Eşlik ve benzerlik ile ilgili problemler Ders Notu

Eşlik ve Benzerlik ile İlgili Problemler 📐

9. sınıfta eşlik ve benzerlik kavramları, geometrik şekiller arasındaki ilişkiyi anlamak için temel taşlardır. Bu bölümde, bu kavramları kullanarak çözebileceğimiz çeşitli problemler üzerinde duracağız. Eşlik, iki şeklin hem kenar uzunluklarının hem de açı ölçülerinin birebir aynı olması durumunu ifade ederken; benzerlik, şekillerin aynı oranda büyütülmüş veya küçültülmüş hallerini ifade eder. Benzerlikte açılar eşittir, ancak kenar uzunlukları sabit bir oranla orantılıdır.

Eşlik ile İlgili Problemler 🤝

İki üçgenin eş olması için belirli koşullar vardır. Bunlar:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarları ve bu kenetler arasındaki açılar eş ise, bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eş ise, bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da eş ise, bu üçgenler eştir.

Örnek Problem 1 (KAK Eşliği)

Bir ABCD dörtgeninde, AC köşegeni çizilmiştir. AB kenarı 5 cm, AD kenarı 5 cm'dir. BAC açısı ile DAC açısı eşittir. Bu bilgiye göre, ABC üçgeni ile ADC üçgeninin eş olup olmadığını belirleyiniz. Eş ise, hangi eşlik kuralını kullandığımızı belirtiniz.

Çözüm:

Verilenlere göre:

• AB = AD = 5 cm (İki kenar eş)
• \( \angle BAC = \angle DAC \) (Bu kenetler arasındaki açı eş)
• AC kenarı her iki üçgen için de ortaktır.

Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralını sağlar. Dolayısıyla, ABC üçgeni ile ADC üçgeni eştir.

Benzerlik ile İlgili Problemler 📏

İki üçgenin benzer olması için gerekli koşullar şunlardır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eş ise, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenetler arasındaki açılar eş ise, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların uzunlukları oranı sabittir. Bu orana benzerlik oranı denir.

Örnek Problem 2 (AA Benzerliği)

Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 70^\circ \) ve \( \angle B = 50^\circ \) olarak verilmiştir. Bir DEF üçgeninde \( \angle D = 70^\circ \) ve \( \angle E = 60^\circ \) olarak verilmiştir. ABC üçgeni ile DEF üçgeninin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzer ise, hangi benzerlik kuralını kullandığımızı belirtiniz.

Çözüm:

Öncelikle ABC üçgeninin üçüncü açısını bulalım:

\( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Şimdi iki üçgenin açılarını karşılaştıralım:

• \( \angle A = 70^\circ \) ve \( \angle D = 70^\circ \) (Açılar eş)
• \( \angle B = 50^\circ \) ve \( \angle E = 60^\circ \) (Açılar eş değil)
• \( \angle C = 60^\circ \) ve \( \angle E = 60^\circ \) (Açılar eş)

ABC üçgeninde \( \angle A \) ile DEF üçgeninde \( \angle D \) eşittir. Ayrıca ABC üçgeninde \( \angle C \) ile DEF üçgeninde \( \angle E \) eşittir. İkişer açıları eş olduğundan, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir.

Bu benzerlikte, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. Karşılıklı kenarların oranları eşittir: \( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \)

Örnek Problem 3 (KKK Benzerliği)

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları ise 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzer ise, hangi benzerlik kuralını kullandığımızı belirtiniz.

Çözüm:

Üçgenlerin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayarak oranlayalım:

ABC üçgeni kenarları: 6, 8, 10

DEF üçgeni kenarları: 9, 12, 15

Oranları kontrol edelim:

• \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
• \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
• \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)

Karşılıklı tüm kenar uzunlukları aynı orantıyı sağladığı için, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralına göre ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

Uygulama Soruları 📝

Soru 1: Bir ikizkenar üçgende, tepe açısı \( 40^\circ \) ise taban açıları kaç derecedir? Bu üçgenin bir eşini çizmek için hangi koşulları sağlamalısınız?

Soru 2: Bir ABC üçgeninde AB = 4 cm, BC = 6 cm ve AC = 8 cm'dir. Bu üçgene benzer ve kenar uzunlukları 2 katı olan bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları toplamı kaçtır?

Soru 3: Paralelkenarın köşegenleri, paralelkenarı 4 tane eş üçgene ayırır. Bu bilgiyi kullanarak bir paralelkenarın eşlik durumunu gösteren bir problem kurunuz.