💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlikle Ilgili Çıkarım Ve Teoremleri Içeren Problemleri Çözebilme Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı ve bu kenetlerin arasındaki açılar eşitse, bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eşitse, bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da eşitse, bu üçgenler eştir.

Örnek: Bir ABC üçgeninde \( |AB| = |DE| \), \( |AC| = |DF| \) ve \( \angle BAC = \angle EDF \) ise, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK eşliği ile eştir. Bu durumda \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) yazılır. 💡

Problem: Şekilde d1 // d2'dir. \( |AC| = |BD| \) ve C, A, B noktaları doğrusaldır.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

1. \( \triangle ABC \cong \triangle ABD \)
2. \( \triangle ABC \cong \triangle BAD \)
3. \( \triangle ABC \cong \triangle BCD \)
4. \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \)

Çözüm:

• d1 // d2 olduğundan, Z kuralından \( \angle ACB = \angle CDB \) ve ters açıdan \( \angle CAD = \angle CBD \) olur.
• Ayrıca \( |AC| = |BD| \) verilmiş.
• Bu durumda, AKA eşliği gereğince \( \triangle ABC \cong \triangle BAD \) olur.

Doğru cevap B seçeneğidir. 👉

Çözüm: Eğer bir üçgende iki kenar eşitse (ikizkenar üçgen), bu kenarların arasındaki açıya tepe açısı denir. Eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir.
ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) olduğundan, bu bir ikizkenar üçgendir.
A köşesinden çizilen ve BC kenarını kesen doğru parçası eğer aynı zamanda kenarortay ise (yani D noktası BC'nin orta noktası ise), bu doğru parçası aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır.
Eğer bu doğru parçası açıortay ise, A açısını iki eşit parçaya böler ve bu durumda da aynı zamanda yükseklik ve kenarortay olur.
Eğer bu doğru parçası yükseklik ise, BC kenarına dik iner ve bu durumda da aynı zamanda açıortay ve kenarortay olur.
Özetle, ikizkenar bir üçgende tepe açısından indirilen açıortay, kenarortay ve yükseklik aynı doğru parçasıdır. 📌

Çözüm:

• Verilenlere göre \( |AB| = |CD| \) ve \( |AD| = |BC| \) ise, bu bir paralelkenardır. Çünkü karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
• Paralelkenarın özelliklerinden biri de karşılıklı kenarlarının birbirine paralel olmasıdır. Yani \( AB \parallel CD \) ve \( AD \parallel BC \)'dir.
• Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. Yani köşegenlerin kesim noktası, her iki köşegenin de orta noktasıdır.
• Ancak, bu bilgilerle köşegenlerin uzunlukları hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz. Sadece kenar uzunlukları eşit olan bir paralelkenarda (yani eşkenar dörtgen) köşegenler dik kesişir. Bu soruda eşkenar dörtgen olup olmadığı belirtilmemiştir.

Dolayısıyla, ABCD dörtgeni bir paralelkenardır ve köşegenleri birbirini ortalar. ✅

Çözüm:

• Birinci Grup (Aynı Açılar, Farklı Boyutlar): Bu grup, benzer üçgenler kavramını temsil etmektedir. Benzer üçgenlerde karşılıklı açıların ölçüleri eşit olurken, kenar uzunlukları orantılıdır. Kartlardaki üçgenler aynı açılara sahip olduğu için benzerdir. Boyutlarının farklı olması, bu benzerlik ilişkisini gösterir. 💡
• İkinci Grup (Aynı Kenar Uzunlukları, Farklı Şekiller): Bu grup, eğitsel bir yanılgı veya farklı bir konuya işaret etmektedir. Eğer üçgenlerin kenar uzunlukları aynıysa ve şekilleri farklıysa, bu durum geometrik olarak mümkün değildir. Aynı kenar uzunluklarına sahip üçgenler, KKK eşliği gereğince eş olmak zorundadır. Bu durum, ikinci grubun hazırladığı kartların bir çelişki içerdiğini veya eşlik kavramını farklı bir şekilde ele almaya çalıştığını gösterir. Belki amaçları, aynı kenar uzunluklarına sahipken farklı açılar olamayacağını vurgulamaktır. 📌

Bu etkinlik, öğrencilere benzerlik için açıların, eşlik için ise hem açıların hem de kenarların tam olarak eşleşmesi gerektiğini anlamada yardımcı olabilir. 👉

Çözüm: Mimarlık ve mühendislikte eşlik ve benzerlik kavramları, projelerin planlanması, ölçeklendirilmesi ve güvenliğinin sağlanması açısından temel taşlardır.

Örnek: Maket Yapımı Bir mühendislik fakültesi öğrencisi, bir köprü projesinin maketini yapacaktır. Mühendis, gerçek köprünün boyutlarını alıp, bu boyutları belirli bir oranda küçülterek maketin boyutlarını belirler. Örneğin, gerçek köprünün uzunluğu 100 metre ise ve maketin uzunluğu 1 metre olacaksa, ölçek 1:100 olur.

• Bu durumda, maketteki köprü ile gerçek köprü benzerdir. Çünkü tüm boyutları aynı oranda küçültülmüştür, yani kenar uzunlukları orantılıdır ve açılar aynı kalmıştır.
• Mühendis, makette kullandığı her bir parçanın (örneğin kirişlerin, kolonların) gerçek projedeki karşılıklarının boyutlarıyla orantılı olmasını sağlamak için benzerlik oranını kullanır.
• Eğer mühendis, makette bir parçanın aynısını, ancak farklı bir boyutta tekrar kullanmak isterse (örneğin, aynı tipte iki farklı boyutta destek ayağı), burada eşlik kavramı devreye girebilir (eğer boyutları tam olarak aynıysa) veya yine benzerlik oranıyla farklı boyutlar elde edilebilir.

Bu ölçeklendirme ve orantısal küçültme/büyütme, projelerin anlaşılması, sunulması ve test edilmesi için hayati önem taşır. ✅

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir. Bu en sık kullanılan benzerlik şartıdır.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenetlerin arasındaki açılar eşitse, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.

💡

Çözüm:

• ABC üçgeninin açıları: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \).
• DEF üçgeninin açıları: \( \angle D = 50^\circ \), \( \angle E = 70^\circ \), \( \angle F = 60^\circ \).
• Görüldüğü gibi, her iki üçgenin de karşılıklı açıları eşittir: \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle E \), \( \angle C = \angle F \).
• Bu durum, Açı-Açı (AA) benzerliği şartını sağlar. (Aslında üç açı da eşit olduğu için KKK ve AKA benzerliği de sağlanır.)
• Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir.

Yazılışı: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \). 📌

Çözüm:

• Fotoğrafçı, orijinal fotoğrafı poster boyutlarına getirirken benzerlik kavramını kullanır.
• Orijinal fotoğrafın en boy oranı \( \frac{10 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} = \frac{2}{3} \)'tür.
• Posterin boyutları 40 cm'ye 60 cm'dir. Posterin en boy oranı ise \( \frac{40 \text{ cm}}{60 \text{ cm}} = \frac{2}{3} \)'tür.
• Her iki oranın da eşit olması, orijinal fotoğraf ile posterin benzer olduğunu gösterir.
• Bu, fotoğrafın orantılarının bozulmadan büyütüldüğü anlamına gelir. Yani, fotoğrafın üzerindeki nesnelerin şekilleri ve açıları değişmez, sadece boyutları belirli bir oranda artar. Büyütme oranı \( \frac{40 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 4 \) veya \( \frac{60 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} = 4 \)'tür.
• Eşlik kavramı burada doğrudan kullanılmaz, çünkü orijinal fotoğraf ile poster aynı boyutta değildir. Eşlik, iki şeklin hem açıları hem de kenar uzunluklarının birebir aynı olmasını gerektirir.

Fotoğrafçının başarısı, benzerlik oranını doğru kullanarak görsel bütünlüğü korumasına bağlıdır. 👉