin haftalık kodlama süreleri (saat) ile ürettikleri hata sayısı arasında bir fonksiyon ilişkisi olduğu düşünülüyor. Fonksiyonun tanım kümesi haftalık kodlama süreleri, görüntü kümesi ise o haftada bulunan hata sayıları olsun. Eğer ekip bir hafta 10 saat, diğer hafta 15 saat kodlama yapmışsa ve bu haftalarda sırasıyla 3 ve 2 hata bulmuşsa, bu durumdaki tanım ve görüntü kümelerini nasıl ifade ederiz? 💻
Çözüm:
Bu senaryoda, fonksiyonun girdileri (tanım kümesi) kodlama süreleri, çıktıları (görüntü kümesi) ise hata sayılarıdır.
- Tanım Kümesi: Belirli haftalardaki kodlama sürelerini içerir.
- Bu örnekte tanım kümesi \( \{10 \text{ saat}, 15 \text{ saat}\} \) olur.
- Görüntü Kümesi: Bu kodlama sürelerine karşılık gelen hata sayılarıdır.
- 10 saat kodlama yapıldığında 3 hata bulunmuş, 15 saat kodlama yapıldığında ise 2 hata bulunmuştur.
- Dolayısıyla görüntü kümesi \( \{3, 2\} \) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-fonksiyonda-tanim-ve-goruntu-kumesi/sorular