💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlikler Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olabilmesi için aşağıdaki şartlardan en az biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarları ve bu kenar-açılarının eş olması.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarlarının eş olması.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının eş olması.

Bu şartlar sağlandığında, üçgenlerin diğer açıları ve kenarları da karşılıklı olarak eş olur. ✅

Verilen bilgilere göre:

• \( AB = DE \) (İki kenar eş)
• \( \angle B = \angle E \) (Bu kenarlar arasındaki açı eş)
• \( BC = EF \) (İki kenar eş)

Bu durum Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği'ni göstermektedir. Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş üçgenlerdir. \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. 👉

Paralel doğrular ve kesenler konusunda öğrendiğimiz gibi, bu durum benzer üçgenlerin oluşumuna zemin hazırlayabilir. Eğer bu kesenler bir üçgenin kenarlarını keserse, oluşan açılar sayesinde benzerlik kurabiliriz.

• Yöndeş Açılar: Aynı yöne bakan açılar eşittir.
• İç Ters Açılar: Karşılıklı iç tarafta yer alan ve zikzak oluşturan açılar eşittir.
• Dış Ters Açılar: Karşılıklı dış tarafta yer alan açılar eşittir.
• Karşı Durumlu Açılar: Biri içte, biri dışta yer alan ve aynı yöne bakmayan açılar bütünlerdir (toplamları \( 180^\circ \)'dir).

Bu açılar, özellikle üçgenlerin iç açılarını belirlemede benzerlik kurmak için kullanılır. 💡

Üçgenlerin kenar uzunluklarını karşılaştıralım:

• \( \frac{DE}{AB} = \frac{12}{6} = 2 \)
• \( \frac{EF}{BC} = \frac{16}{8} = 2 \)
• \( \frac{DF}{AC} = \frac{20}{10} = 2 \)

Tüm karşılıklı kenar uzunluklarının oranı sabit ve \( 2 \) çıktığı için, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı \( k = 2 \)'dir. \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. ✅

Bu bir benzerlik problemidir. Fotoğraf üzerindeki boyutlar ile gerçek boyutlar arasında sabit bir oran vardır.

• Benzerlik oranı \( k = \frac{\text{Fotoğraf boyutu}}{\text{Gerçek boyut}} = \frac{1}{10} \) olarak verilmiştir.
• Modelin yüzünün gerçek uzunluğu \( 30 \) cm'dir.
• Fotoğraf üzerindeki yüzün uzunluğunu \( x \) olarak adlandıralım.

Benzerlik oranını kullanarak denklemi kurabiliriz: \[ \frac{x}{30} = \frac{1}{10} \] Denklemde \( x \)'i bulmak için her iki tarafı \( 30 \) ile çarparız: \[ x = \frac{1}{10} \times 30 \] \[ x = 3 \] Dolayısıyla, fotoğraf üzerindeki yüzün uzunluğu \( 3 \) cm olmalıdır. 💡

Bu soruda harita ölçeği kullanılarak gerçek mesafe hesaplanacaktır. Ölçek, harita üzerindeki birim uzunluğun gerçekteki karşılığını gösterir.

• Harita ölçeği 1:200.000 demektir. Bu, haritada 1 cm'nin gerçekte 200.000 cm'ye karşılık geldiği anlamına gelir.
• Harita üzerindeki mesafe \( 5 \) cm'dir.

Gerçek mesafeyi bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçekteki ikinci sayıyla çarparız: Gerçek Mesafe (cm) = Harita Mesafesi (cm) \( \times \) Ölçekteki Sayı Gerçek Mesafe (cm) = \( 5 \times 200.000 \) Gerçek Mesafe (cm) = \( 1.000.000 \) cm Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirelim. \( 1 \) km = \( 100.000 \) cm'dir. Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{1.000.000}{100.000} \) Gerçek Mesafe (km) = \( 10 \) km İki şehir arasındaki gerçek mesafe \( 10 \) kilometredir. ✅

İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açı çiftlerinin eş olması gerekmektedir. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, ilk olarak verilmeyen açıları hesaplayalım.

• ABC Üçgeni:
\( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \) \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) \) \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \) \( \angle C = 60^\circ \) Yani, ABC üçgeninin açıları \( 50^\circ, 70^\circ, 60^\circ \)'dir.
• DEF Üçgeni:
\( \angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) \) \( \angle F = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) \) \( \angle F = 180^\circ - 110^\circ \) \( \angle F = 70^\circ \) Yani, DEF üçgeninin açıları \( 60^\circ, 50^\circ, 70^\circ \)'dir.

Şimdi açıları karşılaştıralım:

• \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle E = 50^\circ \) (Eş)
• \( \angle B = 70^\circ \) ve \( \angle F = 70^\circ \) (Eş)
• \( \angle C = 60^\circ \) ve \( \angle D = 60^\circ \) (Eş)

Tüm karşılıklı açı çiftleri eş olduğundan, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Bu durum Açı-Açı (AA) Benzerliği'nin bir sonucudur. \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. 💡

Bu bir benzerlik problemidir. Gerçek dekor ile maket arasında sabit bir oran olmalıdır.

• Gerçek dekorun yüksekliği = \( 4 \) metre = \( 400 \) cm
• Gerçek dekorun genişliği = \( 6 \) metre = \( 600 \) cm
• Maketin yüksekliği = \( 20 \) cm
• Maketin genişliği = \( x \) cm (bulmamız gereken değer)

Benzerlik oranı, yükseklikler oranı ile genişlikler oranına eşit olmalıdır: \[ \frac{\text{Maket Yüksekliği}}{\text{Gerçek Yükseklik}} = \frac{\text{Maket Genişliği}}{\text{Gerçek Genişlik}} \] \[ \frac{20 \text{ cm}}{400 \text{ cm}} = \frac{x \text{ cm}}{600 \text{ cm}} \] Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{1}{20} = \frac{x}{600} \] Şimdi \( x \)'i bulmak için denklemi çözelim. Her iki tarafı \( 600 \) ile çarpalım: \[ x = \frac{1}{20} \times 600 \] \[ x = 30 \] Maketin genişliği \( 30 \) cm olmalıdır. ✅