💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlikle ilgili çıkarım ve teoremleri içeren problemler çözebilme Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki koşullardan herhangi biri yeterlidir:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarları ve bu kenar-açılarının eş olması durumunda üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarlarının eş olması durumunda üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üç kenarının da eş olması durumunda üçgenler eştir.

Bu koşullar sağlandığında, üçgenlerin diğer kenarları ve açıları da eş olur. 💡

Bu soruda Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği'ni kullanabiliriz.

• ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( AB = 5 \), \( BC = 7 \), \( AC = 8 \).
• DEF üçgeninin kenar uzunlukları: \( DE = 5 \), \( EF = 7 \), \( DF = 8 \).

Karşılıklı kenar uzunluklarına baktığımızda:

• \( AB = DE \) (5 cm)
• \( BC = EF \) (7 cm)
• \( AC = DF \) (8 cm)

Her üç kenar da karşılıklı olarak eşittir. Bu nedenle, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KKK eşliği ile eştir. ( \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ) ✅

Paralel iki doğruyu bir kesen kestiğinde oluşan açılar arasında önemli ilişkiler vardır.
👉 İki paralel doğru ve bir kesen olduğunda, kesenin farklı taraflarında kalan ve paralel doğrular arasında kalan açılara iç ters açılar denir.

Teorem: Paralel iki doğruyu bir kesen kestiğinde oluşan iç ters açılar her zaman eşittir.

Örneğin, eğer kesen doğru \( d_1 \) ve \( d_2 \) paralel doğrularını kesiyorsa ve bu kesişimden kaynaklanan iç ters açılar \( \alpha \) ve \( \beta \) ise, o zaman \( \alpha = \beta \) olur. 💡 Bu özellik, üçgenlerde eşlik ve benzerlik gibi birçok geometrik ispatın temelini oluşturur.

İki bankın uzunluklarını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanabiliriz. Formül: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Birinci Bank (AB):

• \( x_1 = 1, y_1 = 2 \)
• \( x_2 = 4, y_2 = 6 \)
• Uzunluk \( AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.

İkinci Bank (CD):

• \( x_1 = 5, y_1 = 1 \)
• \( x_2 = 8, y_2 = 5 \)
• Uzunluk \( CD = \sqrt{(8 - 5)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.

Her iki bankın da uzunluğu 5 birimdir. Bu nedenle, iki bankın uzunlukları eşittir. ✅

Bu soruda paralelkenarın eşlik ve benzerlik özelliklerini kullanacağız.

Adım 1: Verilenler paralelkenar olduğunu gösterir. \( AB \parallel DC \) ve \( AD \parallel BC \) olduğundan ABCD bir paralelkenardır.

Adım 2: Köşegenleri çizelim: AC ve BD. Bu köşegenler birbirini E noktasında kessin.

Adım 3: Eş üçgenler arayalım. \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenlerini ele alalım:

• \( AB \parallel DC \) olduğundan, iç ters açılar eşittir. Bu nedenle \( \angle BAE = \angle DCE \) ve \( \angle ABE = \angle CDE \).
• Ayrıca, paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir: \( AB = DC \).

Adım 4: Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralına göre, \( \triangle ABE \cong \triangle CDE \) olur.

Adım 5: Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları da eşittir. Bu nedenle \( AE = CE \) ve \( BE = DE \).

Sonuç: \( AE = CE \) olması, AC köşegeninin E noktasında ortalandığı anlamına gelir. Benzer şekilde, \( BE = DE \) olması, BD köşegeninin E noktasında ortalandığı anlamına gelir. Dolayısıyla, paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. 💡

Bu durum, eşlik kavramının günlük hayattaki bir uygulamasıdır.

Açıklama:

• Terzi, aynı modelde iki gömlek dikeceği için, bu iki gömleğin ölçülerinin (kenarlarının ve açılarının) eş olması gerekmektedir.
• Eğer gömlekler eş ise, bir gömleğin ölçüleri diğer gömleğin ölçülerine birebir uyar.
• Bu nedenle, ikinci gömlek için de aynı miktarda kumaş, yani \( 1.5 \) metre kumaş kullanılacaktır.
• Ayrıca, ikinci gömleğin kol uzunluğu \( 60 \) cm ve yaka çevresi \( 40 \) cm olacaktır.

Kısacası, iki eş modeldeki giysinin tüm ölçüleri aynıdır. 👕

İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için Açı-Açı (AA) benzerlik kuralını kullanabiliriz.

Adım 1: Üçgenlerin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.

ABC Üçgeni:

• \( \angle A = 50^\circ \)
• \( \angle B = 60^\circ \)
• \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)

DEF Üçgeni:

• \( \angle D = 50^\circ \)
• \( \angle E = 70^\circ \)
• \( \angle F = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Adım 2: Karşılıklı açıları karşılaştıralım.

• \( \angle A = \angle D = 50^\circ \)
• \( \angle B = \angle F = 60^\circ \)
• \( \angle C = \angle E = 70^\circ \)

Her iki üçgenin de karşılıklı üç açısı da eşittir. Bu nedenle, ABC üçgeni ile DEF üçgeni AA benzerlik kuralına göre benzerdir. ( \( \triangle ABC \sim \triangle DFE \) ) 📌 Not: Benzerlik yazılırken köşelerin sırası önemlidir.

Bu problemde benzerlik oranı kavramını kullanacağız. Maket ile gerçek bina, benzer şekiller olarak kabul edilir.

Adım 1: Benzerlik oranını belirleyelim. Kısa kenarlar arasındaki oran, benzerlik oranını verir.

• Maketin kısa kenarı: \( 12 \) cm
• Gerçek binanın kısa kenarı: \( 36 \) metre = \( 3600 \) cm (Birimleri eşitleyelim)
• Benzerlik Oranı (Gerçek Bina / Maket) = \( \frac{3600 \text{ cm}}{12 \text{ cm}} = 300 \)

Bu oran, gerçek boyutların maket boyutlarının 300 katı olduğu anlamına gelir. 📏

Adım 2: Gerçek binanın uzun kenarını hesaplayalım.

• Maketin uzun kenarı: \( 20 \) cm
• Gerçek binanın uzun kenarı = Maketin uzun kenarı \( \times \) Benzerlik Oranı
• Gerçek binanın uzun kenarı = \( 20 \text{ cm} \times 300 = 6000 \) cm

Adım 3: Sonucu metreye çevirelim.

• Gerçek binanın uzun kenarı = \( \frac{6000 \text{ cm}}{100 \text{ cm/m}} = 60 \) metre

Sonuç: Gerçek binanın uzun kenarı \( 60 \) metredir. ✅

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki koşullardan herhangi biri yeterlidir:

• Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısının eş olması durumunda üçgenler benzerdir. Üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olur.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarının oranının eşit olması ve bu kenarlar arasındaki açılarının eş olması durumunda üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenarının oranının eşit olması durumunda üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları sabittir ve bu orana benzerlik oranı denir. Karşılıklı açılar ise her zaman eşittir. 💡