🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik - öklid Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik - öklid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( AC = 9 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde ise \( DE = 10 \) cm, \( EF = 14 \) cm ve \( DF = 18 \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasında bir eşlik veya benzerlik ilişkisi var mıdır? Varsa, bu ilişkiyi belirtiniz.
Bu iki üçgen arasında bir eşlik veya benzerlik ilişkisi var mıdır? Varsa, bu ilişkiyi belirtiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenlerin kenar uzunluklarını karşılaştırmalıyız.
- Adım 1: Üçgenlerin kenar uzunluklarını yazalım.
- ABC üçgeni kenarları: 5, 7, 9
- DEF üçgeni kenarları: 10, 14, 18
- Adım 2: Benzerlik oranını kontrol edelim. Her bir kenarı karşılık gelen kenara oranlayalım.
- \( \frac{DE}{AB} = \frac{10}{5} = 2 \)
- \( \frac{EF}{BC} = \frac{14}{7} = 2 \)
- \( \frac{DF}{AC} = \frac{18}{9} = 2 \)
- Adım 3: Oranların hepsinin eşit olduğunu gördük. Bu durum, iki üçgenin kenar-kenar-kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzer olduğunu gösterir.
Örnek 2:
📐 Bir dik üçgende, dik kenarlar 6 birim ve 8 birimdir. Bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz.
Çözüm:
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Adım 1: Pisagor teoreminin formülünü hatırlayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Adım 2: Verilen dik kenar uzunluklarını formülde yerine koyalım.
- \( a = 6 \) birim
- \( b = 8 \) birim
- Adım 3: Hesaplamayı yapalım.
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- Adım 4: Hipotenüsün uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
- \( c = \sqrt{100} \)
- \( c = 10 \) birim
Örnek 3:
📏 Bir ABCD paralelkenarında, \( AB = 12 \) cm ve \( BC = 8 \) cm'dir. Eğer bu paralelkenarın \( AB \) kenarına ait yüksekliği 6 cm ise, \( BC \) kenarına ait yüksekliği bulunuz.
Çözüm:
Paralelkenarın alanını farklı kenar ve yüksekliklerle hesaplayabiliriz.
- Adım 1: Paralelkenarın alanını \( AB \) kenarı ve ona ait yükseklik ile hesaplayalım.
- Alan = Taban \( \times \) Yükseklik
- Alan = \( AB \times h_{AB} \)
- Alan = \( 12 \times 6 \)
- Alan = 72 \( \text{cm}^2 \)
- Adım 2: Elde ettiğimiz alanı, \( BC \) kenarı ve ona ait yükseklik ile tekrar hesaplayıp \( BC \) kenarına ait yüksekliği bulalım.
- Alan = \( BC \times h_{BC} \)
- 72 = \( 8 \times h_{BC} \)
- Adım 3: \( h_{BC} \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
- \( h_{BC} = \frac{72}{8} \)
- \( h_{BC} = 9 \) cm
Örnek 4:
🗺️ Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 4 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000 olduğuna göre, A ve B şehirleri arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
Çözüm:
Bu tür sorular, ölçek bilgisini kullanarak gerçek uzunlukları bulmayı gerektirir.
- Adım 1: Ölçeğin ne anlama geldiğini anlayalım. 1:200.000 ölçeği, haritada 1 birimlik mesafenin gerçekte 200.000 birim olduğunu ifade eder.
- Adım 2: Haritadaki mesafeyi gerçek mesafeye çevirelim.
- Gerçek Uzaklık = Haritadaki Uzaklık \( \times \) Ölçek Paydası
- Gerçek Uzaklık = 4 cm \( \times \) 200.000
- Gerçek Uzaklık = 800.000 cm
- Adım 3: Elde ettiğimiz mesafeyi kilometreye çevirelim. 1 kilometre = 100.000 cm'dir.
- Gerçek Uzaklık (km) = \(\frac{800.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}}\)
- Gerçek Uzaklık (km) = 8 km
Örnek 5:
📐 İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler için ne söylenebilir? KKK benzerlik kuralını açıklayınız.
Çözüm:
Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralı, geometride iki üçgenin benzer olup olmadığını anlamamızı sağlayan önemli bir kuraldır.
- Adım 1: KKK Benzerlik Kuralı Tanımı: Eğer iki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbiriyle orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
- Adım 2: Matematiksel Gösterim: Bir \( \triangle ABC \) ve bir \( \triangle DEF \) üçgeni için, eğer \( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k \) (burada \( k \) bir sabit pozitif sayıdır ve benzerlik oranıdır), o zaman \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur.
- Adım 3: Anlamı: Bu kural, üçgenlerin şekillerinin aynı olduğunu, ancak boyutlarının farklı olabileceğini gösterir. Bir üçgen diğerinin belirli bir oranda büyütülmüş veya küçültülmüş halidir.
Örnek 6:
🏠 Bir fotoğrafın boyutları 10 cm \( \times \) 15 cm'dir. Bu fotoğrafın kenar oranını koruyarak 20 cm yüksekliğinde yeni bir baskısı yapılacaktır. Yeni baskının genişliği kaç cm olur?
Çözüm:
Bu problemde, fotoğrafın kenar oranının korunması, yani benzerliğin sağlanması gerekmektedir.
- Adım 1: Orijinal fotoğrafın kenar oranını hesaplayalım.
- Oran = \(\frac{\text{Genişlik}}{\text{Yükseklik}} = \frac{10 \text{ cm}}{15 \text{ cm}} = \frac{2}{3}\)
- Adım 2: Yeni baskının yüksekliği 20 cm olarak verilmiş. Kenar oranı korunacağı için, yeni baskının genişliği \( x \) olsun. Yeni oran da \( \frac{x}{20} \) olacaktır.
- Adım 3: Kenar oranları eşit olacağından, iki oranı birbirine eşitleyelim.
- \(\frac{x}{20} = \frac{2}{3}\)
- Adım 4: \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
- \( 3x = 2 \times 20 \)
- \( 3x = 40 \)
- \( x = \frac{40}{3} \) cm
Örnek 7:
⛰️ Bir dağın tepesinden, düz bir zeminde duran 1.5 metre boyundaki bir çubuğun tepesine bakıldığında, dağın tepesinin çubuğun tepesiyle aynı yükseklikte olduğu görülüyor. Çubuğun zemine dik olduğu ve dağın tepesinin tam olarak çubuğun üzerinde olduğu varsayılıyor. Eğer çubuğun gölgesi 2 metre ise ve aynı anda güneşin oluşturduğu dağın gölgesi 100 metre ise, dağın yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, benzerlik prensibini kullanarak gölge boyları ve yükseklikler arasındaki ilişkiyi çözmeyi gerektirir.
- Adım 1: Problemi görselleştirelim. Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için, çubuğu ve dağı temsil eden iki dik üçgen benzer olacaktır.
- Adım 2: Benzer üçgenlerin kenar oranlarının eşitliğini kuralım.
- Çubuğun Yüksekliği / Çubuğun Gölgesi = Dağın Yüksekliği / Dağın Gölgesi
- Adım 3: Verilen değerleri yerine koyalım. Çubuğun yüksekliği 1.5 m, gölgesi 2 m. Dağın gölgesi 100 m. Dağın yüksekliği \( H \) olsun.
- \(\frac{1.5}{2} = \frac{H}{100}\)
- Adım 4: \( H \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
- \( 2 \times H = 1.5 \times 100 \)
- \( 2H = 150 \)
- \( H = \frac{150}{2} \)
- \( H = 75 \) metre
Örnek 8:
📐 Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 60^\circ \) ise, \( \angle C \) kaç derecedir?
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.
- Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamı formülünü hatırlayalım: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
- Adım 2: Verilen açı değerlerini formülde yerine koyalım.
- \( 50^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- Adım 3: Bilinen açıları toplayalım.
- \( 110^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- Adım 4: \( \angle C \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
- \( \angle C = 180^\circ - 110^\circ \)
- \( \angle C = 70^\circ \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-ve-benzerlik-oklid/sorular