💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik yeni nesil soru Çözümlü Örnekler

Bu soruda üçgenlerin eşliğini incelememiz gerekir:

• Her iki üçgende de ikişer kenar uzunluğu birbirine eşittir: \( |AB| = |DE| = 7 \) ve \( |AC| = |DF| = 10 \).
• Bu eşit kenarların arasında kalan açılar da birbirine eşittir: \( m(A) = m(D) = 40^\circ \).
• Bu durum, geometrideki Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına tam olarak uymaktadır.
• Dolayısıyla \( ABC \cong DEF \) (ABC üçgeni eştir DEF üçgenine) diyebiliriz.
• Eş üçgenlerde, eş açıların karşısındaki kenarlar da birbirine eşit olmak zorundadır.
• Bu durumda \( |BC| = |EF| \) olur.
• Verilen \( |BC| = 12 \) cm bilgisine dayanarak, \( |EF| = 12 \) cm sonucuna ulaşırız. ✅

Üçgenlerde paralellik varsa Temel Orantı Teoremi veya Açı-Açı (AA) Benzerliği kullanılır:

• \( DE // BC \) olduğu için yöndeş açılardan \( m(ADE) = m(ABC) \) ve \( m(AED) = m(ACB) \) olur.
• A açısı her iki üçgen (ADE ve ABC) için ortaktır.
• Bu durumda \( ADE \sim ABC \) (ADE üçgeni benzerdir ABC üçgenine) diyebiliriz.
• Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)
• \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 8 = 12 \) cm'dir.
• Değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{12} = \frac{|DE|}{15} \)
• Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{1}{3} = \frac{|DE|}{15} \)
• İçler dışlar çarpımı sonucunda: \( 3 \times |DE| = 15 \) ise \( |DE| = 5 \) cm bulunur. 💡

Güneş ışınlarının aynı açıyla geldiği durumlarda, nesneler ve gölgeleri arasında benzer dik üçgenler oluşur:

• Öğrencinin boyunun gölgesine oranı, ağacın boyunun gölgesine oranına eşittir.
• Öğrenci boyu \( = 1.6 \), Gölge boyu \( = 2 \).
• Ağaç boyu \( = x \), Gölge boyu \( = 10 \).
• Benzerlik denklemi: \( \frac{1.6}{2} = \frac{x}{10} \)
• Orantıyı çözelim: \( 2 \times x = 1.6 \times 10 \)
• \( 2x = 16 \)
• \( x = 8 \) metre.
• Okul bahçesindeki ağacın boyu 8 metre olarak hesaplanır. ✅

Fotoğrafın orantılı büyümesi, ilk halinin ve son halinin benzer olduğu anlamına gelir:

• İlk durumdaki kenarlar: \( 10 \) cm ve \( 15 \) cm.
• İkinci durumdaki kenarlar: \( 25 \) cm ve \( x \) cm.
• Benzerlik oranını kısa kenarlar üzerinden kuralım: \( k = \frac{25}{10} = 2.5 \)
• Bu oran uzun kenarlar için de geçerli olmalıdır: \( \frac{10}{25} = \frac{15}{x} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 10 \times x = 15 \times 25 \)
• \( 10x = 375 \)
• \( x = 37.5 \) cm.
• Fotoğrafın yeni uzun kenarı 37.5 cm olur. ✨

Bu soru, dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin oluşturduğu benzer üçgenlerle ilgilidir (Öklid bağıntısının temeli):

• ABD ve CAD üçgenlerini inceleyelim.
• \( m(BAD) + m(DAC) = 90^\circ \) ve \( m(ABD) + m(BAD) = 90^\circ \) olduğu için \( m(ABD) = m(DAC) \) olur.
• Aynı şekilde \( m(BAD) = m(ACD) \) olur.
• Bu durumda \( ABD \sim CAD \) (Açı-Açı benzerliği).
• Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{|AD|}{|DC|} \)
• Değerleri yerleştirelim: \( \frac{4}{x} = \frac{x}{9} \)
• İçler dışlar çarpımı: \( x^2 = 4 \times 9 \)
• \( x^2 = 36 \)
• \( x = 6 \) cm bulunur. ✅

Işığın yansıma kuralına göre (gelme açısı = yansıma açısı), yerdeki ayna ile çocuk ve duvar arasında iki benzer dik üçgen oluşur:

• Çocuğun oluşturduğu üçgenin dik kenarları: \( 1.5 \) m (boy) ve \( 2 \) m (uzaklık).
• Duvarın oluşturduğu üçgenin dik kenarları: \( h \) (yükseklik) ve \( 6 \) m (uzaklık).
• Açı-Açı benzerliğinden dolayı: \( \frac{1.5}{h} = \frac{2}{6} \)
• Orantıyı sadeleştirelim: \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
• Yeni denklem: \( \frac{1.5}{h} = \frac{1}{3} \)
• İçler dışlar çarpımı: \( h = 1.5 \times 3 \)
• \( h = 4.5 \) metre.
• Duvarın yüksekliği 4.5 metre olarak bulunur. 📍

Benzer üçgenler arasındaki temel özelliklerden biri çevreleri arasındaki ilişkidir:

• İki üçgen benzer ise, bu üçgenlerin çevrelerinin oranı, benzerlik oranına (k) eşittir.
• Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) olarak verilmiş.
• Küçük Çevre / Büyük Çevre \( = \frac{2}{3} \)
• \( \frac{24}{C} = \frac{2}{3} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times C = 24 \times 3 \)
• \( 2C = 72 \)
• \( C = 36 \) cm.
• Büyük üçgenin çevresi 36 cm olur. ✅

Benzer üçgenlerin alanları arasındaki ilişki çok önemlidir:

• Benzer iki üçgenin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine (\( k^2 \)) eşittir.
• Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{4} \) ise, alanlar oranı \( k^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16} \) olur.
• Küçük Alan / Büyük Alan \( = \frac{9}{16} \)
• \( \frac{A}{80} = \frac{9}{16} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 16 \times A = 9 \times 80 \)
• \( 16A = 720 \)
• \( A = \frac{720}{16} \)
• \( A = 45 \) birimkare.
• Küçük üçgenin alanı 45 birimkare olarak hesaplanır. 🎯