💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik ile ilgili problemler Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için şu koşullardan biri sağlanmalıdır: 📌

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarların arasındaki açılar eş olmalıdır.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eş olmalıdır.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üç kenarı da eş olmalıdır.

Bu koşullar sağlandığında, üçgenlerin diğer açıları ve kenarları da eş olur. ✅

Evet, ABC ve DEF üçgenleri eştir. 👉

• Üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir: \( AB = DE = 5 \) cm, \( BC = EF = 7 \) cm ve \( AC = DF = 8 \) cm.
• Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği koşulunu sağlar.

Bu nedenle, bu iki üçgen KKK eşliği ile eştir. 📐

\( \triangle ABC \) ile \( \triangle CDA \) üçgenleri arasında Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği vardır. İşte nedenleri: 💡

• Kenarlar:
• \( AB = DC \) (Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.)
• \( BC = DA \) (Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.)
• \( AC = CA \) (İki üçgenin de ortak kenarıdır.)
• Açılar:
• \( \angle BAC = \angle DCA \) (İç ters açılar, \( AB \parallel DC \) olduğu için.)
• \( \angle BCA = \angle DAC \) (İç ters açılar, \( AD \parallel BC \) olduğu için.)

Bu koşullar altında, \( \triangle ABC \cong \triangle CDA \) (KAK eşliği ile eş) diyebiliriz. ✅

Benzer üçgenlerin çevreleri oranı, kenar uzunlukları oranına eşittir. 🤔

• Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \).
• Bu durumda, \( \frac{\text{Küçük Üçgenin Çevresi}}{\text{Büyük Üçgenin Çevresi}} = k \) olur.
• \( \frac{18 \text{ cm}}{\text{Büyük Üçgenin Çevresi}} = \frac{2}{3} \)
• İçler dışlar çarpımı yaparak: \( 2 \times \text{Büyük Üçgenin Çevresi} = 18 \text{ cm} \times 3 \)
• \( 2 \times \text{Büyük Üçgenin Çevresi} = 54 \text{ cm} \)
• \( \text{Büyük Üçgenin Çevresi} = \frac{54 \text{ cm}}{2} = 27 \text{ cm} \)

Büyük üçgenin çevresi 27 cm'dir. 👍

Öncelikle birimleri eşitlememiz gerekiyor. 📏

• Gerçek binanın yüksekliği: \( 45 \text{ metre} \times 100 \frac{\text{cm}}{\text{metre}} = 4500 \text{ cm} \)
• Maketin yüksekliği: \( 30 \text{ cm} \)
• Benzerlik oranı, maketin boyutunun gerçek boyutuna oranıdır:
• \( \text{Benzerlik Oranı} = \frac{\text{Maketin Yüksekliği}}{\text{Gerçek Binanın Yüksekliği}} \)
• \( \text{Benzerlik Oranı} = \frac{30 \text{ cm}}{4500 \text{ cm}} \)
• Bu oranı sadeleştirelim: \( \frac{30}{4500} = \frac{3}{450} = \frac{1}{150} \)

Maket ile gerçek bina arasındaki benzerlik oranı \( \frac{1}{150} \)'dir. Bu, maketin her boyutunun gerçeğinin 150'de biri olduğu anlamına gelir. ✨

Fotoğraf %50 oranında küçültülüyorsa, boyutları yarıya iner. 🤔

• Küçültülmeden önceki en: \( 20 \) cm
• Küçültülmeden önceki boy: \( 30 \) cm
• Küçültme oranı \( 50% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} \)
• Küçültüldükten sonraki en: \( 20 \text{ cm} \times \frac{1}{2} = 10 \text{ cm} \)
• Küçültüldükten sonraki boy: \( 30 \text{ cm} \times \frac{1}{2} = 15 \text{ cm} \)

Küçültüldükten sonraki fotoğrafın eni 10 cm ve boyu 15 cm olur. 👍

Harita ölçeği, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını gösterir. 📏

• Ölçek: \( 1:200.000 \)
• Harita üzerindeki mesafe: \( 4 \) cm
• Gerçek mesafe = Harita üzerindeki mesafe \( \times \) Ölçek paydası
• Gerçek mesafe = \( 4 \text{ cm} \times 200.000 \)
• Gerçek mesafe = \( 800.000 \text{ cm} \)
• Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirelim:
• \( 1 \text{ km} = 100.000 \text{ cm} \)
• Gerçek mesafe (km) = \( \frac{800.000 \text{ cm}}{100.000 \frac{\text{cm}}{\text{km}}} = 8 \text{ km} \)

İki şehir arasındaki gerçek mesafe 8 kilometredir. 🚗

Benzer üçgenlerin çevreleri oranı, kenar uzunlukları oranına eşittir. Bu soruda bize verilmeyen ama hesaplanabilecek bir bilgi var. 🤔

• ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( 6, 8, 10 \) cm.
• ABC üçgeninin çevresi = \( 6 + 8 + 10 = 24 \) cm.
• \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ve benzerlik oranı \( k = \frac{3}{2} \).
• Bu oran, \( \frac{\text{ABC'nin Kenarı}}{\text{DEF'nin Karşılıklı Kenarı}} = \frac{3}{2} \) anlamına gelir.
• Dolayısıyla, \( \frac{\text{ABC'nin Çevresi}}{\text{DEF'nin Çevresi}} = \frac{3}{2} \) olmalıdır.
• Bize \( \triangle DEF \)'nin çevresi 36 cm olarak verilmiş.
• \( \frac{\text{ABC'nin Çevresi}}{36 \text{ cm}} = \frac{3}{2} \)
• İçler dışlar çarpımı yaparak: \( 2 \times \text{ABC'nin Çevresi} = 36 \text{ cm} \times 3 \)
• \( 2 \times \text{ABC'nin Çevresi} = 108 \text{ cm} \)
• \( \text{ABC'nin Çevresi} = \frac{108 \text{ cm}}{2} = 54 \text{ cm} \)

Bu soruda bir hata var gibi görünüyor. Verilen bilgilerde bir tutarsızlık var. Eğer benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \) ise ve DEF'nin çevresi 36 cm ise, ABC'nin çevresi 54 cm olmalıdır. Ancak ABC'nin kenarları verilerek çevresi 24 cm olarak hesaplanabilir. Eğer soru "ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'dir" şeklinde olsaydı, o zaman DEF'nin çevresi \( 24 \times \frac{3}{2} = 36 \) cm olurdu ve tutarlı olurdu. Ancak, verilen bilgilere göre (ABC çevresi 24 cm ve \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \)) ABC'nin çevresi 24 cm'dir. DEF'nin çevresi ise \( 24 \times \frac{3}{2} = 36 \) cm olurdu. Eğer DEF'nin çevresi 36 cm ise, bu durumda ABC'nin çevresi 24 cm olmalıdır. Sorudaki oran ters verilmiş olmalı. Eğer oran \( \frac{2}{3} \) olsaydı:

• \( \frac{\text{ABC'nin Çevresi}}{36 \text{ cm}} = \frac{2}{3} \)
• \( 3 \times \text{ABC'nin Çevresi} = 36 \text{ cm} \times 2 \)
• \( 3 \times \text{ABC'nin Çevresi} = 72 \text{ cm} \)
• \( \text{ABC'nin Çevresi} = \frac{72 \text{ cm}}{3} = 24 \text{ cm} \)

Bu durumda ABC'nin çevresi 24 cm olurdu ki bu da kenar uzunluklarından hesapladığımız değerle uyuşur. Sorunun orijinal haliyle matematiksel bir tutarsızlık bulunmaktadır. Ancak, sorunun amacını dikkate alarak, eğer DEF'nin çevresi 36 cm ise ve bu ABC'den daha büyükse, oran \( \frac{3}{2} \) olamaz. Oran \( \frac{2}{3} \) olmalıdır. Bu durumda, soruyu Eğer ABC'nin çevresi 24 cm ise ve \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'dir. DEF üçgeninin çevresi kaç cm'dir? şeklinde yeniden düzenlersek:

• \( \frac{\text{ABC'nin Çevresi}}{\text{DEF'nin Çevresi}} = \frac{2}{3} \)
• \( \frac{24 \text{ cm}}{\text{DEF'nin Çevresi}} = \frac{2}{3} \)
• \( 2 \times \text{DEF'nin Çevresi} = 24 \text{ cm} \times 3 \)
• \( 2 \times \text{DEF'nin Çevresi} = 72 \text{ cm} \)
• \( \text{DEF'nin Çevresi} = \frac{72 \text{ cm}}{2} = 36 \text{ cm} \)

Bu şekilde tutarlı bir sonuca ulaşılır. Sorunun orijinal haliyle çözümü bu şekilde yapılamaz.