✅ 9. Sınıf Matematik: Fonksiyon Test Çöz

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnız bir görüntüsü olmalı ve tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
A seçeneğinde, her doğal sayının 1 fazlası yine bir doğal sayıdır. Fonksiyondur.
B seçeneğinde, her tam sayının karesi yine bir tam sayıdır. Fonksiyondur.
C seçeneğinde, her reel sayının yarısı yine bir reel sayıdır. Fonksiyondur.
D seçeneğinde, her tam sayının mutlak değeri bir doğal sayıdır. Fonksiyondur.
E seçeneğinde, $m(x) = x-2$ fonksiyonunda tanım kümesi doğal sayılar ($\mathbb{N}$) iken, örneğin $x=0$ için $m(0) = 0-2 = -2$ olur. Ancak $m(0)=-2$ değeri $m: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ fonksiyonunda değer kümesi olan tam sayılar ($\mathbb{Z}$) kümesinde olmasına rağmen, tanım kümesi olan doğal sayılar kümesinde $0$ elemanı için $m(0)$ değeri doğal sayılar kümesindeki bir elemana eşleşmediği için (değer kümesi $\mathbb{Z}$ olduğundan bu kısım sorun değil) asıl sorun doğal sayılar kümesinden $x=0$ veya $x=1$ gibi elemanların görüntülerinin $\mathbb{N}$ kümesinden değil, $\mathbb{Z}$ kümesinden olmasıdır. Fonksiyon tanımına göre tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir karşılığı olmalıdır. Burada sorun, $m(x) = x-2$ ifadesinde tanım kümesi $\mathbb{N}$ iken, $m(0)=-2$ ve $m(1)=-1$ değerleri değer kümesi $\mathbb{Z}$ içinde yer alır, bu noktada sorun yok. Ancak soruda 'bir fonksiyon belirtmez' deniyor. Genel olarak 9. sınıf müfredatında bu tür sorular, değer kümesinin kısıtlamalarına dikkat çeker. Burada değer kümesi $\mathbb{Z}$ olduğu için, negatif sayılar da kabul edilir.
Tekrar kontrol edelim: $m: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, m(x) = x-2$. Tanım kümesi $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$. Değer kümesi $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
$x=0 \Rightarrow m(0) = -2 \in \mathbb{Z}$
$x=1 \Rightarrow m(1) = -1 \in \mathbb{Z}$
$x=2 \Rightarrow m(2) = 0 \in \mathbb{Z}$
Bu durumda E seçeneğindeki ifade bir fonksiyondur. Soruyu yanlış yorumladım.
O zaman diğer seçeneklere tekrar bakalım.
Bir bağıntının fonksiyon olmaması için;
1. Tanım kümesinde açıkta eleman kalması.
2. Tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde birden fazla görüntüsü olması.

A seçeneği: $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x) = x+1$. $f(0)=1, f(1)=2, \dots$. Her doğal sayının görüntüsü bir doğal sayıdır. Fonksiyondur.
B seçeneği: $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, g(x) = x^2$. $g(-1)=1, g(0)=0, g(1)=1, \dots$. Her tam sayının karesi bir tam sayıdır. Fonksiyondur.
C seçeneği: $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{x}{2}$. Her reel sayının yarısı bir reel sayıdır. Fonksiyondur.
D seçeneği: $k: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, k(x) = |x|$. $k(-1)=1, k(0)=0, k(1)=1, \dots$. Her tam sayının mutlak değeri bir doğal sayıdır. Fonksiyondur.
E seçeneği: $m: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, m(x) = x-2$. $m(0)=-2, m(1)=-1, m(2)=0, \dots$. Her doğal sayının 2 eksiği bir tam sayıdır. Fonksiyondur.

Bu soruda bir hata var, tüm seçenekler fonksiyon belirtiyor. Soruyu değiştirmem gerekiyor. Bir seçeneği fonksiyon olmayacak şekilde düzenlemeliyim.
Genellikle bu tarz sorularda, tanım kümesi veya değer kümesi kısıtlamaları ile fonksiyon olmayacak durumlar yaratılır.
Örneğin: $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x) = x-2$. Burada $f(0)=-2$ doğal sayı değildir. Bu fonksiyon olmaz.
Veya $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x) = \frac{1}{x}$. Burada $x=0$ için tanımsızdır. Bu fonksiyon olmaz.
Veya $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x) = \sqrt{x}$. Burada $x=2$ için $\sqrt{2}$ doğal sayı değildir. Bu fonksiyon olmaz.

Yeni E seçeneği: $m: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, m(x) = x-2$. Bu durumda $m(0)=-2$ ve $m(1)=-1$ değerleri doğal sayılar kümesinde değildir. Dolayısıyla E seçeneği fonksiyon belirtmez.

[TEXT] Aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyon belirtmez?
[A] $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, f(x) = x+1$
[B] $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, g(x) = x^2$
[C] $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{x}{2}$
[D] $k: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, k(x) = |x|$
[E] $m: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, m(x) = x-2$
[CORRECT] E
[SOLUTION] Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnız bir görüntüsü olmalı ve tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
A seçeneğinde, her doğal sayının 1 fazlası yine bir doğal sayıdır. Fonksiyondur.
B seçeneğinde, her tam sayının karesi yine bir tam sayıdır. Fonksiyondur.
C seçeneğinde, her reel sayının yarısı yine bir reel sayıdır. Fonksiyondur.
D seçeneğinde, her tam sayının mutlak değeri bir doğal sayıdır. Fonksiyondur.
E seçeneğinde, $m: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, m(x) = x-2$ ifadesinde tanım kümesi doğal sayılar kümesi ($\mathbb{N}$) iken, örneğin $x=0$ için $m(0) = 0-2 = -2$ olur. Ancak $-2$ değeri fonksiyonun değer kümesi olan doğal sayılar kümesinde ($\mathbb{N}$) bulunmamaktadır. Aynı şekilde $x=1$ için $m(1)=-1$ değeri de doğal sayılar kümesinde değildir. Bu nedenle $m(x)=x-2$ bağıntısı $\mathbb{N}$'den $\mathbb{N}$'ye bir fonksiyon belirtmez.