🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik, Benzerlik ve Üçgen Eşitsizlikleri, Öklid, Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik, Benzerlik ve Üçgen Eşitsizlikleri, Öklid, Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 8 cm, BC kenarı 10 cm ve AC kenarı 12 cm'dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı bulunuz.
💡 Kavram: Üçgen Eşitsizlikleri
📌 Kural: Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açının en büyük, en kısa kenarın karşısındaki açının ise en küçük olduğunu unutmayalım.
💡 Kavram: Üçgen Eşitsizlikleri
📌 Kural: Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açının en büyük, en kısa kenarın karşısındaki açının ise en küçük olduğunu unutmayalım.
Çözüm:
- Adım 1: Verilen kenar uzunluklarını sıralayalım. En kısa kenar AB (8 cm), ortanca kenar BC (10 cm) ve en uzun kenar AC (12 cm)'dir.
- Adım 2: Kenar uzunluklarının karşısındaki açıları belirleyelim.
- AB kenarının karşısındaki açı C açısıdır.
- BC kenarının karşısındaki açı A açısıdır.
- AC kenarının karşısındaki açı B açısıdır.
- Adım 3: Kenar uzunlukları ile açıların büyüklük sıralamasını eşleştirelim.
- En kısa kenar AB'nin karşısındaki C açısı en küçüktür.
- Ortanca kenar BC'nin karşısındaki A açısı ortancadır.
- En uzun kenar AC'nin karşısındaki B açısı en büyüktür.
- Dolayısıyla, açıların sıralaması: \( \hat{C} < \hat{A} < \hat{B} \) şeklindedir.
Örnek 2:
İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları sırasıyla 5 cm, 7 cm, 9 cm ve 10 cm, 14 cm, 18 cm'dir. Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
💡 Kavram: Benzer Üçgenler
📌 Kural: İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
💡 Kavram: Benzer Üçgenler
📌 Kural: İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Çözüm:
- Adım 1: Birinci üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: 5 cm, 7 cm, 9 cm.
- Adım 2: İkinci üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: 10 cm, 14 cm, 18 cm.
- Adım 3: Karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarını hesaplayalım.
- Oran 1: \( \frac{10}{5} = 2 \)
- Oran 2: \( \frac{14}{7} = 2 \)
- Oran 3: \( \frac{18}{9} = 2 \)
- Adım 4: Oranların eşit olup olmadığını kontrol edelim.
- Tüm oranlar \( 2 \) olarak bulunmuştur.
Örnek 3:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 birim ve 8 birim uzunluğundadır. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak hesaplayınız.
💡 Kavram: Pisagor Teoremi
📌 Kural: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
💡 Kavram: Pisagor Teoremi
📌 Kural: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Çözüm:
- Adım 1: Dik kenarları \( a \) ve \( b \), hipotenüsü \( c \) olarak kabul edelim.
- Verilenler: \( a = 6 \) birim, \( b = 8 \) birim.
- Adım 2: Pisagor teoremi formülünü yazalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \).
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \).
- Adım 5: Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \).
- Adım 6: Hipotenüs \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{100} \).
Örnek 4:
Bir parkta bulunan iki ağacın arasındaki mesafe 15 metre, bu ağaçların bir evin duvarına olan uzaklıkları ise sırasıyla 8 metre ve 12 metredir. Eğer evin duvarı ağaçlara dik ise, iki ağacın duvar üzerindeki gölgelerinin arasındaki mesafeyi bulunuz.
💡 Kavram: Pisagor Teoremi (Uygulama)
📌 Kural: Soruyu bir dik üçgen modeliyle görselleştirelim.
💡 Kavram: Pisagor Teoremi (Uygulama)
📌 Kural: Soruyu bir dik üçgen modeliyle görselleştirelim.
Çözüm:
- Adım 1: Soruyu bir dik üçgen problemi olarak kurgulayalım. Ağaçlar arasındaki mesafe, duvar ile ağaçlar arasındaki mesafeler dik kenarları oluşturur.
- Bir ağacın duvara uzaklığı 8 m, diğerinin 12 m'dir. Bu iki uzaklık arasındaki fark, dik üçgenin bir dik kenarını oluşturur: \( |12 - 8| = 4 \) metre.
- Ağaçlar arasındaki mesafe, dik üçgenin diğer dik kenarını oluşturur: 15 metre.
- Adım 2: Gölgelerin arasındaki mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Burada \( a = 4 \) m ve \( b = 15 \) m'dir.
- Adım 3: Değerleri formülde yerine koyalım: \( 4^2 + 15^2 = c^2 \).
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 16 + 225 = c^2 \).
- Adım 5: Toplamı bulalım: \( 241 = c^2 \).
- Adım 6: Hipotenüs \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{241} \) metre.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 60^\circ \) ise, \( \hat{C} \) açısının kaç derece olduğunu bulunuz.
💡 Kavram: Üçgenin İç Açıları Toplamı
📌 Kural: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. Formülü: \( \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ \)
💡 Kavram: Üçgenin İç Açıları Toplamı
📌 Kural: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. Formülü: \( \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ \)
Çözüm:
- Adım 1: Üçgenin iç açıları toplamı formülünü yazalım: \( \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ \).
- Adım 2: Verilen açı değerlerini formülde yerine koyalım: \( 50^\circ + 60^\circ + \hat{C} = 180^\circ \).
- Adım 3: Bilinen açıları toplayalım: \( 110^\circ + \hat{C} = 180^\circ \).
- Adım 4: \( \hat{C} \) açısını bulmak için \( 110^\circ \)ü \( 180^\circ \)den çıkaralım: \( \hat{C} = 180^\circ - 110^\circ \).
Örnek 6:
Bir merdivenin boyu 5 metre ve merdivenin dayandığı duvarın yüksekliği 4 metredir. Merdivenin tabanının duvardan ne kadar uzakta olduğunu Pisagor teoremini kullanarak hesaplayınız.
💡 Kavram: Pisagor Teoremi (Uygulama)
📌 Kural: Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar dik kenar, zemin ise diğer dik kenardır.
💡 Kavram: Pisagor Teoremi (Uygulama)
📌 Kural: Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar dik kenar, zemin ise diğer dik kenardır.
Çözüm:
- Adım 1: Soruyu bir dik üçgen olarak modelleyelim.
- Merdiven uzunluğu (hipotenüs): \( c = 5 \) metre.
- Duvar yüksekliği (bir dik kenar): \( a = 4 \) metre.
- Merdivenin tabanının duvardan uzaklığı (diğer dik kenar): \( b \)'yi bulmamız gerekiyor.
- Adım 2: Pisagor teoremi formülünü yazalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( 4^2 + b^2 = 5^2 \).
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 16 + b^2 = 25 \).
- Adım 5: \( b^2 \)'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 25 - 16 \).
- Adım 6: Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 9 \).
- Adım 7: \( b \)'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{9} \).
Örnek 7:
İki eşkenar üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla 4 cm ve 8 cm'dir. Bu iki üçgenin benzerlik oranını ve alanları oranını hesaplayınız.
💡 Kavram: Eş Üçgenler ve Benzerlik Oranı
📌 Kural: Eşkenar üçgenler her zaman birbirine benzerdir. Benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının oranıdır. Alanlar oranı ise benzerlik oranının karesidir.
💡 Kavram: Eş Üçgenler ve Benzerlik Oranı
📌 Kural: Eşkenar üçgenler her zaman birbirine benzerdir. Benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının oranıdır. Alanlar oranı ise benzerlik oranının karesidir.
Çözüm:
- Adım 1: İki eşkenar üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir: \( k_1 = 4 \) cm ve \( k_2 = 8 \) cm.
- Adım 2: Benzerlik oranını hesaplayalım. Genellikle küçük olanın büyük olana oranı veya büyük olanın küçük olana oranı şeklinde ifade edilir. Burada \( k_2 / k_1 \) oranını alalım.
- Benzerlik Oranı \( = \frac{8 \text{ cm}}{4 \text{ cm}} = 2 \).
- Adım 3: Alanlar oranını hesaplayalım. Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
- Alanlar Oranı \( = (\text{Benzerlik Oranı})^2 = 2^2 = 4 \).
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde AB = 7 cm, BC = 9 cm ve AC = 11 cm'dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasındaki eşitsizlikleri yazınız.
💡 Kavram: Üçgen Eşitsizlikleri
📌 Kural: Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olmalıdır.
💡 Kavram: Üçgen Eşitsizlikleri
📌 Kural: Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olmalıdır.
Çözüm:
- Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını belirleyelim: \( AB = 7 \) cm, \( BC = 9 \) cm, \( AC = 11 \) cm.
- Adım 2: Üçgen eşitsizliklerini teker teker uygulayalım.
- Eşitsizlik 1: İki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalı.
- \( AB + BC > AC \implies 7 + 9 > 11 \implies 16 > 11 \) (Doğru)
- Eşitsizlik 2:
- \( AB + AC > BC \implies 7 + 11 > 9 \implies 18 > 9 \) (Doğru)
- Eşitsizlik 3:
- \( BC + AC > AB \implies 9 + 11 > 7 \implies 20 > 7 \) (Doğru)
- Adım 3: Ayrıca, iki kenarın farkının mutlak değeri, üçüncü kenardan küçük olmalıdır.
- \( |AB - BC| < AC \implies |7 - 9| < 11 \implies |-2| < 11 \implies 2 < 11 \) (Doğru)
- \( |AB - AC| < BC \implies |7 - 11| < 9 \implies |-4| < 9 \implies 4 < 9 \) (Doğru)
- \( |BC - AC| < AB \implies |9 - 11| < 7 \implies |-2| < 7 \implies 2 < 7 \) (Doğru)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-benzerlik-ve-ucgen-esitsizlikleri-oklid-pisagor-teoremleri/sorular