🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Soru 1:
Aşağıda kenar uzunlukları verilen ABC ve DEF üçgenlerinin eş olup olmadığını belirleyiniz.
ABC üçgeninde: |AB| = 7 cm, |BC| = 9 cm, |AC| = 12 cm.
DEF üçgeninde: |DE| = 7 cm, |EF| = 9 cm, |DF| = 12 cm.
Aşağıda kenar uzunlukları verilen ABC ve DEF üçgenlerinin eş olup olmadığını belirleyiniz.
ABC üçgeninde: |AB| = 7 cm, |BC| = 9 cm, |AC| = 12 cm.
DEF üçgeninde: |DE| = 7 cm, |EF| = 9 cm, |DF| = 12 cm.
Çözüm:
Bu soruda üçgenlerin eşliğini incelemek için Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte adımlarımız:
- ✅ Öncelikle, iki üçgenin karşılıklı kenarlarının uzunluklarını karşılaştıralım.
- 👉 |AB| = 7 cm ve |DE| = 7 cm. Bu kenarların uzunlukları eşittir.
- 👉 |BC| = 9 cm ve |EF| = 9 cm. Bu kenarların uzunlukları eşittir.
- 👉 |AC| = 12 cm ve |DF| = 12 cm. Bu kenarların uzunlukları eşittir.
- 💡 Gördüğümüz gibi, ABC üçgeninin tüm kenarları DEF üçgeninin tüm kenarlarıyla karşılıklı olarak eş uzunluktadır.
- Sonuç olarak, K.K.K. Eşlik Kuralı gereğince, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. Bu durumu matematiksel olarak \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde ifade ederiz.
Örnek 2:
📌 Soru 2:
PRT ve XYZ üçgenleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
PRT üçgeninde: |PR| = 10 cm, \( m(\hat{R}) = 60^\circ \), |RT| = 8 cm.
XYZ üçgeninde: |XY| = 10 cm, \( m(\hat{Y}) = 60^\circ \), |YZ| = 8 cm.
Bu iki üçgenin eşliğini açıklayınız.
PRT ve XYZ üçgenleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
PRT üçgeninde: |PR| = 10 cm, \( m(\hat{R}) = 60^\circ \), |RT| = 8 cm.
XYZ üçgeninde: |XY| = 10 cm, \( m(\hat{Y}) = 60^\circ \), |YZ| = 8 cm.
Bu iki üçgenin eşliğini açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruda üçgenlerin eşliğini incelemek için Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte çözüm adımları:
- ✅ Öncelikle, verilen kenar ve açı bilgilerini karşılaştıralım.
- 👉 PRT üçgeninde |PR| = 10 cm iken, XYZ üçgeninde |XY| = 10 cm'dir. Bu kenarlar eşittir.
- 👉 PRT üçgeninde bu iki kenar arasındaki açı \( m(\hat{R}) = 60^\circ \) iken, XYZ üçgeninde bu iki kenar arasındaki açı \( m(\hat{Y}) = 60^\circ \) dir. Bu açılar eşittir.
- 👉 PRT üçgeninde |RT| = 8 cm iken, XYZ üçgeninde |YZ| = 8 cm'dir. Bu kenarlar eşittir.
- 💡 Gördüğümüz gibi, iki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları karşılıklı olarak eştir.
- Sonuç olarak, K.A.K. Eşlik Kuralı gereğince, PRT üçgeni ile XYZ üçgeni eştir. Bu durumu \( \triangle PRT \cong \triangle XYZ \) şeklinde ifade ederiz.
Örnek 3:
📌 Soru 3:
KLM ve PQR üçgenleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
KLM üçgeninde: \( m(\hat{K}) = 55^\circ \), |KL| = 15 cm, \( m(\hat{L}) = 70^\circ \).
PQR üçgeninde: \( m(\hat{P}) = 55^\circ \), |PQ| = 15 cm, \( m(\hat{Q}) = 70^\circ \).
Bu üçgenlerin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eşlik durumunu yazınız.
KLM ve PQR üçgenleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
KLM üçgeninde: \( m(\hat{K}) = 55^\circ \), |KL| = 15 cm, \( m(\hat{L}) = 70^\circ \).
PQR üçgeninde: \( m(\hat{P}) = 55^\circ \), |PQ| = 15 cm, \( m(\hat{Q}) = 70^\circ \).
Bu üçgenlerin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eşlik durumunu yazınız.
Çözüm:
Bu soruda üçgenlerin eşliğini incelemek için Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız. İşte çözüm adımları:
- ✅ Verilen açı ve kenar bilgilerini dikkatlice karşılaştıralım.
- 👉 KLM üçgeninde \( m(\hat{K}) = 55^\circ \) iken, PQR üçgeninde \( m(\hat{P}) = 55^\circ \) dir. Bu açılar eşittir.
- 👉 KLM üçgeninde bu iki açı arasında kalan kenar |KL| = 15 cm iken, PQR üçgeninde bu iki açı arasında kalan kenar |PQ| = 15 cm'dir. Bu kenarlar eşittir.
- 👉 KLM üçgeninde \( m(\hat{L}) = 70^\circ \) iken, PQR üçgeninde \( m(\hat{Q}) = 70^\circ \) dir. Bu açılar eşittir.
- 💡 Gördüğümüz gibi, iki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasında kalan kenarları karşılıklı olarak eştir.
- Sonuç olarak, A.K.A. Eşlik Kuralı gereğince, KLM üçgeni ile PQR üçgeni eştir. Bu durumu \( \triangle KLM \cong \triangle PQR \) şeklinde ifade ederiz.
Örnek 4:
📌 Soru 4:
Bir ABCD dörtgeninde, AC köşegeni çizilmiştir. Eğer |AB| = |AD| ve |BC| = |CD| ise, AC köşegeninin aynı zamanda bir açıortay olduğunu gösteriniz. Yani \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAC}) \) olduğunu ispatlayınız.
Bir ABCD dörtgeninde, AC köşegeni çizilmiştir. Eğer |AB| = |AD| ve |BC| = |CD| ise, AC köşegeninin aynı zamanda bir açıortay olduğunu gösteriniz. Yani \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAC}) \) olduğunu ispatlayınız.
Çözüm:
Bu soruda eşlik kavramını kullanarak açıortay özelliğini ispatlayacağız. İşte çözüm adımları:
- ✅ Öncelikle, verilen ABCD dörtgenini ve AC köşegenini düşünelim. Bu köşegen, dörtgeni iki üçgene ayırır: \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \).
- 👉 Birinci Kenar (AB ve AD): Soruda |AB| = |AD| olduğu verilmiştir. Bu, iki üçgenin birer kenarının eş olduğu anlamına gelir.
- 👉 İkinci Kenar (BC ve CD): Soruda |BC| = |CD| olduğu verilmiştir. Bu da iki üçgenin diğer birer kenarının eş olduğu anlamına gelir.
- 👉 Üçüncü Kenar (AC): AC kenarı, hem \( \triangle ABC \) hem de \( \triangle ADC \) için ortak kenardır. Dolayısıyla |AC| = |AC| dir.
- 💡 Gördüğümüz gibi, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \) üçgenlerinin tüm karşılıklı kenarları birbirine eştir. Bu durumda Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı'na göre bu iki üçgen eştir: \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \).
- Eş üçgenlerde karşılıklı açılar da eş olacağından, AC kenarının karşısındaki açılar olan \( m(\widehat{ABC}) \) ve \( m(\widehat{ADC}) \) eşittir. Aynı şekilde, AB kenarının karşısındaki açı \( m(\widehat{BCA}) \) ile AD kenarının karşısındaki açı \( m(\widehat{DCA}) \) eşittir.
- Bizden istenen \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAC}) \) özelliğidir. Bu açılar, eş üçgenlerde karşılıklı olarak BC ve CD kenarlarının karşısında yer alan açılardır. Eş üçgenlerde karşılıklı açılar eşit olduğu için, \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAC}) \) dir.
- Sonuç olarak, AC köşegeni, A açısını iki eş parçaya böldüğü için bir açıortaydır. 🎉
Örnek 5:
📌 Soru 5:
Bir inşaat mühendisi, bir köprünün destek kirişlerini tasarlarken, estetik ve dayanıklılık açısından simetrik bir yapı oluşturmak istemektedir. Köprünün her iki tarafında da zemine dik olarak yerleştirilen bir ana direk ve bu direğe bağlı iki eş uzunlukta çelik halat bulunmaktadır. Halatlar ana direğin tepe noktasından zemine, direkten eşit uzaklıktaki iki noktaya bağlanmıştır.
Eğer ana direğin uzunluğu 15 metre ve bir halatın zemine bağlandığı nokta ile direğin zemindeki tabanı arasındaki mesafe 8 metre ise, diğer taraftaki halatın zemine bağlandığı nokta ile direğin zemindeki tabanı arasındaki mesafe kaç metredir? Bu durumu hangi matematiksel kavram açıklar?
Bir inşaat mühendisi, bir köprünün destek kirişlerini tasarlarken, estetik ve dayanıklılık açısından simetrik bir yapı oluşturmak istemektedir. Köprünün her iki tarafında da zemine dik olarak yerleştirilen bir ana direk ve bu direğe bağlı iki eş uzunlukta çelik halat bulunmaktadır. Halatlar ana direğin tepe noktasından zemine, direkten eşit uzaklıktaki iki noktaya bağlanmıştır.
Eğer ana direğin uzunluğu 15 metre ve bir halatın zemine bağlandığı nokta ile direğin zemindeki tabanı arasındaki mesafe 8 metre ise, diğer taraftaki halatın zemine bağlandığı nokta ile direğin zemindeki tabanı arasındaki mesafe kaç metredir? Bu durumu hangi matematiksel kavram açıklar?
Çözüm:
Bu "Yeni Nesil" soru, günlük hayattaki bir senaryo üzerinden eşlik kavramını anlamamızı sağlıyor. İşte çözüm adımları:
- ✅ Mühendisin amacı simetrik ve eş yapılar oluşturmaktır. Bu, matematiksel olarak eşlik kavramına karşılık gelir.
- 💡 Ana direk, zemine dik olarak yerleştirilmiştir. Bu, direk ile zemin arasında \( 90^\circ \) lik bir açı olduğu anlamına gelir.
- 👉 Halatlar, ana direğin tepe noktasından zemine, direkten eşit uzaklıktaki iki noktaya bağlanmıştır. Bu, direğin tabanı ile halatın zemine bağlandığı noktalar arasındaki mesafelerin eşit olduğunu belirtir.
- Bu durumda, ana direk, direğin zemindeki tabanı, halatın zemine bağlandığı nokta ve halatın kendisi bir dik üçgen oluşturur.
- Birinci taraf için oluşan üçgenin kenarları:
- Direğin uzunluğu = 15 metre (dik kenar)
- Direğin tabanı ile halatın zemine bağlandığı nokta arasındaki mesafe = 8 metre (diğer dik kenar)
- Bu iki kenar arasındaki açı = \( 90^\circ \) (direğin zemine dikliği)
- İkinci taraf için oluşan üçgen de aynı şekilde bir ana direk, halatın zemine bağlandığı nokta ve halatın kendisinden oluşur.
- Soruda, "halatlar ana direğin tepe noktasından zemine, direkten eşit uzaklıktaki iki noktaya bağlanmıştır" ifadesi, her iki taraftaki üçgenlerin ilgili kenar uzunluklarının ve açılarının aynı olduğunu gösterir.
- 👉 Dolayısıyla, her iki taraftaki üçgenler, Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı'na göre eştir. Çünkü direk (kenar), dik açı (açı) ve direk ile halatın bağlandığı nokta arasındaki mesafe (kenar) her iki üçgende de aynıdır.
- Eş üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları eşit olacağından, diğer taraftaki halatın zemine bağlandığı nokta ile direğin zemindeki tabanı arasındaki mesafe de 8 metre olmalıdır. ✅
Örnek 6:
📌 Soru 6:
Bir terzi, bir elbise için iki adet özdeş (eş) yaka parçası dikecektir. İlk yaka parçasını belirli bir kumaş deseni ve ölçüye göre (örneğin, belirli bir açı ve kenar uzunluklarına sahip üçgen şeklinde) kestikten sonra, ikinci yaka parçasını da aynı kalıbı kullanarak keser. Terzinin yaptığı ikinci yaka parçasının ilk yaka parçasıyla tamamen aynı boyut ve şekilde olduğunu hangi matematiksel kavram garanti eder? Bu kavramın günlük hayattaki başka kullanım alanlarına iki örnek veriniz.
Bir terzi, bir elbise için iki adet özdeş (eş) yaka parçası dikecektir. İlk yaka parçasını belirli bir kumaş deseni ve ölçüye göre (örneğin, belirli bir açı ve kenar uzunluklarına sahip üçgen şeklinde) kestikten sonra, ikinci yaka parçasını da aynı kalıbı kullanarak keser. Terzinin yaptığı ikinci yaka parçasının ilk yaka parçasıyla tamamen aynı boyut ve şekilde olduğunu hangi matematiksel kavram garanti eder? Bu kavramın günlük hayattaki başka kullanım alanlarına iki örnek veriniz.
Çözüm:
Bu senaryo, eşlik kavramının günlük hayattaki en temel ve anlaşılır uygulamalarından biridir.
- ✅ Terzinin ikinci yaka parçasının ilk yaka parçasıyla tamamen aynı boyut ve şekilde olduğunu garanti eden matematiksel kavram Eşlik (Kongrüans)'tır.
- 💡 Eşlik, geometrik şekillerin (bu durumda üçgen veya başka bir poligon şeklindeki yaka parçalarının) birbirinin tıpatıp aynısı olması durumunu ifade eder. Yani, bir şekli döndürerek, kaydırarak veya ters çevirerek diğerinin üzerine tam olarak çakıştırabiliyorsak, bu şekiller eştir.
- Terzi, ilk yaka parçasını bir "kalıp" olarak kullanarak ikinci parçayı kestiğinde, aslında kalıbın tüm kenar uzunluklarını ve açılarını ikinci parçaya aktarmış olur. Bu da, iki parçanın tüm karşılıklı kenar ve açılarının eşit olmasını sağlar, yani eş olmalarını garanti eder.
- Günlük hayattan başka örnekler:
- 👉 Seri Üretim: Fabrikalarda üretilen tüm araba parçaları, telefon ekranları veya mobilya parçaları gibi ürünler, belirli bir standarda göre eş olarak üretilir. Böylece herhangi bir parça, diğeriyle değiştirilebilir.
- 👉 Mimari Tasarım: Bir binanın birden fazla katındaki pencerelerin, kapıların veya balkonların genellikle eş boyutlarda ve şekillerde olması, hem estetik bir bütünlük sağlar hem de üretim ve montaj kolaylığı getirir.
Örnek 7:
📌 Soru 7:
Yandaki şekilde (metinsel olarak betimlenmiştir), AB doğru parçası CD doğru parçasına paraleldir (AB // CD). AD ve BC doğru parçaları E noktasında kesişmektedir. Eğer E noktası AD ve BC doğru parçalarını ortalıyorsa (yani |AE| = |ED| ve |BE| = |EC|), \( \triangle ABE \) ile \( \triangle DCE \) üçgenlerinin eşliğini gösteriniz.
Yandaki şekilde (metinsel olarak betimlenmiştir), AB doğru parçası CD doğru parçasına paraleldir (AB // CD). AD ve BC doğru parçaları E noktasında kesişmektedir. Eğer E noktası AD ve BC doğru parçalarını ortalıyorsa (yani |AE| = |ED| ve |BE| = |EC|), \( \triangle ABE \) ile \( \triangle DCE \) üçgenlerinin eşliğini gösteriniz.
Çözüm:
Bu soruda verilen bilgilere göre üçgenlerin eşliğini ispatlayacağız. İşte çözüm adımları:
- ✅ Öncelikle, verilen bilgileri gözden geçirelim:
- \( \text{AB // CD} \) (AB doğru parçası CD doğru parçasına paraleldir)
- \( |\text{AE}| = |\text{ED}| \) (E noktası AD'yi ortalar)
- \( |\text{BE}| = |\text{EC}| \) (E noktası BC'yi ortalar)
- 👉 Birinci Kenar (AE ve ED): Soruda |AE| = |ED| olduğu verilmiştir. Bu, \( \triangle ABE \) ve \( \triangle DCE \) üçgenlerinin birer kenarının eş olduğunu gösterir.
- 👉 İkinci Kenar (BE ve EC): Soruda |BE| = |EC| olduğu verilmiştir. Bu da aynı şekilde iki üçgenin diğer birer kenarının eş olduğunu gösterir.
- 👉 Açı (Karşılıklı Açılar): AD ve BC doğru parçaları E noktasında kesiştiği için, \( \widehat{AEB} \) ve \( \widehat{DEC} \) açıları ters açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani, \( m(\widehat{AEB}) = m(\widehat{DEC}) \) dir.
- 💡 Gördüğümüz gibi, \( \triangle ABE \) ve \( \triangle DCE \) üçgenlerinin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları karşılıklı olarak eştir. Bu durumda Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı'na göre bu iki üçgen eştir.
- Sonuç olarak, \( \triangle ABE \cong \triangle DCE \) dir. 🎉
Örnek 8:
📌 Soru 8:
Bir park tasarımcısı, parkın girişine iki adet özdeş (eş) çiçeklik yapacaktır. Çiçekliklerden biri için taslak çiziminde, taban kenarı 1.5 metre, bu taban kenarına komşu açılarından biri \( 70^\circ \) ve diğer açısı \( 40^\circ \) olarak belirlenmiştir. Tasarımcı, ikinci çiçekliği de aynı taslak çizime göre yaparsa, ikinci çiçekliğin taban kenarı ve bu taban kenarına komşu açıları ne olmalıdır? Bu durumda hangi eşlik kuralını kullanmış oluruz?
Bir park tasarımcısı, parkın girişine iki adet özdeş (eş) çiçeklik yapacaktır. Çiçekliklerden biri için taslak çiziminde, taban kenarı 1.5 metre, bu taban kenarına komşu açılarından biri \( 70^\circ \) ve diğer açısı \( 40^\circ \) olarak belirlenmiştir. Tasarımcı, ikinci çiçekliği de aynı taslak çizime göre yaparsa, ikinci çiçekliğin taban kenarı ve bu taban kenarına komşu açıları ne olmalıdır? Bu durumda hangi eşlik kuralını kullanmış oluruz?
Çözüm:
Bu problem, üçgenlerdeki eşlik kurallarını kullanarak bir tasarım senaryosunu çözmemizi istiyor.
- ✅ Öncelikle, ilk çiçekliğin taban kenarı ve komşu açılarını belirleyelim:
- Taban Kenarı = 1.5 metre
- Tabana komşu açılardan biri = \( 70^\circ \)
- Diğer açısı = \( 40^\circ \) (Bu açı muhtemelen tabana komşu olmayan diğer açıdır, ancak üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için üçüncü açıyı bulabiliriz.)
- 💡 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, ilk çiçeklik üçgeninin üçüncü açısını bulalım: \( 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \). Demek ki, ilk çiçeklik aslında bir ikizkenar üçgenin taban kenarı 1.5 metre ve taban açıları \( 70^\circ \) olan bir üçgendir.
- 👉 Ancak soruda "bu taban kenarına komşu açılarından biri \( 70^\circ \) ve diğer açısı \( 40^\circ \)" denmiş. Bu durumda, taban kenarı 1.5 metre olan ve bu kenara komşu açılar \( 70^\circ \) ve \( 40^\circ \) olan bir üçgen hayal etmeliyiz. (Burada \( 40^\circ \) olan açının da tabana komşu olduğu varsayılıyor. Eğer öyle olmasaydı, üçüncü açıyı bulmamız gerekirdi ve soru A.K.A. yerine A.A.K. durumuna geçerdi.)
- Eğer taban kenarı 1.5 metre ve buna komşu açılar \( 70^\circ \) ve \( 40^\circ \) ise, bu bir Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) durumudur.
- İkinci çiçekliğin de özdeş (eş) olması istendiği için, ikinci çiçekliğin de birinci ile aynı ölçülere sahip olması gerekir.
- Sonuç olarak:
- İkinci çiçekliğin taban kenarı da 1.5 metre olmalıdır.
- Bu taban kenarına komşu açılar da \( 70^\circ \) ve \( 40^\circ \) olmalıdır.
- Bu durumda kullanılan eşlik kuralı Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı'dır. 🎉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik/sorular