💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik, tales, pisagor ve öklid teoremleri Çözümlü Örnekler

Bu bir dik üçgen sorusudur. Pisagor teoremini hatırlayalım: Dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani, \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( c \) hipotenüstür.

• Verilen kenar uzunluklarını kontrol edelim: 5, 12, 13.
• En uzun kenar hipotenüs olmalıdır. Burada en uzun kenar 13 cm'dir.
• Pisagor teoremini uygulayalım: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).
• Hipotenüsün karesini hesaplayalım: \( 13^2 = 169 \).
• Her iki sonuç da eşit olduğu için \( 5^2 + 12^2 = 13^2 \) sağlanır.
• Bu durum, kenarları 5 ve 12 olan dik kenarların karşısındaki açının dik açı (90 derece) olduğunu gösterir.

Dolayısıyla, dik açı C köşesindedir. ✅

İki üçgenin benzer olması, karşılıklı kenarlarının oranının sabit olması anlamına gelir. Bu orana benzerlik oranı denir.

• ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( AB = 6 \), \( BC = 8 \), \( AC = 10 \).
• DEF üçgeninin \( DE \) kenarı 3 cm olarak verilmiş.
• Benzerlik oranını bulalım. ABC üçgenindeki \( AB \) kenarı ile DEF üçgenindeki \( DE \) kenarını karşılaştıralım: Benzerlik Oranı (k) = \( \frac{DE}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
• Bu oran, DEF üçgeninin kenar uzunluklarının ABC üçgeninin kenar uzunluklarının yarısı olacağını gösterir.
• \( EF \) kenarını bulmak için ABC üçgenindeki \( BC \) kenarını kullanırız: \( EF = k \times BC = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \) cm.
• \( DF \) kenarını bulmak için ABC üçgenindeki \( AC \) kenarını kullanırız: \( DF = k \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \) cm.

Sonuç olarak, \( EF = 4 \) cm ve \( DF = 5 \) cm'dir. 📌

Bu problemi bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. Merdivenin uzunluğu hipotenüs, duvardan uzaklığı bir dik kenar ve merdivenin çıktığı yükseklik diğer dik kenardır.

• Merdiven uzunluğu (hipotenüs) = 5 m
• Duvardan uzaklık (bir dik kenar) = 3 m
• Merdivenin çıktığı yükseklik (diğer dik kenar) = \( h \) diyelim.
• Pisagor Teoremi: \( 3^2 + h^2 = 5^2 \)
• \( 9 + h^2 = 25 \)
• \( h^2 = 25 - 9 \)
• \( h^2 = 16 \)
• \( h = \sqrt{16} \)
• \( h = 4 \) metre

Merdivenin çıktığı yükseklik 4 metredir. ✅

Paralel doğrular ve kesenler konusunda temel açı kurallarını hatırlayalım:

• Ters Açılar: Kesişim noktasında zıt yönlü olan açılardır ve birbirine eşittir.
• Yöndeş Açılar: Paralel doğrulardan birinin üstünde (veya altında) ve kesenin aynı tarafında bulunan açılardır ve birbirine eşittir.
• İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında ve kesenin zıt taraflarında bulunan açılardır ve birbirine eşittir.
• Dış Ters Açılar: Paralel doğruların dışında ve kesenin zıt taraflarında bulunan açılardır ve birbirine eşittir.
• Karşı Durumlu Açılar: Paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafında bulunan açılardır ve toplamları \( 180^\circ \) olur.

Verilen açı \( 70^\circ \) olsun.

• Ters Açısı: Verilen \( 70^\circ \) açısının ters açısı da \( 70^\circ \) olur.
• Yöndeş Açısı: Verilen \( 70^\circ \) açısının yöndeş açısı da \( 70^\circ \) olur.
• İç Ters Açısı: Eğer \( 70^\circ \) açısı paralel doğruların dışındaysa, iç ters açısı \( 70^\circ \) olur. Eğer \( 70^\circ \) açısı paralel doğruların arasındaysa, bu durumda \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) olan açının iç tersi \( 110^\circ \) olur. Soru genelleştirildiği için, ilk \( 70^\circ \) açısının iç tersi de \( 70^\circ \) olur.

Özetle: Ters açısı \( 70^\circ \), yöndeş açısı \( 70^\circ \), iç ters açısı \( 70^\circ \) olur. 💡

Bu problemde Öklid'in yükseklik teoremini kullanabiliriz. Dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir. Ancak bu teoremi kullanmak için önce hipotenüs uzunluğunu ve yüksekliğin ayırdığı parçaları bulmamız gerekir. Daha kolay bir yol olarak, üçgenin alanını iki farklı yoldan hesaplayabiliriz.

• Dik kenarlar: \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm.
• Hipotenüs: \( c \). Pisagor teoreminden \( c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
• Buradan \( c = \sqrt{100} = 10 \) cm bulunur.
• Üçgenin alanı \( A = \frac{1}{2} \times \text{dik kenar}_1 \times \text{dik kenar}_2 \)
• \( A = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \) cm\( ^2 \).
• Üçgenin alanı aynı zamanda \( A = \frac{1}{2} \times \text{hipotenüs} \times \text{hipotenüse ait yükseklik} \) formülüyle de hesaplanabilir.
• Hipotenüse ait yüksekliği \( h_c \) ile gösterelim.
• \( 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times h_c \)
• \( 24 = 5 \times h_c \)
• \( h_c = \frac{24}{5} \)
• \( h_c = 4.8 \) cm

Hipotenüse ait yükseklik 4.8 cm'dir. ✅

Bu senaryo, bir dik üçgen problemini temsil eder. Binanın yüksekliği bir dik kenar, binanın tabanından merdiven uzaklığı diğer dik kenar ve merdivenin uzunluğu hipotenüstür.

• Bina yüksekliği (bir dik kenar) = 10 m
• Binanın tabanından merdiven uzaklığı (diğer dik kenar) = 6 m
• Merdiven uzunluğu (hipotenüs) = \( m \) diyelim.
• Pisagor Teoremi: \( 6^2 + 10^2 = m^2 \)
• \( 36 + 100 = m^2 \)
• \( m^2 = 136 \)
• \( m = \sqrt{136} \)
• \( m \approx 11.66 \) metre

Merdivenin yaklaşık 11.66 metre uzunlukta olması gerekmektedir. 💡

Eşlik, iki şeklin hem aynı boyutta hem de aynı şekilde olduğunu ifade eder. Eşlik yazılırken karşılıklı köşelerin sırası önemlidir.

• Verilen kenar uzunlukları: \( AB = DE \), \( BC = EF \), \( AC = DF \).
• Bu eşitliklere göre, A köşesi D köşesine, B köşesi E köşesine ve C köşesi F köşesine karşılık gelmektedir.
• Bu durumda, ABC üçgeni ile DEF üçgeni arasındaki eşlik sırası: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde yazılır.

Dolayısıyla eşlik, A ile D, B ile E, C ile F köşeleri arasında gerçekleşir. ✅

Bu soruda köşegenler arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Paralelkenarlar için köşegenler arasındaki ilişkiyi veren özel bir teorem vardır.

• Paralelkenarın kenarları: \( a = 8 \) m, \( b = 12 \) m.
• Köşegenlerden biri: \( d_1 = 10 \) m.
• Diğer köşegen: \( d_2 \) diyelim.
• Paralelkenarlarda köşegenler arasındaki ilişki şudur: İki kenarın karelerinin toplamının iki katı, köşegenlerin karelerinin toplamına eşittir. Formülü: \( 2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2 \).
• Bu formül, aslında Pisagor teoreminin bir genellemesi ve vektörlerin paralelkenar kuralından türetilir.
• Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( 2(8^2 + 12^2) = 10^2 + d_2^2 \)
• \( 2(64 + 144) = 100 + d_2^2 \)
• \( 2(208) = 100 + d_2^2 \)
• \( 416 = 100 + d_2^2 \)
• \( d_2^2 = 416 - 100 \)
• \( d_2^2 = 316 \)
• \( d_2 = \sqrt{316} \)
• \( d_2 \approx 17.78 \) metre

Diğer köşegenin uzunluğu yaklaşık 17.78 metredir. 📌