💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik Günlük Hayat Problem Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
🌳☀️ Bir ağacın boyunu ölçmek isteyen Ali, 1.70 metre boyundadır. Güneşli bir günde Ali'nin gölgesinin boyu 2.55 metre iken, aynı anda ağacın gölgesinin boyu 15 metre olarak ölçülmüştür. Buna göre ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm ve Açıklama
Bu tür problemlerde, güneş ışınlarının aynı açıyla gelmesi nedeniyle, hem Ali hem de ağaç ile gölgeleri arasında benzer üçgenler oluşur. Bu benzerliği kullanarak ağacın boyunu bulabiliriz.
📌 Adım 1: Benzerlik oranını kuralım.
Ağacın boyu (\(x\)) ve Ali'nin boyu ile gölge boyları arasında bir oran vardır:
🏙️👁️ Bir binanın yüksekliğini tahmin etmek isteyen Ayşe, yerden 1.5 metre yükseklikteki göz hizasından, binadan bir miktar uzaklığa küçük bir ayna yerleştiriyor. Aynaya baktığında binanın en üst noktasını görebiliyor. Ayşe'nin aynaya olan uzaklığı 2 metre, aynanın binaya olan uzaklığı ise 18 metredir. Binanın yüksekliği kaç metredir? (Aynaya düşen ışınların geliş açısı, yansıma açısına eşittir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, aynadan yansıyan ışınlar sayesinde Ayşe'nin gözü ile ayna ve bina ile ayna arasında benzer dik üçgenler oluşur. Işığın yansıma yasası (geliş açısı = yansıma açısı) benzerliği sağlamamızı sağlar.
📌 Adım 1: Benzerlik oranını belirleyelim.
Ayşe'nin göz yüksekliği ile aynaya olan uzaklığı arasındaki oran, binanın yüksekliği (\(x\)) ile aynaya olan uzaklığı arasındaki orana eşittir:
💡 Adım 2: Verilen değerleri formüle yerleştirelim.
\[ \frac{1.5}{2} = \frac{x}{18} \]
✅ Adım 3: Denklemi çözerek binanın yüksekliğini bulalım.
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 2 \times x = 1.5 \times 18 \]
\[ 2x = 27 \]
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ x = \frac{27}{2} \]
\[ x = 13.5 \]
👉 Buna göre, binanın yüksekliği 13.5 metredir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
🗺️📍 Bir haritada iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000 olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek mesafe kaç kilometredir?
Çözüm ve Açıklama
Harita ölçeği, haritadaki bir uzunluğun gerçekteki karşılığına oranını gösterir. Bu, aslında bir benzerlik oranıdır.
✅ Adım 3: Gerçek uzunluğu santimetre cinsinden bulalım.
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
Gerçek Uzunluk \( = 5 \times 200.000 \text{ cm} \)
Gerçek Uzunluk \( = 1.000.000 \text{ cm} \)
➡️ Adım 4: Santimetreyi kilometreye çevirelim.
Biliyoruz ki:
1 metre = 100 cm
1 kilometre = 1000 metre = \( 1000 \times 100 \text{ cm} = 100.000 \text{ cm} \)
Şimdi bulduğumuz santimetre değerini kilometreye çevirelim:
Gerçek Uzunluk \( = \frac{1.000.000}{100.000} \text{ km} \)
Gerçek Uzunluk \( = 10 \text{ km} \)
👉 İki şehir arasındaki gerçek mesafe 10 kilometredir.
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
📸🖼️ Bir fotoğrafçı, kenar uzunlukları 6 cm ve 9 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir fotoğrafı büyütmek istiyor. Büyütme sonucunda fotoğrafın kısa kenarı 10 cm olduğuna göre, uzun kenarı kaç cm olur? Bu iki fotoğraf benzer midir?
Çözüm ve Açıklama
Bir fotoğrafı büyütmek veya küçültmek, fotoğrafın oranlarını koruduğu sürece benzerlik ilkesine dayanır. Bu durumda, orijinal fotoğraf ile büyütülmüş fotoğraf benzer dikdörtgenler olacaktır.
📌 Adım 1: Benzer dikdörtgenlerin kenar oranlarının eşit olduğunu kullanalım.
Orijinal fotoğrafın kenar oranları, büyütülmüş fotoğrafın kenar oranlarına eşit olmalıdır:
\[ \frac{\text{Orijinal Kısa Kenar}}{\text{Orijinal Uzun Kenar}} = \frac{\text{Yeni Kısa Kenar}}{\text{Yeni Uzun Kenar}} \]
💡 Adım 2: Bilinen değerleri formüle yerleştirelim.
Orijinal fotoğrafın kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 9 cm. Yeni fotoğrafın kısa kenarı 10 cm, uzun kenarı \(x\) cm:
\[ \frac{6}{9} = \frac{10}{x} \]
✅ Adım 3: Denklemi çözerek yeni uzun kenarı bulalım.
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 6 \times x = 9 \times 10 \]
\[ 6x = 90 \]
Her iki tarafı 6'ya bölelim:
\[ x = \frac{90}{6} \]
\[ x = 15 \]
👉 Büyütülmüş fotoğrafın uzun kenarı 15 cm olur.
👉 Kenar oranları eşit olduğu için (her iki durumda da \( \frac{2}{3} \)) ve dikdörtgenlerin tüm açıları 90° olduğu için, evet, bu iki fotoğraf benzerdir.
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
🪜📐 Bir marangoz, iki farklı merdiven tasarlıyor. Birinci merdiven, zeminden 2 metre yükseklikteki bir duvara dayanıyor ve zemindeki dayandığı nokta duvardan 1.5 metre uzaktadır. İkinci merdiven ise zeminden 3 metre yükseklikteki bir duvara dayanıyor ve birinci merdivenle aynı eğime sahiptir. İkinci merdivenin zemindeki dayandığı nokta duvardan ne kadar uzaktadır?
Çözüm ve Açıklama
Merdiven, dayandığı duvar ve zemin arasında bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin eğiminin aynı olması, bu iki dik üçgenin benzer olduğu anlamına gelir. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunluklarının oranları eşittir.
📌 Adım 1: Birinci merdiven için oluşan dik üçgenin kenarlarını belirleyelim.
Duvar yüksekliği (karşı kenar): 2 metre
Zemindeki uzaklık (komşu kenar): 1.5 metre
💡 Adım 2: İkinci merdiven için oluşan dik üçgenin kenarlarını belirleyelim.
Duvar yüksekliği (karşı kenar): 3 metre
Zemindeki uzaklık (komşu kenar): \(x\) metre (bulmak istediğimiz değer)
✅ Adım 3: Benzerlik oranını kurarak denklemi çözelim.
Yüksekliklerin oranı, zemindeki uzaklıkların oranına eşit olmalıdır:
✅ Adım 3: Denklemi çözerek model arabanın uzunluğunu bulalım.
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 24 \times x = 1 \times 480 \]
\[ 24x = 480 \]
Her iki tarafı 24'e bölelim:
\[ x = \frac{480}{24} \]
\[ x = 20 \]
👉 Model arabanın uzunluğu 20 santimetredir.
7
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
🖼️✨ Kenar uzunlukları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklinde bir resim, kenar uzunlukları 40 cm ve 60 cm olan başka bir dikdörtgen çerçeveye tam olarak sığmaktadır. Bu resim ve çerçeve benzer midir? Eğer benzerlerse, benzerlik oranı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
İki dikdörtgenin benzer olabilmesi için, karşılıklı kenar uzunlukları oranlarının birbirine eşit olması gerekir.
📌 Adım 1: Resmin kısa kenarının çerçevenin kısa kenarına oranını bulalım.
\( \frac{\text{Resmin Kısa Kenarı}}{\text{Çerçevenin Kısa Kenarı}} = \frac{20 \text{ cm}}{40 \text{ cm}} = \frac{1}{2} \)
💡 Adım 2: Resmin uzun kenarının çerçevenin uzun kenarına oranını bulalım.
\( \frac{\text{Resmin Uzun Kenarı}}{\text{Çerçevenin Uzun Kenarı}} = \frac{30 \text{ cm}}{60 \text{ cm}} = \frac{1}{2} \)
✅ Adım 3: Oranları karşılaştıralım ve benzerlik durumunu belirleyelim.
Her iki oran da \( \frac{1}{2} \) olduğu için, kenar uzunlukları oranları birbirine eşittir.
Dikdörtgenlerin tüm iç açıları 90 derece olduğu için de açılar da zaten eşittir.
👉 Bu nedenle, resim ve çerçeve benzerdir.
👉 Benzerlik oranı ise \( \frac{1}{2} \)'dir (resimden çerçeveye doğru oranlandığında).
8
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
🌷🌿 Bir parkta, iki eş üçgen şeklinde çiçek tarhı bulunmaktadır. Birinci tarhın kenar uzunlukları 5 metre, 7 metre ve 8 metredir. İkinci tarhın kenar uzunlukları da aynıdır. Eğer bu iki tarhın şekilleri ve büyüklükleri tamamen aynı ise, bu üçgenler arasındaki ilişki nedir? Neden?
Çözüm ve Açıklama
Geometride, iki şeklin "eş" olması, onların hem şekil hem de boyut olarak tamamen aynı oldukları anlamına gelir.
📌 Adım 1: Verilen bilgiyi analiz edelim.
Birinci üçgenin kenar uzunlukları: 5 m, 7 m, 8 m.
İkinci üçgenin kenar uzunlukları: 5 m, 7 m, 8 m (aynı olduğu belirtilmiş).
💡 Adım 2: Eşlik tanımını hatırlayalım.
İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları ve tüm iç açıları birbirine eşitse, bu üçgenlere eş üçgenler (kongrüent üçgenler) denir.
✅ Adım 3: Sonucu belirleyelim.
Her iki çiçek tarhı da aynı kenar uzunluklarına sahip olduğu için, bu üçgenler eş üçgenlerdir.
👉 Eş üçgenler aynı zamanda benzerdir, ancak benzerlik oranı 1'dir. Eşlik, benzerliğin özel bir durumudur ve şekillerin büyüklüklerinin de aynı olduğunu vurgular.
9. Sınıf Matematik: Eşlik Ve Benzerlik Günlük Hayat Problem Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
🌳☀️ Bir ağacın boyunu ölçmek isteyen Ali, 1.70 metre boyundadır. Güneşli bir günde Ali'nin gölgesinin boyu 2.55 metre iken, aynı anda ağacın gölgesinin boyu 15 metre olarak ölçülmüştür. Buna göre ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
Bu tür problemlerde, güneş ışınlarının aynı açıyla gelmesi nedeniyle, hem Ali hem de ağaç ile gölgeleri arasında benzer üçgenler oluşur. Bu benzerliği kullanarak ağacın boyunu bulabiliriz.
📌 Adım 1: Benzerlik oranını kuralım.
Ağacın boyu (\(x\)) ve Ali'nin boyu ile gölge boyları arasında bir oran vardır:
🏙️👁️ Bir binanın yüksekliğini tahmin etmek isteyen Ayşe, yerden 1.5 metre yükseklikteki göz hizasından, binadan bir miktar uzaklığa küçük bir ayna yerleştiriyor. Aynaya baktığında binanın en üst noktasını görebiliyor. Ayşe'nin aynaya olan uzaklığı 2 metre, aynanın binaya olan uzaklığı ise 18 metredir. Binanın yüksekliği kaç metredir? (Aynaya düşen ışınların geliş açısı, yansıma açısına eşittir.)
Çözüm:
Bu problemde, aynadan yansıyan ışınlar sayesinde Ayşe'nin gözü ile ayna ve bina ile ayna arasında benzer dik üçgenler oluşur. Işığın yansıma yasası (geliş açısı = yansıma açısı) benzerliği sağlamamızı sağlar.
📌 Adım 1: Benzerlik oranını belirleyelim.
Ayşe'nin göz yüksekliği ile aynaya olan uzaklığı arasındaki oran, binanın yüksekliği (\(x\)) ile aynaya olan uzaklığı arasındaki orana eşittir:
💡 Adım 2: Verilen değerleri formüle yerleştirelim.
\[ \frac{1.5}{2} = \frac{x}{18} \]
✅ Adım 3: Denklemi çözerek binanın yüksekliğini bulalım.
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 2 \times x = 1.5 \times 18 \]
\[ 2x = 27 \]
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ x = \frac{27}{2} \]
\[ x = 13.5 \]
👉 Buna göre, binanın yüksekliği 13.5 metredir.
Örnek 3:
🗺️📍 Bir haritada iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000 olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek mesafe kaç kilometredir?
Çözüm:
Harita ölçeği, haritadaki bir uzunluğun gerçekteki karşılığına oranını gösterir. Bu, aslında bir benzerlik oranıdır.
✅ Adım 3: Gerçek uzunluğu santimetre cinsinden bulalım.
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
Gerçek Uzunluk \( = 5 \times 200.000 \text{ cm} \)
Gerçek Uzunluk \( = 1.000.000 \text{ cm} \)
➡️ Adım 4: Santimetreyi kilometreye çevirelim.
Biliyoruz ki:
1 metre = 100 cm
1 kilometre = 1000 metre = \( 1000 \times 100 \text{ cm} = 100.000 \text{ cm} \)
Şimdi bulduğumuz santimetre değerini kilometreye çevirelim:
Gerçek Uzunluk \( = \frac{1.000.000}{100.000} \text{ km} \)
Gerçek Uzunluk \( = 10 \text{ km} \)
👉 İki şehir arasındaki gerçek mesafe 10 kilometredir.
Örnek 4:
📸🖼️ Bir fotoğrafçı, kenar uzunlukları 6 cm ve 9 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir fotoğrafı büyütmek istiyor. Büyütme sonucunda fotoğrafın kısa kenarı 10 cm olduğuna göre, uzun kenarı kaç cm olur? Bu iki fotoğraf benzer midir?
Çözüm:
Bir fotoğrafı büyütmek veya küçültmek, fotoğrafın oranlarını koruduğu sürece benzerlik ilkesine dayanır. Bu durumda, orijinal fotoğraf ile büyütülmüş fotoğraf benzer dikdörtgenler olacaktır.
📌 Adım 1: Benzer dikdörtgenlerin kenar oranlarının eşit olduğunu kullanalım.
Orijinal fotoğrafın kenar oranları, büyütülmüş fotoğrafın kenar oranlarına eşit olmalıdır:
\[ \frac{\text{Orijinal Kısa Kenar}}{\text{Orijinal Uzun Kenar}} = \frac{\text{Yeni Kısa Kenar}}{\text{Yeni Uzun Kenar}} \]
💡 Adım 2: Bilinen değerleri formüle yerleştirelim.
Orijinal fotoğrafın kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 9 cm. Yeni fotoğrafın kısa kenarı 10 cm, uzun kenarı \(x\) cm:
\[ \frac{6}{9} = \frac{10}{x} \]
✅ Adım 3: Denklemi çözerek yeni uzun kenarı bulalım.
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 6 \times x = 9 \times 10 \]
\[ 6x = 90 \]
Her iki tarafı 6'ya bölelim:
\[ x = \frac{90}{6} \]
\[ x = 15 \]
👉 Büyütülmüş fotoğrafın uzun kenarı 15 cm olur.
👉 Kenar oranları eşit olduğu için (her iki durumda da \( \frac{2}{3} \)) ve dikdörtgenlerin tüm açıları 90° olduğu için, evet, bu iki fotoğraf benzerdir.
Örnek 5:
🪜📐 Bir marangoz, iki farklı merdiven tasarlıyor. Birinci merdiven, zeminden 2 metre yükseklikteki bir duvara dayanıyor ve zemindeki dayandığı nokta duvardan 1.5 metre uzaktadır. İkinci merdiven ise zeminden 3 metre yükseklikteki bir duvara dayanıyor ve birinci merdivenle aynı eğime sahiptir. İkinci merdivenin zemindeki dayandığı nokta duvardan ne kadar uzaktadır?
Çözüm:
Merdiven, dayandığı duvar ve zemin arasında bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin eğiminin aynı olması, bu iki dik üçgenin benzer olduğu anlamına gelir. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunluklarının oranları eşittir.
📌 Adım 1: Birinci merdiven için oluşan dik üçgenin kenarlarını belirleyelim.
Duvar yüksekliği (karşı kenar): 2 metre
Zemindeki uzaklık (komşu kenar): 1.5 metre
💡 Adım 2: İkinci merdiven için oluşan dik üçgenin kenarlarını belirleyelim.
Duvar yüksekliği (karşı kenar): 3 metre
Zemindeki uzaklık (komşu kenar): \(x\) metre (bulmak istediğimiz değer)
✅ Adım 3: Benzerlik oranını kurarak denklemi çözelim.
Yüksekliklerin oranı, zemindeki uzaklıkların oranına eşit olmalıdır:
✅ Adım 3: Denklemi çözerek model arabanın uzunluğunu bulalım.
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 24 \times x = 1 \times 480 \]
\[ 24x = 480 \]
Her iki tarafı 24'e bölelim:
\[ x = \frac{480}{24} \]
\[ x = 20 \]
👉 Model arabanın uzunluğu 20 santimetredir.
Örnek 7:
🖼️✨ Kenar uzunlukları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklinde bir resim, kenar uzunlukları 40 cm ve 60 cm olan başka bir dikdörtgen çerçeveye tam olarak sığmaktadır. Bu resim ve çerçeve benzer midir? Eğer benzerlerse, benzerlik oranı kaçtır?
Çözüm:
İki dikdörtgenin benzer olabilmesi için, karşılıklı kenar uzunlukları oranlarının birbirine eşit olması gerekir.
📌 Adım 1: Resmin kısa kenarının çerçevenin kısa kenarına oranını bulalım.
\( \frac{\text{Resmin Kısa Kenarı}}{\text{Çerçevenin Kısa Kenarı}} = \frac{20 \text{ cm}}{40 \text{ cm}} = \frac{1}{2} \)
💡 Adım 2: Resmin uzun kenarının çerçevenin uzun kenarına oranını bulalım.
\( \frac{\text{Resmin Uzun Kenarı}}{\text{Çerçevenin Uzun Kenarı}} = \frac{30 \text{ cm}}{60 \text{ cm}} = \frac{1}{2} \)
✅ Adım 3: Oranları karşılaştıralım ve benzerlik durumunu belirleyelim.
Her iki oran da \( \frac{1}{2} \) olduğu için, kenar uzunlukları oranları birbirine eşittir.
Dikdörtgenlerin tüm iç açıları 90 derece olduğu için de açılar da zaten eşittir.
👉 Bu nedenle, resim ve çerçeve benzerdir.
👉 Benzerlik oranı ise \( \frac{1}{2} \)'dir (resimden çerçeveye doğru oranlandığında).
Örnek 8:
🌷🌿 Bir parkta, iki eş üçgen şeklinde çiçek tarhı bulunmaktadır. Birinci tarhın kenar uzunlukları 5 metre, 7 metre ve 8 metredir. İkinci tarhın kenar uzunlukları da aynıdır. Eğer bu iki tarhın şekilleri ve büyüklükleri tamamen aynı ise, bu üçgenler arasındaki ilişki nedir? Neden?
Çözüm:
Geometride, iki şeklin "eş" olması, onların hem şekil hem de boyut olarak tamamen aynı oldukları anlamına gelir.
📌 Adım 1: Verilen bilgiyi analiz edelim.
Birinci üçgenin kenar uzunlukları: 5 m, 7 m, 8 m.
İkinci üçgenin kenar uzunlukları: 5 m, 7 m, 8 m (aynı olduğu belirtilmiş).
💡 Adım 2: Eşlik tanımını hatırlayalım.
İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları ve tüm iç açıları birbirine eşitse, bu üçgenlere eş üçgenler (kongrüent üçgenler) denir.
✅ Adım 3: Sonucu belirleyelim.
Her iki çiçek tarhı da aynı kenar uzunluklarına sahip olduğu için, bu üçgenler eş üçgenlerdir.
👉 Eş üçgenler aynı zamanda benzerdir, ancak benzerlik oranı 1'dir. Eşlik, benzerliğin özel bir durumudur ve şekillerin büyüklüklerinin de aynı olduğunu vurgular.