📄 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik, tales, pisagor ve öklid teoremleri Çalışma Kağıdı
📌 1. Doğru / Yanlış
1. Benzer iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
2. Pisagor teoremi sadece dik üçgenler için geçerlidir.
3. Eş üçgenlerin tüm açıları eşittir ve karşılıklı kenar uzunlukları da eşittir.
4. Tales teoremi, paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantıları inceler.
5. Öklid teoremi, dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunun karesinin, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşit olduğunu belirtir.
✏️ 2. Boşluk Doldurma
1. İki üçgenin karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler ___ üçgenlerdir.
2. Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı ___ kenarın karesine eşittir.
3. Paralel doğrular ile kesişen doğrular arasında oluşan doğru parçaları ___ teoremi ile incelenir.
4. Birbirinin aynı olan üçgenlere ___ üçgenler denir.
5. Dik üçgende yükseklik, hipotenüsü ___ parça ayırır.
🔗 3. Kavram Eşleştirme
« İki üçgenin ikişer açısı eş ise bu üçgenler benzerdir.
« İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise bu üçgenler benzerdir.
« İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
« Dik üçgende a² + b² = c² eşitliği geçerlidir.
« Dik üçgende h² = p \times k eşitliği geçerlidir.
✍️ 4. Kısa Cevaplı Sorular
1. Eşlik ve benzerlik arasındaki temel fark nedir?
💡 Örnek Çözüm: Eşlikte, karşılıklı tüm kenar uzunlukları ve tüm açıları eşittir. Benzerlikte ise sadece karşılıklı açılar eş, karşılıklı kenar uzunlukları ise orantılıdır.
2. Tales teoremini bir örnekle açıkla.
💡 Örnek Çözüm: Birbirine paralel d1, d2, d3 doğruları ve bu doğruları kesen a ve b doğruları verildiğinde, a doğrusu üzerindeki parçaların oranı, b doğrusu üzerindeki karşılık gelen parçaların oranına eşittir. Örneğin, |AB|/|BC| = |DE|/|EF| olur.
🎯 5. Çoktan Seçmeli Sorular
1. Aşağıdaki üçgenlerden hangisi, bir kenar uzunluğu 6 birim ve bu kenarın karşısındaki açı 30 derece olan bir üçgen ile benzerdir?
2. Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 5 cm ve 12 cm olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
3. Şekildeki AB // DE // FG doğruları veriliyor. |AC| = 4 cm, |CD| = 2 cm, |CE| = 3 cm olduğuna göre, |CF| kaç cm'dir?
📝 6. Açık Uçlu Klasik Sorular
1. Şekilde ABC üçgeni verilmiştir. |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm, |BD| = 4 cm ve D noktası AB üzerindedir. DE // BC olacak şekilde DE doğrusu çiziliyor. |DE| = 6 cm olduğuna göre, |AD| uzunluğunu bulunuz.
💡 Çözüm Adımları:
Soruda verilen bilgilere göre, DE // BC olduğundan, ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir (Açı-Açı benzerlik kuralı: A açısı ortak, \angle ADE = \angle ABC ve \angle AED = \angle ACB çünkü DE // BC).
Benzer üçgenlerin karşılıklı kenar oranları eşittir:
Bizim bulmamız gereken |AD| uzunluğudur. Verilenler:
|AB| = 10 cm
|AC| = 15 cm
|AD| = ? (D, AB üzerindedir, yani |DB| = |AB| - |AD| = 10 - |AD|)
|DE| = 6 cm
Benzerlik oranını kullanarak:
\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} (Bu oranı kullanmak için |BC|'yi bilmemiz gerekir, ama |AD| ve |AE| arasındaki ilişkiyi de kullanabiliriz.)
Diğer bir oran:
\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|}
Bu oranı kullanmak için |AE|'yi bilmemiz gerekir.
Ancak, soruda D noktası AB üzerindedir ve DE // BC olduğu için, ADE ve ABC üçgenleri benzerdir. Bu durumda:
\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} ifadesini kullanmak yerine, benzerlikten gelen şu oranı kullanabiliriz:
\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} (Bu oran bize |BC|'yi bulmaya yarar ama |AD|'yi doğrudan vermez.)
Burada verilen kenarlar |AB|, |AC| ve |DE|'dir. |AD|'yi bulmak için |AB| ve |DE|'yi kullanabileceğimiz bir oran olmalı. Soruda |BD| = 4 cm verilmiş. Bu şu anlama gelir:
|AD| = |AB| - |BD| = 10 - 4 = 6 cm.
Şimdi |DE| ve |BC| arasındaki ilişkiyi kontrol edelim:
\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
Bu durumda benzerlik oranı \frac{3}{5}'tir.
\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{3}{5}
\frac{6}{|BC|} = \frac{3}{5}
3 \times |BC| = 6 \times 5
3 \times |BC| = 30
|BC| = 10 cm.
Soruda bizden |AD| uzunluğu istenmişti. D noktası AB üzerinde ve |BD|=4 cm verildiğine göre, |AD| = |AB| - |BD| = 10 - 4 = 6 cm'dir.
Cevap: |AD| = 6 cm.
2. Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 8 cm ve hipotenüsü 10 cm'dir. Bu dik üçgenin alanını hesaplayınız.
💡 Çözüm Adımları:
Dik üçgenin alanını hesaplamak için dik kenar uzunluklarını bilmemiz gerekir. Dik kenarlardan biri (a diyelim) 8 cm olarak verilmiş. Diğer dik kenara (b diyelim) ve hipotenüse (c diyelim) Pisagor teoremini uygulayarak b'yi bulabiliriz.
Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2
Verilenler:
a = 8 cm
c = 10 cm
b = ?
8^2 + b^2 = 10^2
64 + b^2 = 100
b^2 = 100 - 64
b^2 = 36
b = \sqrt{36}
b = 6 cm
Şimdi dik kenar uzunlukları 8 cm ve 6 cm olan dik üçgenin alanını hesaplayabiliriz.
Dik üçgenin alanı formülü: Alan = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}
Bu formülde taban ve yükseklik dik kenarlardır.
Alan = \frac{1}{2} \times a \times b
Alan = \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}
Alan = \frac{1}{2} \times 48 \text{ cm}^2
Alan = 24 \text{ cm}^2
Cevap: Dik üçgenin alanı 24 cm^2'dir.
3. Aşağıdaki şekil, paralelkenar olduğunu göstermektedir. |AB| = 12 cm, |AE| = 5 cm, |AD| = 10 cm ve EB // DC'dir. E noktası AD üzerindedir. |EB| uzunluğunu bulunuz.
💡 Çözüm Adımları:
Şekilde ABCD bir paralelkenardır. Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşittir, yani |AB| = |DC| = 12 cm ve |AD| = |BC| = 10 cm.
EB // DC olduğu bilgisi verilmiş. E noktası AD üzerindedir.
Şimdi ABE üçgeni ile D C B üçgenlerini inceleyelim. EB // DC olduğundan, ABE üçgeni ile ADC üçgeni benzerdir (A açısı ortak, \angle AEB = \angle ADC ve \angle ABE = \angle ACD olmalı ama bu bilgi doğrudan verilmemiş).
Ancak, EB // DC olması ve E'nin AD üzerinde olması, ABE üçgeni ile ABC üçgeni arasında bir ilişki kurmamızı sağlar.
Soruda verilen bilgi EB // DC'dir. Bu durum, E noktasının AD üzerinde olmasıyla birleşince, ABE üçgeni ile ADC üçgeninin benzerliğini düşündürmelidir.
E noktası AD üzerindedir. |AD| = 10 cm ve |AE| = 5 cm. Bu durumda |ED| = |AD| - |AE| = 10 - 5 = 5 cm.
EB // DC olduğundan, Tales teoreminin benzerlik uygulaması gereği, ADE üçgeni ile ABC üçgeni arasında bir ilişki olmalıdır. Fakat bu doğrudan değil.
Doğru yaklaşım şu olmalı: EB // DC olduğundan, ABE üçgeni ile ADC üçgeni benzerdir.
Verilenler:
|AE| = 5 cm
|AD| = 10 cm
|AB| = 12 cm
|DC| = 12 cm (Paralelkenar özelliği)
|EB| = ?
Benzerlik oranını kullanalım:
\frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|EB|}{|DC|}
\frac{5}{10} = \frac{|EB|}{12}
\frac{1}{2} = \frac{|EB|}{12}
2 \times |EB| = 1 \times 12
2 \times |EB| = 12
|EB| = \frac{12}{2}
|EB| = 6 cm
Cevap: |EB| = 6 cm.
Ad Soyad: .................................. Sınıf / No: ....... / ......... Tarih: .... / .... / 202...
Eşlik ve benzerlik, tales, pisagor ve öklid teoremleri Çalışma Kağıdı
PUAN
A. Doğru (D) / Yanlış (Y) Bölümü
( .... )
Benzer iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
( .... )
Pisagor teoremi sadece dik üçgenler için geçerlidir.
( .... )
Eş üçgenlerin tüm açıları eşittir ve karşılıklı kenar uzunlukları da eşittir.
( .... )
Tales teoremi, paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantıları inceler.
( .... )
Öklid teoremi, dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunun karesinin, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşit olduğunu belirtir.
B. Boşluk Doldurma Bölümü
1)
İki üçgenin karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler ___ üçgenlerdir.
2)
Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı ___ kenarın karesine eşittir.
3)
Paralel doğrular ile kesişen doğrular arasında oluşan doğru parçaları ___ teoremi ile incelenir.
4)
Birbirinin aynı olan üçgenlere ___ üçgenler denir.
5)
Dik üçgende yükseklik, hipotenüsü ___ parça ayırır.
🔗 3. Kavram Eşleştirme
« İki üçgenin ikişer açısı eş ise bu üçgenler benzerdir.
« İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise bu üçgenler benzerdir.
« İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
« Dik üçgende a² + b² = c² eşitliği geçerlidir.
« Dik üçgende h² = p \times k eşitliği geçerlidir.
D. Kısa Cevaplı Sorular
1)
Eşlik ve benzerlik arasındaki temel fark nedir?
2)
Tales teoremini bir örnekle açıkla.
E. Çoktan Seçmeli Sorular
1)
Aşağıdaki üçgenlerden hangisi, bir kenar uzunluğu 6 birim ve bu kenarın karşısındaki açı 30 derece olan bir üçgen ile benzerdir?
A) Bir kenarı 12 birim, bu kenarın karşısındaki açısı 60 derece olan üçgenB) Bir kenarı 12 birim, bu kenarın karşısındaki açısı 30 derece olan üçgenC) Bir kenarı 6 birim, bu kenarın karşısındaki açısı 60 derece olan üçgenD) Bir kenarı 12 birim, komşu açısı 30 derece olan üçgenE) Hiçbiri
2)
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 5 cm ve 12 cm olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
A) 10B) 11C) 12D) 13E) 17
3)
Şekildeki AB // DE // FG doğruları veriliyor. |AC| = 4 cm, |CD| = 2 cm, |CE| = 3 cm olduğuna göre, |CF| kaç cm'dir?
A) 2B) 3C) 4D) 4.5E) 5
F. Açık Uçlu Klasik Sorular
1)
Şekilde ABC üçgeni verilmiştir. |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm, |BD| = 4 cm ve D noktası AB üzerindedir. DE // BC olacak şekilde DE doğrusu çiziliyor. |DE| = 6 cm olduğuna göre, |AD| uzunluğunu bulunuz.
2)
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 8 cm ve hipotenüsü 10 cm'dir. Bu dik üçgenin alanını hesaplayınız.
3)
Aşağıdaki şekil, paralelkenar olduğunu göstermektedir. |AB| = 12 cm, |AE| = 5 cm, |AD| = 10 cm ve EB // DC'dir. E noktası AD üzerindedir. |EB| uzunluğunu bulunuz.
Cevap Anahtarı ve Detaylı Çözümler İçin QR Kodu Okutun