💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik testleri Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı ve bu kenarların arasındaki açısı eş ise, bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açıların arasındaki kenarı eş ise, bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da eş ise, bu üçgenler eştir.

Bu şartlar sağlandığında, üçgenlerin diğer açıları ve kenarları da karşılıklı olarak eşit olur. ✅

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eş ise, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların arasındaki açıları eş ise, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. 👉

Verilen kenar uzunluklarını inceleyelim:

• \( \frac{AB}{DE} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{BC}{EF} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{AC}{DF} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)

Tüm karşılıklı kenarların oranları \( \frac{1}{2} \) olduğu için, ABC üçgeni ile DEF üçgeni Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği ile benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'dir. 🌟

Karenin tüm kenar uzunlukları eşittir, yani \( AB = BC = CD = DA = 4 \) cm'dir. Eş bir şeklin karşılıklı tüm kenar ve açıları eşit olmalıdır. EFGH dikdörtgeni ABCD karesi ile eş olduğuna göre, EFGH dikdörtgeni de bir karedir. Dolayısıyla, EFGH dikdörtgeninin kenar uzunlukları da 4 cm olmalıdır. \( EF = FG = GH = HE = 4 \) cm. 💯

Haritanın ölçeği, harita üzerindeki uzaklığın gerçek uzaklığa oranıdır.
Ölçek = \( \frac{\text{Harita Uzaklığı}}{\text{Gerçek Uzaklık}} \)
Ölçek = \( \frac{3 \text{ cm}}{150 \text{ km}} \)
Bu oranı aynı birimlere çevirelim: 1 km = 100.000 cm
Ölçek = \( \frac{3 \text{ cm}}{150 \times 100.000 \text{ cm}} \) = \( \frac{3}{15.000.000} \) = \( \frac{1}{5.000.000} \)
Yani haritanın ölçeği \( \frac{1}{5.000.000} \)'dir.
Şimdi C şehrinin A şehrine gerçek uzaklığını bulalım:
Gerçek Uzaklık = Harita Uzaklığı \( \times \) Payda
Gerçek Uzaklık = \( 5 \text{ cm} \times 5.000.000 \)
Gerçek Uzaklık = \( 25.000.000 \) cm
Bu uzaklığı kilometreye çevirelim:
Gerçek Uzaklık = \( \frac{25.000.000}{100.000} \) km = 250 km.
C şehrinin A şehrine gerçek uzaklığı 250 km'dir. 🚀

Ölçek 1:100 demek, maketteki her 1 birimlik uzunluğun, gerçekte 100 birimlik uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
Örneğin:

• Eğer makette bir duvarın uzunluğu 5 cm ise, gerçekte bu duvarın uzunluğu \( 5 \text{ cm} \times 100 = 500 \) cm yani 5 metre olacaktır.
• Eğer makette bir kapının yüksekliği 20 cm ise, gerçekte bu kapının yüksekliği \( 20 \text{ cm} \times 100 = 2000 \) cm yani 20 metre olacaktır. (Bu örnekte kapı yüksekliği maket için biraz fazla verilmiş olabilir, ancak mantığı anlatmak için kullanılmıştır.)

Bu ölçek, mimarların ve mühendislerin büyük yapıları daha küçük boyutlarda tasarlamalarına ve görselleştirmelerine olanak tanır. 💡

Üçgenlerin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, her iki üçgenin de üçüncü açılarını bulabiliriz.
ABC üçgeni için:

• \( m(\hat{C}) = 180^\circ - (m(\hat{A}) + m(\hat{B})) \)
• \( m(\hat{C}) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) \)
• \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

ABC üçgeninin açıları: \( 50^\circ, 70^\circ, 60^\circ \).
DEF üçgeni için:

• \( m(\hat{F}) = 180^\circ - (m(\hat{D}) + m(\hat{E})) \)
• \( m(\hat{F}) = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) \)
• \( m(\hat{F}) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)

DEF üçgeninin açıları: \( 60^\circ, 70^\circ, 50^\circ \).
Her iki üçgenin de açıları \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \) olduğundan, bu iki üçgen Açı-Açı (AA) Benzerliği ile benzerdir. ✅

Bu durumda, nesnenin kendisiyle nesnenin sensördeki görüntüsü arasında benzerlik ilişkisi vardır.
Temel benzerlik prensibi, odak uzaklığı \( f \), nesne mesafesi \( d_o \) ve görüntü mesafesi \( d_i \) ile ilgilidir. Ancak burada doğrudan benzerlik oranı üzerinden ilerleyelim:
Benzerlik oranı \( \frac{H}{d_o} = \frac{h'}{d_i} \) şeklinde düşünülebilir.
Fotoğrafçılıkta kullanılan basit bir benzerlik ilişkisi şöyledir: \( \frac{H}{f} \approx \frac{h'}{d_i} \) veya daha yaygın olarak:
\( \frac{\text{Nesne Yüksekliği}}{\text{Nesne Mesafesi}} = \frac{\text{Görüntü Yüksekliği}}{\text{Görüntü Mesafesi}} \)
Eğer odak uzaklığı \( f \) sabitse ve nesne büyürse (yani \( H \) artarsa), sensöre düşen görüntünün yüksekliği \( h' \) de artar. Bu, nesnenin daha büyük görünmesine neden olur. Nesne büyüdüğünde (veya mesafesi azaldığında), sensördeki görüntüsü de büyür, bu da daha yakın bir çekim veya daha büyük bir nesne etkisi yaratır. 🖼️