🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik ile Geometrik Dönüşümler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik ile Geometrik Dönüşümler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( AC = 8 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde ise \( DE = 10 \) cm, \( EF = 14 \) cm ve \( DF = 16 \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasında bir eşlik ilişkisi var mıdır? Varsa, bu eşliği belirtiniz.
Bu iki üçgen arasında bir eşlik ilişkisi var mıdır? Varsa, bu eşliği belirtiniz.
Çözüm:
- İki üçgenin kenar uzunluklarını karşılaştıralım.
- ABC üçgeninin kenarları: 5, 7, 8 cm.
- DEF üçgeninin kenarları: 10, 14, 16 cm.
- Görüldüğü gibi, DEF üçgeninin her bir kenarı, ABC üçgeninin karşılık gelen kenarının 2 katıdır.
- Yani, \( \frac{DE}{AB} = \frac{10}{5} = 2 \), \( \frac{EF}{BC} = \frac{14}{7} = 2 \), \( \frac{DF}{AC} = \frac{16}{8} = 2 \).
- Kenar uzunlukları arasında sabit bir oran (bu durumda 2) olduğundan, bu iki üçgen benzerdir.
- Eşlik, kenar uzunluklarının eşit olmasını gerektirir. Burada oran 2 olduğu için eşlik yoktur, sadece benzerlik vardır.
- Eğer kenar uzunlukları eşit olsaydı, örneğin \( DE = 5, EF = 7, DF = 8 \) olsaydı, o zaman ABC ≅ DEF eşliği söz konusu olurdu.
Örnek 2:
Bir ABCD paralelkenarında, \( AB \) kenarı \( 12 \) cm ve \( AD \) kenarı \( 8 \) cm'dir.
Bu paralelkenarın bir eş paralelkenarı çizilirse, yeni paralelkenarın kenar uzunlukları ne olur?
Bu paralelkenarın bir eş paralelkenarı çizilirse, yeni paralelkenarın kenar uzunlukları ne olur?
Çözüm:
- Eşlik, iki geometrik şeklin hem kenar uzunlukları hem de açıları açısından birebir aynı olması demektir.
- Bir ABCD paralelkenarı ile eş bir paralelkenar çizildiğinde, karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olmalıdır.
- Eğer ABCD paralelkenarının kenar uzunlukları \( AB = CD = 12 \) cm ve \( AD = BC = 8 \) cm ise,
- Eş olan A'B'C'D' paralelkenarının da kenar uzunlukları aynı olacaktır.
- Yani, \( A'B' = C'D' = 12 \) cm ve \( A'D' = B'C' = 8 \) cm olur.
Örnek 3:
İki üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla 6 cm, 8 cm, 10 cm ve 9 cm, 12 cm, 15 cm'dir.
Bu iki üçgenin benzer olduğunu gösteriniz ve benzerlik oranını bulunuz.
Bu iki üçgenin benzer olduğunu gösteriniz ve benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için kenar uzunlukları arasındaki oranı kontrol ederiz.
- Birinci üçgenin kenarları: \( a_1 = 6, b_1 = 8, c_1 = 10 \).
- İkinci üçgenin kenarları: \( a_2 = 9, b_2 = 12, c_2 = 15 \).
- Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayarak oranlayalım:
- \( \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{c_2}{c_1} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \)
- Üç kenar arasındaki oranlar daima eşit çıktığı için ( \( \frac{3}{2} \) ), bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik oranı, bir üçgenin kenar uzunluğunun, diğer üçgenin karşılık gelen kenar uzunluğuna oranıdır. Bu durumda benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \) 'dir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) 'dir.
Bir DEF üçgeninde ise \( \angle D = 60^\circ \) ve \( \angle E = 70^\circ \)'dir.
Bu iki üçgen arasında bir eşlik veya benzerlik ilişkisi var mıdır? Açıklayınız.
Bir DEF üçgeninde ise \( \angle D = 60^\circ \) ve \( \angle E = 70^\circ \)'dir.
Bu iki üçgen arasında bir eşlik veya benzerlik ilişkisi var mıdır? Açıklayınız.
Çözüm:
- Üçgenlerin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- ABC üçgeninde: \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- DEF üçgeninde: \( \angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
- Şimdi açıları karşılaştıralım:
- ABC: \( \angle A = 50^\circ, \angle B = 70^\circ, \angle C = 60^\circ \)
- DEF: \( \angle D = 60^\circ, \angle E = 70^\circ, \angle F = 50^\circ \)
- Açıları eşleştirdiğimizde: \( \angle A = \angle F = 50^\circ \), \( \angle B = \angle E = 70^\circ \), \( \angle C = \angle D = 60^\circ \).
- İki üçgenin karşılıklı açıları eşittir. Bu durum, açı-açı-açı (AAA) benzerlik kriterini sağlar.
- Eşlik için hem açıların hem de kenarların eşit olması gerekir. Sadece açılar eşit olduğu için eşlik yoktur.
Örnek 5:
Bir fotoğrafçının, bir binanın fotoğrafını çekerken kullandığı makinenin ayarları gereği, çektiği her fotoğrafın gerçek boyutun \( \frac{1}{100} \) katı kadar olması gerekmektedir.
Eğer fotoğrafçı, 15 metre yüksekliğindeki bir binanın fotoğrafını çekerse, fotoğraf üzerindeki bina yüksekliği kaç cm olur?
Eğer fotoğrafçı, 15 metre yüksekliğindeki bir binanın fotoğrafını çekerse, fotoğraf üzerindeki bina yüksekliği kaç cm olur?
Çözüm:
- Soruda verilen bilgiler:
- Gerçek boyutun fotoğraf üzerindeki oranı (benzerlik oranı): \( \frac{1}{100} \)
- Binanın gerçek yüksekliği: 15 metre
- Fotoğraf üzerindeki yüksekliği bulmak için gerçek yüksekliği, verilen oranla çarpmamız gerekir.
- Öncelikle birimleri aynı yapalım. Binanın gerçek yüksekliğini santimetreye çevirelim:
- 1 metre = 100 cm
- 15 metre = \( 15 \times 100 \) cm = 1500 cm
- Şimdi fotoğraf üzerindeki yüksekliği hesaplayalım:
- Fotoğraf yüksekliği = Gerçek yükseklik \( \times \) Benzerlik oranı
- Fotoğraf yüksekliği = \( 1500 \) cm \( \times \frac{1}{100} \)
- Fotoğraf yüksekliği = \( \frac{1500}{100} \) cm
- Fotoğraf yüksekliği = \( 15 \) cm
Örnek 6:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak gösterilmiştir.
Haritanın ölçeği 1:500.000 olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
Haritanın ölçeği 1:500.000 olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
Çözüm:
- Harita üzerindeki mesafe ve ölçek bilgisi verilmiş. Gerçek uzaklığı bulmamız isteniyor.
- Ölçek, harita üzerindeki bir uzunluğun, gerçekteki uzunluğa oranını ifade eder.
- Verilen ölçek: 1:500.000
- Bu şu anlama gelir: Haritada 1 birim, gerçekte 500.000 birime karşılık gelir.
- Harita üzerindeki mesafe: 5 cm
- Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçeğin paydası ile çarparız:
- Gerçek uzaklık (cm) = Harita mesafesi \( \times \) Ölçek paydası
- Gerçek uzaklık (cm) = \( 5 \) cm \( \times 500.000 \)
- Gerçek uzaklık (cm) = \( 2.500.000 \) cm
- Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirelim.
- 1 km = 100.000 cm
- Gerçek uzaklık (km) = \( \frac{2.500.000}{100.000} \) km
- Gerçek uzaklık (km) = \( 25 \) km
Örnek 7:
Bir ABC üçgeni, bir DEF üçgenine eş ise, bu ne anlama gelir? Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tüm açıları eşittir.
B) Tüm kenar uzunlukları eşittir.
C) Hem tüm açıları hem de tüm kenar uzunlukları eşittir.
D) Sadece iki kenar uzunluğu eşittir.
A) Tüm açıları eşittir.
B) Tüm kenar uzunlukları eşittir.
C) Hem tüm açıları hem de tüm kenar uzunlukları eşittir.
D) Sadece iki kenar uzunluğu eşittir.
Çözüm:
- Eşlik kavramını hatırlayalım.
- İki geometrik şeklin eş olması demek, onların birebir aynı olması demektir.
- Bu, hem şekillerin boyutlarının (kenar uzunlukları) hem de biçimlerinin (açıları) aynı olması anlamına gelir.
- Dolayısıyla, eğer \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ise:
- Karşılıklı kenar uzunlukları eşittir: \( AB = DE, BC = EF, AC = DF \)
- Karşılıklı açılar eşittir: \( \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F \)
- Seçenekleri inceleyelim:
- A) Tüm açıları eşittir. (Doğru, ama eksik)
- B) Tüm kenar uzunlukları eşittir. (Doğru, ama eksik)
- C) Hem tüm açıları hem de tüm kenar uzunlukları eşittir. (Bu, eşliğin tam tanımıdır.)
- D) Sadece iki kenar uzunluğu eşittir. (Bu, eşlik için yeterli değildir.)
Örnek 8:
Bir binanın penceresinin bir modelini yapıyorsunuz. Gerçek pencerenin yüksekliği 2 metre ve genişliği 1.5 metredir.
Yaptığınız model pencerenin yüksekliği 20 cm ise, model pencerenin genişliği kaç cm olmalıdır ki, model gerçek pencere ile benzer olsun?
Yaptığınız model pencerenin yüksekliği 20 cm ise, model pencerenin genişliği kaç cm olmalıdır ki, model gerçek pencere ile benzer olsun?
Çözüm:
- Model ve gerçek pencere benzer olmalıdır. Bu, kenar uzunlukları arasındaki oranın sabit olması gerektiği anlamına gelir.
- Gerçek pencerenin boyutları: Yükseklik = 2 m, Genişlik = 1.5 m
- Model pencerenin boyutları: Yükseklik = 20 cm, Genişlik = \( x \) cm (bulmamız gereken değer)
- Öncelikle birimleri aynı yapalım. Gerçek pencerenin boyutlarını santimetreye çevirelim:
- Gerçek Yükseklik = \( 2 \) m \( \times 100 \) cm/m = \( 200 \) cm
- Gerçek Genişlik = \( 1.5 \) m \( \times 100 \) cm/m = \( 150 \) cm
- Şimdi benzerlik oranını kurabiliriz. Modelin yüksekliğinin gerçek yüksekliğe oranı, modelin genişliğinin gerçek genişliğe oranına eşit olmalıdır:
- \( \frac{\text{Model Yükseklik}}{\text{Gerçek Yükseklik}} = \frac{\text{Model Genişlik}}{\text{Gerçek Genişlik}} \)
- \( \frac{20 \text{ cm}}{200 \text{ cm}} = \frac{x \text{ cm}}{150 \text{ cm}} \)
- Bu denklemi \( x \) için çözelim:
- \( \frac{1}{10} = \frac{x}{150} \)
- \( x = \frac{150}{10} \)
- \( x = 15 \) cm
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( AC = 10 \) cm'dir. Bu üçgenin benzeri olan bir DEF üçgeninin çevresi \( 60 \) cm'dir.
DEF üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz.
DEF üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
- Önce ABC üçgeninin çevresini hesaplayalım:
- Çevre(ABC) = \( AB + BC + AC \)
- Çevre(ABC) = \( 6 + 8 + 10 \) cm
- Çevre(ABC) = \( 24 \) cm
- İki üçgen benzer olduğunda, çevreleri arasındaki oran da kenar uzunlukları arasındaki orana eşittir.
- DEF üçgeninin çevresi = \( 60 \) cm.
- Benzerlik oranı (k), DEF üçgeninin çevresinin ABC üçgeninin çevresine oranıdır:
- \( k = \frac{\text{Çevre(DEF)}}{\text{Çevre(ABC)}} = \frac{60 \text{ cm}}{24 \text{ cm}} \)
- \( k = \frac{60}{24} = \frac{5 \times 12}{2 \times 12} = \frac{5}{2} \)
- Bu, DEF üçgeninin her kenarının, ABC üçgeninin karşılık gelen kenarının \( \frac{5}{2} \) katı olduğu anlamına gelir.
- Şimdi DEF üçgeninin kenar uzunluklarını bulalım:
- \( DE = AB \times k = 6 \times \frac{5}{2} = 3 \times 5 = 15 \) cm
- \( EF = BC \times k = 8 \times \frac{5}{2} = 4 \times 5 = 20 \) cm
- \( DF = AC \times k = 10 \times \frac{5}{2} = 5 \times 5 = 25 \) cm
- Kontrol edelim: DEF üçgeninin çevresi \( 15 + 20 + 25 = 60 \) cm'dir. Bu, verilen bilgiyle uyumludur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-ve-benzerlik-ile-geometrik-donusumler/sorular