🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik problemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki üçgenin eş olabilmesi için hangi durumlar gereklidir?
Çözüm:
İki üçgenin eş olabilmesi için aşağıdaki durumlardan biri sağlanmalıdır: 💡
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise, bu üçgenler eştir.
- Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eş ise, bu üçgenler eştir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üç kenarı da eş ise, bu üçgenler eştir.
- Dik Üçgenlerde Hipotenüs-Dik Kenar (DHK) Eşliği: Eş dik üçgenlerin hipotenüsleri ve birer dik kenarları eş ise, bu üçgenler eştir.
Örnek 2:
ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 12 \) cm'dir. DEF üçgeninde ise \( |DE| = 10 \) cm, \( |EF| = 8 \) cm ve \( |DF| = 12 \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasında nasıl bir eşlik ilişkisi vardır?
Bu iki üçgen arasında nasıl bir eşlik ilişkisi vardır?
Çözüm:
Verilenlere göre, ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( 10, 8, 12 \) cm'dir.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise \( 10, 8, 12 \) cm'dir.
Her iki üçgenin de karşılıklı üç kenar uzunluğu birbirine eşittir. Bu durum Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği olarak bilinir.
Bu nedenle, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eşittir. İlişki şu şekilde gösterilir: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \). 👉
DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise \( 10, 8, 12 \) cm'dir.
Her iki üçgenin de karşılıklı üç kenar uzunluğu birbirine eşittir. Bu durum Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği olarak bilinir.
Bu nedenle, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eşittir. İlişki şu şekilde gösterilir: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \). 👉
Örnek 3:
Birbirine paralel iki doğru parçasını kesen iki doğrunun oluşturduğu şekillerde benzerlik özellikleri nelerdir?
Çözüm:
Paralel iki doğruyu kesen doğrular, iç ters açıları ve yöndeş açıları oluşturur.
Eğer bu doğrular üçüncü bir doğru ile kesilirse, oluşan üçgenler arasında benzerlik özellikleri ortaya çıkar: 💡
Eğer bu doğrular üçüncü bir doğru ile kesilirse, oluşan üçgenler arasında benzerlik özellikleri ortaya çıkar: 💡
- Açı-Açı (AA) Benzerliği: Eğer iki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eş ise, bu üçgenler benzerdir.
Örnek 4:
Bir fotoğrafçı, 15 cm genişliğinde ve 20 cm yüksekliğinde bir fotoğrafı, orijinal boyutlarına sadık kalarak daha büyük bir çerçeveye yerleştirecektir. Yeni çerçeve 30 cm genişliğinde olduğuna göre, yüksekliği kaç cm olmalıdır ki fotoğraf çerçeve içinde benzer kalsın?
Çözüm:
Fotoğrafın orijinal boyutları genişlik \( 15 \) cm ve yükseklik \( 20 \) cm'dir.
Yeni çerçevenin genişliği \( 30 \) cm'dir.
Fotoğrafın çerçeve içinde benzer kalması demek, genişlik ve yükseklik oranlarının korunması demektir.
Orijinal oran: \( \frac{Genişlik}{Yükseklik} = \frac{15}{20} \).
Yeni çerçevedeki oran: \( \frac{30}{Yeni Yükseklik} \).
Benzerlik oranını eşitleyerek yeni yüksekliği bulabiliriz: 👉 \[ \frac{15}{20} = \frac{30}{Yeni Yükseklik} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 15 \times Yeni Yükseklik = 20 \times 30 \)
\( 15 \times Yeni Yükseklik = 600 \)
Şimdi \( Yeni Yükseklik \) değerini bulmak için her iki tarafı 15'e bölelim: \[ Yeni Yükseklik = \frac{600}{15} \] \[ Yeni Yükseklik = 40 \] Yeni çerçevenin yüksekliği 40 cm olmalıdır. ✅
Yeni çerçevenin genişliği \( 30 \) cm'dir.
Fotoğrafın çerçeve içinde benzer kalması demek, genişlik ve yükseklik oranlarının korunması demektir.
Orijinal oran: \( \frac{Genişlik}{Yükseklik} = \frac{15}{20} \).
Yeni çerçevedeki oran: \( \frac{30}{Yeni Yükseklik} \).
Benzerlik oranını eşitleyerek yeni yüksekliği bulabiliriz: 👉 \[ \frac{15}{20} = \frac{30}{Yeni Yükseklik} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 15 \times Yeni Yükseklik = 20 \times 30 \)
\( 15 \times Yeni Yükseklik = 600 \)
Şimdi \( Yeni Yükseklik \) değerini bulmak için her iki tarafı 15'e bölelim: \[ Yeni Yükseklik = \frac{600}{15} \] \[ Yeni Yükseklik = 40 \] Yeni çerçevenin yüksekliği 40 cm olmalıdır. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 50^\circ \), \( m(\angle B) = 70^\circ \) ve \( |AB| = 12 \) cm'dir. Benzer bir DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 50^\circ \) ve \( |DE| = 18 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olduğunu kabul edersek, \( |EF| \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Bu iki üçgenin benzer olduğunu kabul edersek, \( |EF| \) kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle ABC üçgeninin üçüncü açısını bulalım: \( m(\angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 50^\circ \) verilmiş. Eğer \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ise, karşılıklı açılar eşittir.
Bu durumda \( m(\angle E) \) açısı \( 70^\circ \) ve \( m(\angle F) \) açısı \( 60^\circ \) olmalıdır.
Benzerlik oranını belirleyelim. Benzer kenarların oranı sabittir. \( |AB| \) kenarı \( |DE| \) kenarına karşılık gelir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \).
Şimdi \( |EF| \) kenarının uzunluğunu bulmak için, \( |EF| \) kenarının \( \triangle ABC \)'deki karşılığı olan \( |BC| \) kenarı ile benzerlik oranını kullanmalıyız.
Ancak \( |BC| \) kenarının uzunluğu verilmemiş. Bu soruda bir eksiklik var gibi görünüyor. Soruyu, \( |BC| = 10 \) cm olarak düzeltelim.
Eğer \( |BC| = 10 \) cm ise, \( |EF| \) kenarının uzunluğu şu şekilde bulunur: \[ \frac{|EF|}{|BC|} = k \] \[ \frac{|EF|}{10} = \frac{3}{2} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2 \times |EF| = 10 \times 3 \] \[ 2 \times |EF| = 30 \] \[ |EF| = \frac{30}{2} \] \[ |EF| = 15 \] Bu düzeltilmiş soruya göre, \( |EF| \) kenarının uzunluğu 15 cm'dir. 💡
DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 50^\circ \) verilmiş. Eğer \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ise, karşılıklı açılar eşittir.
Bu durumda \( m(\angle E) \) açısı \( 70^\circ \) ve \( m(\angle F) \) açısı \( 60^\circ \) olmalıdır.
Benzerlik oranını belirleyelim. Benzer kenarların oranı sabittir. \( |AB| \) kenarı \( |DE| \) kenarına karşılık gelir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \).
Şimdi \( |EF| \) kenarının uzunluğunu bulmak için, \( |EF| \) kenarının \( \triangle ABC \)'deki karşılığı olan \( |BC| \) kenarı ile benzerlik oranını kullanmalıyız.
Ancak \( |BC| \) kenarının uzunluğu verilmemiş. Bu soruda bir eksiklik var gibi görünüyor. Soruyu, \( |BC| = 10 \) cm olarak düzeltelim.
Eğer \( |BC| = 10 \) cm ise, \( |EF| \) kenarının uzunluğu şu şekilde bulunur: \[ \frac{|EF|}{|BC|} = k \] \[ \frac{|EF|}{10} = \frac{3}{2} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2 \times |EF| = 10 \times 3 \] \[ 2 \times |EF| = 30 \] \[ |EF| = \frac{30}{2} \] \[ |EF| = 15 \] Bu düzeltilmiş soruya göre, \( |EF| \) kenarının uzunluğu 15 cm'dir. 💡
Örnek 6:
Bir harita üzerinde 1 cm'lik mesafe, gerçekte 5 km'ye karşılık gelmektedir. Eğer harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafe 8 cm olarak ölçülmüşse, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç km'dir?
Çözüm:
Bu problemde harita ölçeği verilmiştir. Ölçek, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını ifade eder.
Ölçek: 1 cm (haritada) : 5 km (gerçekte)
Harita üzerindeki mesafe = \( 8 \) cm.
Gerçek uzaklığı bulmak için ölçeği kullanırız: 💡
Gerçek Uzaklık = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçekteki Gerçek Uzaklık
Gerçek Uzaklık = \( 8 \) cm \( \times \) \( 5 \) km/cm
Gerçek Uzaklık = \( 40 \) km. ✅ İki şehir arasındaki gerçek uzaklık 40 km'dir. 👉
Ölçek: 1 cm (haritada) : 5 km (gerçekte)
Harita üzerindeki mesafe = \( 8 \) cm.
Gerçek uzaklığı bulmak için ölçeği kullanırız: 💡
- Eğer 1 cm haritada 5 km'ye karşılık geliyorsa,
- 8 cm haritada kaç km'ye karşılık gelir?
Gerçek Uzaklık = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçekteki Gerçek Uzaklık
Gerçek Uzaklık = \( 8 \) cm \( \times \) \( 5 \) km/cm
Gerçek Uzaklık = \( 40 \) km. ✅ İki şehir arasındaki gerçek uzaklık 40 km'dir. 👉
Örnek 7:
Kerem, bir binanın maketini yapmaktadır. Maketin yüksekliği 20 cm'dir. Gerçek binanın yüksekliği ise 50 metre'dir. Kerem, maketin tabanının bir kenarını 8 cm yaparsa, gerçek binanın tabanının ilgili kenar uzunluğu kaç metre olur?
Çözüm:
Öncelikle birimleri aynı hale getirelim. Gerçek binanın yüksekliği 50 metre = \( 50 \times 100 \) cm = \( 5000 \) cm'dir.
Maketin yüksekliği = \( 20 \) cm.
Gerçek binanın yüksekliği = \( 5000 \) cm.
Maket ile gerçek bina arasında bir benzerlik söz konusudur. Benzerlik oranını yükseklikler üzerinden bulalım:
Benzerlik Oranı (k) = \( \frac{Gerçek Yükseklik}{Maket Yüksekliği} = \frac{5000 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} = \frac{500}{2} = 250 \).
Yani gerçek boyutlar, maket boyutlarının 250 katıdır. 💡
Maketin tabanının bir kenarı = \( 8 \) cm.
Gerçek binanın tabanının ilgili kenar uzunluğunu bulmak için maket kenar uzunluğunu benzerlik oranı ile çarparız:
Gerçek Kenar Uzunluğu (cm) = Maket Kenar Uzunluğu \( \times \) Benzerlik Oranı
Gerçek Kenar Uzunluğu (cm) = \( 8 \) cm \( \times \) \( 250 \)
Gerçek Kenar Uzunluğu (cm) = \( 2000 \) cm.
Soruda bu uzunluk metre cinsinden istenmiş. Metreye çevirelim:
Gerçek Kenar Uzunluğu (m) = \( \frac{2000 \text{ cm}}{100 \text{ cm/m}} = 20 \) metre.
Gerçek binanın tabanının ilgili kenar uzunluğu 20 metre'dir. ✅
Maketin yüksekliği = \( 20 \) cm.
Gerçek binanın yüksekliği = \( 5000 \) cm.
Maket ile gerçek bina arasında bir benzerlik söz konusudur. Benzerlik oranını yükseklikler üzerinden bulalım:
Benzerlik Oranı (k) = \( \frac{Gerçek Yükseklik}{Maket Yüksekliği} = \frac{5000 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} = \frac{500}{2} = 250 \).
Yani gerçek boyutlar, maket boyutlarının 250 katıdır. 💡
Maketin tabanının bir kenarı = \( 8 \) cm.
Gerçek binanın tabanının ilgili kenar uzunluğunu bulmak için maket kenar uzunluğunu benzerlik oranı ile çarparız:
Gerçek Kenar Uzunluğu (cm) = Maket Kenar Uzunluğu \( \times \) Benzerlik Oranı
Gerçek Kenar Uzunluğu (cm) = \( 8 \) cm \( \times \) \( 250 \)
Gerçek Kenar Uzunluğu (cm) = \( 2000 \) cm.
Soruda bu uzunluk metre cinsinden istenmiş. Metreye çevirelim:
Gerçek Kenar Uzunluğu (m) = \( \frac{2000 \text{ cm}}{100 \text{ cm/m}} = 20 \) metre.
Gerçek binanın tabanının ilgili kenar uzunluğu 20 metre'dir. ✅
Örnek 8:
İki benzer üçgenin çevreleri toplamı 48 cm'dir. Benzerlik oranı 2/3 olduğuna göre, küçük üçgenin çevresi kaç cm'dir?
Çözüm:
İki benzer üçgenin çevreleri oranı, kenar uzunlukları oranına eşittir. 📌
Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \). Bu, küçük üçgenin kenar uzunluklarının büyük üçgenin kenar uzunluklarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğu anlamına gelir.
Çevreler oranı da bu orana eşittir:
\( \frac{Çevre_{küçük}}{Çevre_{büyük}} = \frac{2}{3} \).
Ayrıca, iki üçgenin çevreleri toplamı 48 cm olarak verilmiş:
\( Çevre_{küçük} + Çevre_{büyük} = 48 \) cm.
Buradan \( Çevre_{büyük} \) terimini \( Çevre_{küçük} \) cinsinden yazabiliriz:
\( Çevre_{büyük} = \frac{3}{2} \times Çevre_{küçük} \).
Bu ifadeyi toplam denkleminde yerine koyalım:
\[ Çevre_{küçük} + \frac{3}{2} \times Çevre_{küçük} = 48 \]
Paydaları eşitleyelim:
\[ \frac{2 \times Çevre_{küçük}}{2} + \frac{3 \times Çevre_{küçük}}{2} = 48 \] \[ \frac{5 \times Çevre_{küçük}}{2} = 48 \] Şimdi \( Çevre_{küçük} \) değerini bulmak için denklemi çözelim:
\( 5 \times Çevre_{küçük} = 48 \times 2 \)
\( 5 \times Çevre_{küçük} = 96 \)
\[ Çevre_{küçük} = \frac{96}{5} \] \[ Çevre_{küçük} = 19.2 \] Küçük üçgenin çevresi 19.2 cm'dir. ✅
Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \). Bu, küçük üçgenin kenar uzunluklarının büyük üçgenin kenar uzunluklarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğu anlamına gelir.
Çevreler oranı da bu orana eşittir:
\( \frac{Çevre_{küçük}}{Çevre_{büyük}} = \frac{2}{3} \).
Ayrıca, iki üçgenin çevreleri toplamı 48 cm olarak verilmiş:
\( Çevre_{küçük} + Çevre_{büyük} = 48 \) cm.
Buradan \( Çevre_{büyük} \) terimini \( Çevre_{küçük} \) cinsinden yazabiliriz:
\( Çevre_{büyük} = \frac{3}{2} \times Çevre_{küçük} \).
Bu ifadeyi toplam denkleminde yerine koyalım:
\[ Çevre_{küçük} + \frac{3}{2} \times Çevre_{küçük} = 48 \]
Paydaları eşitleyelim:
\[ \frac{2 \times Çevre_{küçük}}{2} + \frac{3 \times Çevre_{küçük}}{2} = 48 \] \[ \frac{5 \times Çevre_{küçük}}{2} = 48 \] Şimdi \( Çevre_{küçük} \) değerini bulmak için denklemi çözelim:
\( 5 \times Çevre_{küçük} = 48 \times 2 \)
\( 5 \times Çevre_{küçük} = 96 \)
\[ Çevre_{küçük} = \frac{96}{5} \] \[ Çevre_{küçük} = 19.2 \] Küçük üçgenin çevresi 19.2 cm'dir. ✅
Örnek 9:
Bir parktaki direğin gölgesi, gün batımında 15 metre uzunluğundadır. Aynı anda, parkta bulunan 1.8 metre boyundaki bir çocuğun gölgesi 2.4 metre uzunluğundadır.
Direğin gerçek boyu kaç metredir?
Direğin gerçek boyu kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler prensibini kullanır. Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için, direk ve çocuk ile gölgelerinin oluşturduğu üçgenler birbirine benzerdir. 💡
Benzerlik oranı, kenar uzunluklarının oranına eşittir.
Çocuk için: Yükseklik = \( 1.8 \) m, Gölge = \( 2.4 \) m.
Direk için: Yükseklik = \( x \) m (bulmak istediğimiz), Gölge = \( 15 \) m.
Benzerlik oranını kurabiliriz:
\[ \frac{Direğin Yüksekliği}{Çocuğun Yüksekliği} = \frac{Direğin Gölgesi}{Çocuğun Gölgesi} \] Şimdi bilinen değerleri yerine koyalım: \[ \frac{x}{1.8} = \frac{15}{2.4} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: 👉 \( x \times 2.4 = 1.8 \times 15 \)
\( 2.4x = 27 \)
Şimdi \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı 2.4'e bölelim:
\[ x = \frac{27}{2.4} \] Bu bölme işlemini kolaylaştırmak için pay ve paydayı 10 ile çarpabiliriz:
\[ x = \frac{270}{24} \] Sadeleştirme yapalım. Her iki tarafı 6'ya bölebiliriz:
\[ x = \frac{45}{4} \] \[ x = 11.25 \] Direğin gerçek boyu 11.25 metre'dir. ✅
Benzerlik oranı, kenar uzunluklarının oranına eşittir.
Çocuk için: Yükseklik = \( 1.8 \) m, Gölge = \( 2.4 \) m.
Direk için: Yükseklik = \( x \) m (bulmak istediğimiz), Gölge = \( 15 \) m.
Benzerlik oranını kurabiliriz:
\[ \frac{Direğin Yüksekliği}{Çocuğun Yüksekliği} = \frac{Direğin Gölgesi}{Çocuğun Gölgesi} \] Şimdi bilinen değerleri yerine koyalım: \[ \frac{x}{1.8} = \frac{15}{2.4} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: 👉 \( x \times 2.4 = 1.8 \times 15 \)
\( 2.4x = 27 \)
Şimdi \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı 2.4'e bölelim:
\[ x = \frac{27}{2.4} \] Bu bölme işlemini kolaylaştırmak için pay ve paydayı 10 ile çarpabiliriz:
\[ x = \frac{270}{24} \] Sadeleştirme yapalım. Her iki tarafı 6'ya bölebiliriz:
\[ x = \frac{45}{4} \] \[ x = 11.25 \] Direğin gerçek boyu 11.25 metre'dir. ✅
Örnek 10:
Aşağıdaki üçgenlerden hangileri birbirine eşittir? Nedenlerini açıklayınız.
Üçgen A: Kenar uzunlukları 3, 4, 5 cm.
Üçgen B: Kenar uzunlukları 3, 4, 6 cm.
Üçgen C: Kenar uzunlukları 3, 4, 5 cm.
Üçgen D: Kenar uzunlukları 4, 5, 3 cm.
Üçgen A: Kenar uzunlukları 3, 4, 5 cm.
Üçgen B: Kenar uzunlukları 3, 4, 6 cm.
Üçgen C: Kenar uzunlukları 3, 4, 5 cm.
Üçgen D: Kenar uzunlukları 4, 5, 3 cm.
Çözüm:
Eşlik, iki şeklin birebir aynı olması anlamına gelir. Üçgenlerde eşlik için belirli koşullar vardır.
Bu soruda kenar uzunlukları verilmiştir. Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği'ne göre, eğer iki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşitse, bu üçgenler eştir. 💡
Şimdi üçgenleri inceleyelim:
Bu soruda kenar uzunlukları verilmiştir. Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği'ne göre, eğer iki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşitse, bu üçgenler eştir. 💡
Şimdi üçgenleri inceleyelim:
- Üçgen A'nın kenarları: 3 cm, 4 cm, 5 cm.
- Üçgen B'nin kenarları: 3 cm, 4 cm, 6 cm. (Üçgen A ile kenar uzunlukları farklıdır.)
- Üçgen C'nin kenarları: 3 cm, 4 cm, 5 cm. (Üçgen A ile tüm kenar uzunlukları aynıdır.)
- Üçgen D'nin kenarları: 4 cm, 5 cm, 3 cm. (Üçgen A ve C ile tüm kenar uzunlukları aynıdır, sadece sıralama farklıdır.)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-ve-benzerlik-problemleri/sorular