💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik çıkarım ve teoremleri Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olabilmesi için aşağıdaki şartlardan birinin sağlanması yeterlidir:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarların arasındaki açıları eş ise, bu iki üçgen eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin ikişer açısı ve bu açıların arasındaki kenarları eş ise, bu iki üçgen eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin üç kenarı da karşılıklı olarak eş ise, bu iki üçgen eştir.
• Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşliği: İki üçgenin ikişer açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarı eş ise, bu iki üçgen eştir. (Bu durum AKA eşliğinin bir sonucudur.)

📌 Unutmayın, sadece iki açıları veya sadece iki kenarları eşit olan üçgenler eş olmak zorunda değildir.

Verilen bilgilere göre:

• ABC üçgeninde \( AB \) kenarı, DEF üçgeninde \( DE \) kenarına eşittir (\( AB = DE = 5 \) cm).
• ABC üçgeninde \( BC \) kenarı, DEF üçgeninde \( EF \) kenarına eşittir (\( BC = EF = 7 \) cm).
• Bu iki kenarın arasındaki \( \angle ABC \) açısı, \( \angle DEF \) açısına eşittir (\( \angle ABC = \angle DEF = 60^\circ \)).

Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nı sağlar. Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. \[ \triangle ABC \cong \triangle DEF \]

İki üçgenin benzer olması demek, karşılıklı açıları eş olan ve karşılıklı kenarlarının oranları sabit olan üçgenler demektir. Benzer üçgenlerde bir üçgenin diğerine göre ölçeklenmiş bir kopyası söz konusudur. 👉

İki üçgenin de karşılıklı açıları eşittir:

• \( \angle A = \angle D = 50^\circ \)
• \( \angle B = \angle E = 70^\circ \)
• \( \angle C = \angle F = 60^\circ \)

Bu durum, Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'nı sağlar. Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı 1'e eşittir, bu da bu üçgenlerin aslında eş olduğu anlamına gelir. \[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \]

Bu problemi benzerlik prensibi ile çözebiliriz. Fotoğraf makinesindeki görüntü boyutu ile gerçek boyut arasındaki oran sabittir.

• Oran 1 (Çubuk için):
• Gerçek çubuk boyu: 1.5 m = 150 cm
• Fotoğraftaki çubuk görüntüsü: 3 cm
• Oran = \( \frac{3 \text{ cm}}{150 \text{ cm}} = \frac{1}{50} \)
• Oran 2 (Anıt için):
• Gerçek anıt boyu: 12 m = 1200 cm
• Fotoğraftaki anıt görüntüsü: \( x \) cm (bulmamız gereken)
• Oran = \( \frac{x \text{ cm}}{1200 \text{ cm}} \)
• Benzerlik oranları eşit olmalıdır:
\[ \frac{1}{50} = \frac{x}{1200} \]
• Denklemi \( x \) için çözelim:
\[ x = \frac{1200}{50} \] \[ x = 24 \]

Dolayısıyla, anıtın fotoğraf makinesinde oluşacak görüntüsü 24 cm olacaktır. ✅

ABCD bir paralelkenar olduğundan, köşegenler birbirini ortalar. Bu, \( E \) noktasının hem \( AC \) hem de \( BD \) köşegenlerinin orta noktası olduğu anlamına gelir.

• Verilen bilgilere göre \( AE = 10 \) birim.
• Köşegenler birbirini ortaladığı için \( CE \) de \( AE \) 'ye eşit olmalıdır. Soruda \( CE = 10 \) birim olarak verilmiş, bu da bu özelliği destekler.
• \( AC \) köşegeninin tamamı, \( AE \) ve \( CE \) 'nin toplamıdır.
\[ AC = AE + CE \] \[ AC = 10 \text{ birim} + 10 \text{ birim} \] \[ AC = 20 \text{ birim} \]

Bu durumda \( AC \) köşegeninin uzunluğu 20 birimdir. Bu soru, eşlik kavramının bir uygulamasıdır çünkü \( \triangle ABE \cong \triangle CDE \) ve \( \triangle BCE \cong \triangle DAE \) gibi eş üçgenler söz konusudur.

Ölçek, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçek uzunluğa oranını gösterir.

• Ölçek: 1:200.000
• Bu şu anlama gelir: Haritada 1 cm olan bir uzunluk, gerçekte 200.000 cm'dir.
• Harita üzerindeki şehirler arası uzaklık: 5 cm
• Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki uzaklığı ölçekteki ikinci sayıyla çarparız:
\[ \text{Gerçek Uzaklık (cm)} = 5 \text{ cm} \times 200.000 \] \[ \text{Gerçek Uzaklık (cm)} = 1.000.000 \text{ cm} \]
• Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirelim:
• 1 km = 100.000 cm
• Gerçek Uzaklık (km) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
• Gerçek Uzaklık (km) = 10 km

Dolayısıyla, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık 10 km'dir. Bu, ölçeklendirme yoluyla benzerlik prensibinin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. ✅

Verilen ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( AB = 6 \), \( BC = 8 \), \( AC = 10 \). Yeni çizilecek BCD üçgeninin kenar uzunlukları, ABC üçgeninin kenar uzunluklarının yarısıdır:

• \( BD = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm
• \( CD = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) cm
• \( BD = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) cm (Burada bir hata yapılmış, BCD üçgeni için kenarlar BD, CD ve BC olmalı. Eğer BC kenarı ortak ise, o zaman BCD üçgeninin kenarları \( BD = 3 \), \( CD = 4 \) ve \( BC = 8 \) olmalıdır. Ancak soruda "kenar uzunluklarının yarısı kadar kenar uzunluklarına sahip bir BCD üçgeni" denilmiş. Bu ifade biraz belirsiz. En makul yorum, BCD üçgeninin kenarlarının ABC'nin kenarlarının yarısı olmasıdır. Bu durumda, BCD üçgeninin kenarları 3, 4 ve 5 olmalıdır. Bu da \( BC \) kenarının 8 değil 5 olması gerektiği anlamına gelir. Varsayalım ki BCD üçgeninin kenarları 3, 4, 5'tir.)

Varsayılan BCD üçgeninin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olsun. ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Şimdi bu iki üçgenin kenar uzunlukları oranına bakalım:

• \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Her üç kenar oranının da \( \frac{1}{2} \) olması, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı'nı sağlar. Dolayısıyla, ABC üçgeni ile BCD üçgeni benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'dir. Bu, BCD üçgeninin ABC üçgeninin ölçeklenmiş bir versiyonu olduğu anlamına gelir. 👉