🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. AB kenarının uzunluğu 5 cm, BC kenarının uzunluğu 7 cm ve B açısının ölçüsü \( 60^\circ \) dir. DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu 5 cm, EF kenarının uzunluğu 7 cm ve E açısının ölçüsü \( 60^\circ \) dir. Bu iki üçgen eş midir? Eş ise hangi eşlik kuralına göre eştirler?
Çözüm:
- 👉 Öncelikle, verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim:
- ABC üçgeni için: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \)
- DEF üçgeni için: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \)
- 💡 İki üçgenin eş olup olmadığını anlamak için eşlik kurallarını hatırlayalım. Bu durumda, iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü eşit olarak verilmiştir.
- 📌 Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'na tamamen uymaktadır.
- ✅ Çünkü:
- \( |AB| = |DE| = 5 \) cm (1. Kenar)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 60^\circ \) (Açı)
- \( |BC| = |EF| = 7 \) cm (2. Kenar)
- Sonuç olarak, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir ve bu eşlik \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. Eşlik kuralı KAK'tır.
Örnek 2:
Bir ABCD dörtgeninde, AC köşegeni çizilmiştir. AB kenarı DC kenarına paraleldir ( \( AB \parallel DC \) ). Bu dörtgende, \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCA}) \) olduğu bilinmektedir. Eğer \( |AB| = 8 \) cm ve \( |AD| = 6 \) cm ise, \( |BC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 👉 Verilen bilgilere göre, iki üçgeni inceleyelim: \( \triangle ABC \) ve \( \triangle CDA \).
- 📌 Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı'nı kullanarak bu üçgenlerin eş olup olmadığını kontrol edebiliriz.
- Verilenler ve çıkarımlar:
- \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCA}) \) (Soruda verilmiş)
- \( |AC| = |CA| \) (Bu kenar her iki üçgen için de ortak kenardır.)
- \( AB \parallel DC \) olduğu için, iç ters açılardan \( m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{CAD}) \) dir.
- 💡 Gördüğümüz gibi, iki açı ve bu açılar arasındaki kenar her iki üçgende de eşittir. Bu durumda, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle CDA \) üçgenleri AKA eşlik kuralına göre eştir: \( \triangle ABC \cong \triangle CDA \).
- Eş üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları eşit olmalıdır.
- ✅ Dolayısıyla:
- \( |AB| = |CD| = 8 \) cm
- \( |BC| = |DA| \)
- Soruda \( |AD| = 6 \) cm olarak verilmiştir.
- Bu durumda, \( |BC| \) uzunluğu da \( |DA| \) uzunluğuna eşit olacağı için, \( |BC| = 6 \) cm'dir.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) dir. DEF üçgeninde ise D açısının ölçüsü \( 70^\circ \), F açısının ölçüsü \( 60^\circ \) dir. Bu iki üçgen benzer midir? Benzer ise hangi benzerlik kuralına göre benzerdirler?
Çözüm:
- 👉 Öncelikle, verilmeyen açıları bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) dir.
- ABC üçgeni için:
- \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- DEF üçgeni için:
- \( m(\widehat{D}) = 70^\circ \)
- \( m(\widehat{F}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{E}) = 180^\circ - (70^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
- 💡 Şimdi her iki üçgenin karşılıklı açılarını karşılaştıralım:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 70^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 60^\circ \)
- 📌 İki üçgenin karşılıklı tüm açılarının ölçüleri eşit olduğu için, bu üçgenler Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir. Unutmayın, iki açının eşit olması, üçüncü açının da otomatik olarak eşit olmasını sağlar.
- ✅ Benzerlik \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterilir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 👉 Verilen bilgilere göre, \( DE \parallel BC \) olduğu için Temel Orantı Teoremi'ni uygulayabiliriz.
- 📌 Bu teorem, bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğrunun, diğer iki kenarı orantılı böldüğünü belirtir.
- Yani, aşağıdaki oran eşitliği geçerlidir: \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
- Verilen değerleri bu eşitlikte yerine yazalım: \[ \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} \]
- 💡 Öncelikle sol taraftaki oranı sadeleştirelim: \[ \frac{2}{3} = \frac{3}{|EC|} \]
- Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak \( |EC| \) uzunluğunu bulalım: \[ 2 \times |EC| = 3 \times 3 \] \[ 2 \times |EC| = 9 \]
- \( |EC| \) uzunluğunu yalnız bırakmak için 9'u 2'ye bölelim: \[ |EC| = \frac{9}{2} = 4.5 \]
- ✅ Sonuç olarak, \( |EC| \) uzunluğu 4.5 cm'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. AB kenarının uzunluğu 6 birim, AC kenarının uzunluğu 9 birim ve A açısının ölçüsü \( 40^\circ \) dir. DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu 4 birim, DF kenarının uzunluğu 6 birim ve D açısının ölçüsü \( 40^\circ \) dir. Bu iki üçgen benzer midir? Benzer ise benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
- 👉 İki üçgenin benzer olup olmadığını kontrol etmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
- Bu kurala göre, iki üçgenin karşılıklı iki kenarının oranları eşitse ve bu kenarlar arasındaki açılar da eşitse, üçgenler benzerdir.
- Verilen açı bilgisi:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 40^\circ \) (Açılar eşit)
- Şimdi karşılıklı kenarların oranlarına bakalım:
- 1. Kenar çifti için oran: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
- 2. Kenar çifti için oran: \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- 💡 Gördüğümüz gibi, karşılıklı kenar çiftlerinin oranları birbirine eşittir (her ikisi de \( \frac{3}{2} \)). Ayrıca, bu oranların arasındaki açılar da eşittir ( \( 40^\circ \) ).
- 📌 Bu durum, KAK Benzerlik Kuralı'nın şartlarını sağlar.
- ✅ Dolayısıyla, \( \triangle ABC \) ile \( \triangle DEF \) üçgenleri benzerdir: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \). Benzerlik oranı ise \( \frac{3}{2} \) dir.
Örnek 6:
Bir mimar, tasarladığı bir binanın maketini yapmıştır. Maket, binanın gerçek boyutlarının \( \frac{1}{200} \) oranında küçültülmüş halidir. Eğer maketin taban alanı \( 120 \) cm\(^2 \) ise, binanın gerçek taban alanı kaç metrekaredir?
Çözüm:
- 👉 Bu bir benzerlik problemidir. Maket ile gerçek bina benzerdir ve benzerlik oranı \( k = \frac{1}{200} \) olarak verilmiştir.
- 📌 Benzer iki şeklin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Yani, aşağıdaki formülü kullanırız: \[ \frac{Alan_{maket}}{Alan_{gerçek}} = k^2 \]
- Verilenler:
- Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{200} \)
- Maketin taban alanı \( Alan_{maket} = 120 \) cm\(^2 \)
- Öncelikle benzerlik oranının karesini hesaplayalım: \[ k^2 = \left(\frac{1}{200}\right)^2 = \frac{1^2}{200^2} = \frac{1}{40000} \]
- Şimdi bu değeri formülde yerine yazalım: \[ \frac{120}{Alan_{gerçek}} = \frac{1}{40000} \]
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( Alan_{gerçek} \) değerini bulalım: \[ Alan_{gerçek} = 120 \times 40000 \] \[ Alan_{gerçek} = 4800000 cm^2 \]
- 💡 Soruda gerçek alanın metrekare cinsinden istendiğine dikkat edelim. Bir metrekare \( 100 \times 100 = 10000 \) cm\(^2 \) dir.
- Santimetrekareyi metrekareye çevirmek için \( 10000 \) ile böleriz: \[ Alan_{gerçek} = \frac{4800000}{10000} \] \[ Alan_{gerçek} = 480 m^2 \]
- ✅ Binanın gerçek taban alanı 480 metrekaredir.
Örnek 7:
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki Ali'nin gölgesinin uzunluğu 2.7 metredir. Aynı anda, bir ağacın gölgesinin uzunluğu 18.2 metredir. Ağacın boyu kaç metredir? (Ali ile ağaç aynı düzlemde ve gölgeler aynı yöne düşmektedir.)
Çözüm:
- 👉 Bu tür gölge problemleri, benzer üçgenler prensibiyle çözülür. Güneş ışınları paralel geldiği için, Ali'nin boyu ve gölgesi ile ağacın boyu ve gölgesi arasında benzer dik üçgenler oluşur.
- 💡 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Yani, boyların oranı gölge boylarının oranına eşit olacaktır: \[ \frac{\text{Ali'nin boyu}}{\text{Ali'nin gölge boyu}} = \frac{\text{Ağacın boyu}}{\text{Ağacın gölge boyu}} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım (Ağacın boyuna \( x \) diyelim): \[ \frac{1.8}{2.7} = \frac{x}{18.2} \]
- Öncelikle sol taraftaki oranı sadeleştirelim. Virgüllerden kurtulmak için pay ve paydayı 10 ile çarpabiliriz: \[ \frac{18}{27} = \frac{2 \times 9}{3 \times 9} = \frac{2}{3} \]
- Şimdi denklemi tekrar yazalım: \[ \frac{2}{3} = \frac{x}{18.2} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \times x = 2 \times 18.2 \] \[ 3x = 36.4 \]
- \( x \) değerini bulmak için 36.4'ü 3'e bölelim: \[ x = \frac{36.4}{3} \] \[ x \approx 12.133... \]
- ✅ Ağacın boyu yaklaşık olarak 12.13 metredir.
Örnek 8:
Bir ABCD dikdörtgeni şeklinde bir park bulunmaktadır. Parkın kısa kenarı 60 metre ( \( |AD| = |BC| = 60 \) m) ve uzun kenarı 80 metre ( \( |AB| = |CD| = 80 \) m) dir. Parkın içinde, köşeleri parkın kenarları üzerinde olan benzer iki üçgen şeklinde çiçek bahçesi planlanmıştır. Birinci çiçek bahçesi (küçük üçgen), parkın A köşesinde yer alan bir \( \triangle AEF \) dik üçgenidir. E noktası AD kenarı üzerinde, F noktası AB kenarı üzerindedir. \( |AF| = 20 \) metre ve \( |AE| = 15 \) metredir. İkinci çiçek bahçesi (büyük üçgen) ise parkın C köşesinde yer alan bir \( \triangle CGH \) dik üçgenidir. G noktası BC kenarı üzerinde, H noktası CD kenarı üzerindedir. \( \triangle AEF \) ile \( \triangle CGH \) benzer üçgenlerdir. Buna göre \( |CG| \) ve \( |CH| \) uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
- 👉 Verilenler: ABCD dikdörtgeni, \( |AD| = |BC| = 60 \) m, \( |AB| = |CD| = 80 \) m.
- Birinci çiçek bahçesi \( \triangle AEF \) hakkında:
- A köşesi dik açıdır ( \( m(\widehat{A}) = 90^\circ \) ).
- Dik kenarları: \( |AE| = 15 \) m ve \( |AF| = 20 \) m.
- İkinci çiçek bahçesi \( \triangle CGH \) hakkında:
- C köşesi dik açıdır ( \( m(\widehat{C}) = 90^\circ \) ).
- \( \triangle AEF \sim \triangle CGH \) olduğu belirtilmiştir.
- 💡 İki üçgen benzer olduğu için, karşılıklı kenarlarının oranları eşittir. A ve C köşeleri dik açılar olduğundan, \( |AE| \) kenarı \( |CG| \) kenarına ve \( |AF| \) kenarı \( |CH| \) kenarına karşılık gelir.
- Benzerlik oranına \( k \) diyelim. Bu durumda: \[ k = \frac{|CG|}{|AE|} = \frac{|CH|}{|AF|} \]
- Yani, \( |CG| = k \times |AE| = 15k \) ve \( |CH| = k \times |AF| = 20k \).
- 📌 İkinci üçgenin köşeleri parkın kenarları üzerinde olduğundan, kenar uzunlukları parkın kenarlarını aşamaz:
- \( |CG| \le |BC| \implies 15k \le 60 \)
- \( |CH| \le |CD| \implies 20k \le 80 \)
- Bu eşitsizlikleri çözerek \( k \) için üst sınırı bulalım:
- \( 15k \le 60 \implies k \le \frac{60}{15} \implies k \le 4 \)
- \( 20k \le 80 \implies k \le \frac{80}{20} \implies k \le 4 \)
- Sorudaki "İkinci çiçek bahçesi (büyük üçgen)" ifadesi, benzerlik oranının alabileceği en büyük değeri alması gerektiğini ima eder. Bu durumda benzerlik oranı \( k = 4 \) olmalıdır.
- ✅ Benzerlik oranı \( k = 4 \) olduğunda, \( |CG| \) ve \( |CH| \) uzunluklarını hesaplayabiliriz:
- \( |CG| = 15 \times 4 = 60 \) m
- \( |CH| = 20 \times 4 = 80 \) m
- Bu değerler parkın kenar uzunluklarına (60 m ve 80 m) tam olarak uyduğu için, çözümümüz geçerlidir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-benzerlik/sorular