9. Sınıf Eşlik Ve Benzerlikle İlgili Problemler Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir. 💡 Benzerlik oranı \( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{2}{3} \) olarak verilmiştir.
Eğer ABC üçgeninin çevresi 24 cm ise, DEF üçgeninin çevresi kaç cm'dir? 🤔

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Şekilde, ABCD yamuktur ve \( AB // DC \) dir.
Köşegenler E noktasında kesişmektedir.
\( AB = 10 \) cm, \( DC = 4 \) cm ve \( DE = 2 \) cm ise, \( EB \) uzunluğu kaç cm'dir? 📐
(Not: Şekli çizmek yerine, ABCD yamuğunu ve köşegenlerin kesişimini hayal ediniz.)

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir ABC üçgeninde, \( DE // BC \) olacak şekilde D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
\( AD = 3 \) cm, \( DB = 6 \) cm ve \( AE = 4 \) cm olduğuna göre, \( EC \) uzunluğu kaç cm'dir? 🤔

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

Bir dikdörtgenin kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 10 cm'dir.
Bu dikdörtgenin kenarları üzerinde bir benzeri olacak şekilde yeni bir dikdörtgen çiziliyor.
Eğer yeni dikdörtgenin alanı ilk dikdörtgenin alanının 4 katı ise, yeni dikdörtgenin kısa kenarı kaç cm'dir? 📏

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için yere dik duran 2 metrelik bir direk ve gölge boyu yöntemini kullanıyor. 📏
Güneşli bir günde, 2 metrelik direğin gölge boyu 1.5 metre olarak ölçülüyor.
Aynı anda, binanın gölge boyu 18 metre olarak ölçüldüğüne göre, binanın yüksekliği kaç metredir? 🏢

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. 🗺️
Haritanın ölçeği 1:2.000.000 (bir bölü iki milyon) olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir? 🛣️

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

Bir fotoğrafçı, bir ağacın fotoğrafını çekmek için makinesini ağacın 12 metre uzağına yerleştiriyor. 📸
Fotoğraf makinesinin merceğinden 3 metre uzaklıktaki film şeridi üzerinde ağacın görüntüsünün boyu 15 cm oluyor.
Buna göre, ağacın gerçek boyu kaç metredir? (Film şeridi ve ağaç yere dik konumdadır.) 🌲

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
\( DE // BC \) dir.
Ayrıca, \( AD = x \) cm, \( DB = x+2 \) cm, \( AE = 4 \) cm ve \( EC = 6 \) cm'dir.
Buna göre, \( x \) kaçtır? 🤔

9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlikle İlgili Problemler Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Çözüm:

Benzer üçgenlerde çevreler oranı, benzerlik oranına eşittir. Bu önemli bir kuraldır! 📌

Çözüm adımları:

👉 ABC üçgeninin çevresi \( \text{Çevre(ABC)} = 24 \) cm olarak verilmiştir.
👉 DEF üçgeninin çevresini bulmak istiyoruz, buna \( \text{Çevre(DEF)} \) diyelim.
👉 Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) olarak verilmiştir.
👉 Benzer üçgenlerde çevreler oranı, benzerlik oranına eşit olduğundan:
\[ \frac{\text{Çevre(ABC)}}{\text{Çevre(DEF)}} = k \]
👉 Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{24}{\text{Çevre(DEF)}} = \frac{2}{3} \]
👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( \text{Çevre(DEF)} \) değerini bulalım:
\( 2 \times \text{Çevre(DEF)} = 24 \times 3 \)
\( 2 \times \text{Çevre(DEF)} = 72 \)
\( \text{Çevre(DEF)} = \frac{72}{2} \)
\( \text{Çevre(DEF)} = 36 \) cm

✅ Yani, DEF üçgeninin çevresi 36 cm'dir.

Örnek 2:

Çözüm:

Bu tür yamuk sorularında köşegenlerin kesişim noktasında oluşan üçgenlerin benzerliğini kullanırız. 💡

Çözüm adımları:

👉 Yamukta \( AB // DC \) olduğu için,
\( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenleri arasında benzerlik vardır.
👉 Bu benzerliği kurmak için açıları inceleyelim:
- \( \angle BAE = \angle DCE \) (İç ters açılar)
- \( \angle ABE = \angle CDE \) (İç ters açılar)
- \( \angle AEB = \angle CED \) (Ters açılar)
Bu nedenle, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre \( \triangle ABE \sim \triangle CDE \) dir.
👉 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\[ \frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} \]
👉 Verilen değerleri yerine yazalım:
\( AB = 10 \) cm, \( DC = 4 \) cm, \( DE = 2 \) cm.
\( EB \) uzunluğunu arıyoruz.
\[ \frac{10}{4} = \frac{EB}{2} \]
👉 Oranı sadeleştirelim ve içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 10 \times 2 = 4 \times EB \)
\( 20 = 4 \times EB \)
\( EB = \frac{20}{4} \)
\( EB = 5 \) cm

✅ Yani, \( EB \) uzunluğu 5 cm'dir.

Örnek 3:

Çözüm:

Bu problemde Temel Benzerlik Teoremi'ni (Thales Teoremi) kullanacağız. 💡 Paralel doğrular bir üçgenin kenarlarını orantılı böler. 📌

Çözüm adımları:

👉 \( DE // BC \) olduğundan, Temel Benzerlik Teoremi'ne göre:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
👉 Verilen değerleri yerine yazalım:
\( AD = 3 \) cm, \( DB = 6 \) cm, \( AE = 4 \) cm.
\( EC \) uzunluğunu arıyoruz.
\[ \frac{3}{6} = \frac{4}{EC} \]
👉 Oranı sadeleştirelim:
\[ \frac{1}{2} = \frac{4}{EC} \]
👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( EC \) değerini bulalım:
\( 1 \times EC = 2 \times 4 \)
\( EC = 8 \) cm

✅ Yani, \( EC \) uzunluğu 8 cm'dir.

Örnek 4:

Çözüm:

Benzer şekillerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Bu bilgiyi kullanacağız. 💡

Çözüm adımları:

👉 İlk dikdörtgenin kenarları: kısa kenar \( k_1 = 6 \) cm, uzun kenar \( u_1 = 10 \) cm.
👉 İlk dikdörtgenin alanı: \( A_1 = k_1 \times u_1 = 6 \times 10 = 60 \) cm\(^2\).
👉 Yeni dikdörtgenin alanı \( A_2 \), ilk dikdörtgenin alanının 4 katıymış:
\( A_2 = 4 \times A_1 = 4 \times 60 = 240 \) cm\(^2\).
👉 Benzer iki dikdörtgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir:
\[ \frac{A_2}{A_1} = k^2 \] Burada \( k \) benzerlik oranıdır.
👉 Değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{240}{60} = k^2 \] \( 4 = k^2 \)
👉 Her iki tarafın karekökünü alarak benzerlik oranını bulalım:
\( k = sqrt{4} \)
\( k = 2 \) (Uzunluk oranı pozitif olmalıdır.)
👉 Yeni dikdörtgenin kısa kenarını \( k_2 \) ile gösterelim. Benzerlik oranını kullanarak bulabiliriz:
\[ \frac{k_2}{k_1} = k \] \[ \frac{k_2}{6} = 2 \]
👉 \( k_2 \) değerini bulalım:
\( k_2 = 2 \times 6 \)
\( k_2 = 12 \) cm

✅ Yani, yeni dikdörtgenin kısa kenarı 12 cm'dir.

Örnek 5:

Çözüm:

Bu bir gölge boyu problemi olup, benzer üçgenler prensibine dayanır. Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, direk ve binanın oluşturduğu üçgenler benzerdir. 💡

Çözüm adımları:

👉 Direğin oluşturduğu dik üçgenin dik kenarları: direğin yüksekliği \( h_d = 2 \) m ve gölge boyu \( g_d = 1.5 \) m.
👉 Binanın oluşturduğu dik üçgenin dik kenarları: binanın yüksekliği \( h_b \) (aranan) ve gölge boyu \( g_b = 18 \) m.
👉 Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, bu iki dik üçgen benzerdir (Açı-Açı benzerliği).
👉 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir:
\[ \frac{h_d}{g_d} = \frac{h_b}{g_b} \]
👉 Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{2}{1.5} = \frac{h_b}{18} \]
👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( h_b \) değerini bulalım:
\( 2 \times 18 = 1.5 \times h_b \)
\( 36 = 1.5 \times h_b \)
\( h_b = \frac{36}{1.5} \)
👉 İşlemi yapalım:
\( h_b = \frac{360}{15} \) (Pay ve paydayı 10 ile çarptık)
\( h_b = 24 \) metre

✅ Yani, binanın yüksekliği 24 metredir.

Örnek 6:

Çözüm:

Harita ölçeği, haritadaki uzunluğun gerçek uzunluğa oranını gösterir ve bu aslında bir benzerlik oranıdır. 💡

Çözüm adımları:

👉 Harita ölçeği \( k = \frac{1}{2.000.000} \) olarak verilmiştir. Bu, haritadaki 1 birim uzunluğun gerçekte 2.000.000 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
👉 Haritadaki uzaklık \( U_{harita} = 5 \) cm olarak verilmiştir.
👉 Gerçek uzaklığı \( U_{gerçek} \) olarak arıyoruz.
👉 Oranı kuralım:
\[ \frac{U_{harita}}{U_{gerçek}} = k \] \[ \frac{5 \text{ cm}}{U_{gerçek}} = \frac{1}{2.000.000} \]
👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( U_{gerçek} \) değerini bulalım:
\( 1 \times U_{gerçek} = 5 \times 2.000.000 \)
\( U_{gerçek} = 10.000.000 \) cm
👉 Soruda uzaklık kilometre cinsinden istendiği için birim dönüştürme yapalım:
- 1 metre = 100 cm
- 1 kilometre = 1000 metre
- Yani, 1 kilometre = \( 1000 \times 100 = 100.000 \) cm
👉 \( U_{gerçek} \) değerini kilometreye çevirelim:
\( U_{gerçek} = \frac{10.000.000}{100.000} \) km
\( U_{gerçek} = 100 \) km

✅ Yani, iki şehir arasındaki gerçek uzaklık 100 kilometredir.

Örnek 7:

Çözüm:

Bu problem, benzer üçgenler prensibi ile çözülebilir. Fotoğraf makinesinin merceği, ağaç ve film şeridi birer üçgen oluşturur. 💡

Çözüm adımları:

👉 Ağacın boyuna \( H_{ağaç} \), makineye olan uzaklığına \( D_{ağaç} = 12 \) m diyelim.
👉 Görüntünün boyuna \( H_{görüntü} = 15 \) cm, film şeridinin makineye olan uzaklığına \( D_{görüntü} = 3 \) m diyelim.
👉 Mercek noktasını köşe kabul eden iki benzer üçgen oluşur:
- Büyük üçgen: Ağacın boyu ve ağacın makineye uzaklığı ile oluşan üçgen.
- Küçük üçgen: Görüntünün boyu ve film şeridinin makineye uzaklığı ile oluşan üçgen.
Bu üçgenler, Açı-Açı (AA) benzerliğine göre benzerdir.
👉 Benzerlik oranını kuralım:
\[ \frac{H_{ağaç}}{D_{ağaç}} = \frac{H_{görüntü}}{D_{görüntü}} \]
👉 Birimleri eşitleyelim: \( H_{görüntü} = 15 \) cm \( = 0.15 \) m.
👉 Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{H_{ağaç}}{12} = \frac{0.15}{3} \]
👉 Oranı sadeleştirelim:
\[ \frac{H_{ağaç}}{12} = 0.05 \]
👉 \( H_{ağaç} \) değerini bulalım:
\( H_{ağaç} = 0.05 \times 12 \)
\( H_{ağaç} = 0.60 \) metre

✅ Yani, ağacın gerçek boyu 0.60 metre (veya 60 cm)'dir.

Örnek 8:

Çözüm:

Bu problemde yine Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi) kullanacağız. Paralel doğrular, üçgenin kenarlarını orantılı böler. 💡

Çözüm adımları:

👉 \( DE // BC \) olduğu için, Temel Benzerlik Teoremi'ne göre:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
👉 Verilen cebirsel ifadeleri ve sayıları yerine yazalım:
\( AD = x \) cm, \( DB = x+2 \) cm, \( AE = 4 \) cm, \( EC = 6 \) cm.
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{4}{6} \]
👉 Oranı sadeleştirelim:
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{2}{3} \]
👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\( 3 \times x = 2 \times (x+2) \)
\( 3x = 2x + 4 \)
👉 \( x \) terimlerini bir tarafa toplayalım:
\( 3x - 2x = 4 \)
\( x = 4 \)

✅ Yani, \( x \) değeri 4'tür.

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-ve-benzerlikle-i-lgili-problemler/sorular

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.

💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlikle İlgili Problemler Çözümlü Örnekler

9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlikle İlgili Problemler Çözümlü Örnekler

İçerik Hazırlanıyor...