🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik, Benzerlik, Tales ve Öklid Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik, Benzerlik, Tales ve Öklid Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( AC = 10 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde \( DE = 12 \) cm, \( EF = 16 \) cm ve \( DF = 20 \) cm'dir. ABC üçgeni ile DEF üçgeni arasındaki benzerlik oranını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruda iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve benzerlik oranı soruluyor.
- Adım 1: Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarların oranına bakarız.
- Adım 2: Küçük üçgenin kenar uzunluklarını büyük üçgenin kenar uzunluklarına bölelim:
- \( \frac{AB}{DE} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{BC}{EF} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{AC}{DF} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)
- Adım 3: Tüm oranlar \( \frac{1}{2} \) çıktığı için, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \) 'dir. Bu, DEF üçgeninin kenar uzunluklarının ABC üçgeninin kenar uzunluklarının 2 katı olduğu anlamına gelir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) 'dir. Bir KLM üçgeninde \( \angle K = 50^\circ \) ve \( \angle L = 60^\circ \) 'dir. Bu iki üçgen benzer midir? Nedenini açıklayınız. 🤔
Çözüm:
İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açıları eşit olmalıdır.
- Adım 1: ABC üçgeninin üçüncü açısını bulalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) 'dir. \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- Adım 2: KLM üçgeninin üçüncü açısını bulalım. \( \angle M = 180^\circ - (\angle K + \angle L) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
- Adım 3: Açıları karşılaştıralım:
- ABC üçgeni: \( 50^\circ, 70^\circ, 60^\circ \)
- KLM üçgeni: \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \)
- Adım 4: Her iki üçgenin de açıları aynıdır ( \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \) ). Bu nedenle, AAA benzerlik kuralına göre ABC üçgeni ile KLM üçgeni benzerdir. 👉
Örnek 3:
Bir doğru parçası üzerinde A, B, C noktaları sırasıyla verilmiştir. \( AB = 4 \) cm ve \( BC = 6 \) cm'dir. A noktasından geçen bir d1 doğrusu ile C noktasından geçen bir d2 doğrusu çizelim. Bu iki doğru birbirine paraleldir. B noktasından geçen ve d1 ile d2 doğrularını kesen bir doğru çizelim. Bu doğru d1'i D noktasında, d2'yi E noktasında kessin. \( BD = 3 \) cm olduğuna göre, \( BE \) uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soru, Tales teoreminin bir uygulamasıdır. Paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantılılık söz konusudur.
- Adım 1: Paralel doğrular \( d1 \) ve \( d2 \) ile bunları kesen doğrular (ABC doğrusu ve DBE doğrusu) bir Tales teoremi konfigürasyonu oluşturur.
- Adım 2: Tales teoremine göre, kesen doğrular üzerindeki orantılılık, paralel doğrular üzerindeki orantılılığa eşittir. Bu durumda: \( \frac{AB}{BC} = \frac{DB}{BE} \)
- Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{3}{BE} \)
- Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak \( BE \) uzunluğunu bulalım: \( 4 \times BE = 6 \times 3 \) \( 4 \times BE = 18 \) \( BE = \frac{18}{4} \) \( BE = \frac{9}{2} \) \( BE = 4.5 \) cm
- Sonuç: \( BE \) uzunluğu 4.5 cm'dir. ✅
Örnek 4:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 birim ve 8 birim uzunluğundadır. Bu dik üçgenin hipotenüsüne ait yükseklik kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soru Öklid'in Yükseklik Teoremi ile çözülebilir. Öncelikle dik üçgenin alanını ve hipotenüs uzunluğunu bulmamız gerekiyor.
- Adım 1: Dik üçgenin alanını hesaplayalım. Alan, dik kenarların çarpımının yarısıdır. \( Alan = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \) birim kare.
- Adım 2: Hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım. \( Hipotenüs^2 = 6^2 + 8^2 \) \( Hipotenüs^2 = 36 + 64 \) \( Hipotenüs^2 = 100 \) \( Hipotenüs = \sqrt{100} = 10 \) birim.
- Adım 3: Alan formülünü hipotenüs ve yüksekliği kullanarak tekrar yazalım. Alan aynı zamanda \( \frac{1}{2} \times Hipotenüs \times Yükseklik \) 'e eşittir. \( 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times h \) \( 24 = 5 \times h \)
- Adım 4: Yüksekliği (h) bulmak için denklemi çözelim. \( h = \frac{24}{5} \) \( h = 4.8 \) birim.
- Sonuç: Dik kenarlara ait yükseklik 4.8 birimdir. 📌
Örnek 5:
Bir fotoğrafçının elinde, bir binanın ön cephesinin fotoğrafını çekeceği bir kamera bulunmaktadır. Fotoğraf makinesinin merceğinin odak uzaklığı 50 mm'dir. Bina, fotoğraf makinesinden 20 metre uzaktadır. Fotoğraf makinesinin sensörüne düşen bina görüntüsünün boyutunu, benzerlik prensibini kullanarak tahmin ediniz. (Binanın gerçek yüksekliğinin 30 metre olduğunu varsayalım.) 📸
Çözüm:
Bu problem, benzerlik prensibinin gerçek hayatta nasıl kullanıldığına dair iyi bir örnektir. Kamera merceği ve bina, benzer üçgenler oluşturur.
- Adım 1: Birimleri aynı hale getirelim. Binanın uzaklığı 20 metre = 20,000 mm'dir.
- Adım 2: Kamera merceği, odak uzaklığı ve sensör üzerindeki görüntü, küçük bir üçgen oluşturur. Bina ve onun fotoğraf makinesine olan uzaklığı ise daha büyük bir benzer üçgen oluşturur.
- Adım 3: Benzerlik oranını kullanarak sensördeki görüntü yüksekliğini (h) bulalım. \( \frac{Görüntü Yüksekliği}{Binanın Yüksekliği} = \frac{Odak Uzaklığı}{Binanın Uzaklığı} \) \( \frac{h}{30000 \text{ mm}} = \frac{50 \text{ mm}}{20000 \text{ mm}} \)
- Adım 4: Denklemi \( h \) için çözelim. \( h = 30000 \text{ mm} \times \frac{50 \text{ mm}}{20000 \text{ mm}} \) \( h = 30000 \times \frac{1}{400} \) \( h = \frac{30000}{400} \) \( h = \frac{300}{4} \) \( h = 75 \) mm
- Sonuç: Fotoğraf makinesinin sensörüne düşen bina görüntüsünün yüksekliği yaklaşık 75 mm olacaktır. Bu, fotoğrafın kaç megapiksel olduğu ve sensör boyutuna bağlı olarak görüntünün ne kadar büyük görüneceğini belirler. 💡
Örnek 6:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak ölçülmüştür. Haritanın ölçeği 1:200.000'dir. Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden hesaplayınız. 🗺️
Çözüm:
Harita ölçekleri, gerçek dünya mesafelerini küçülterek haritalarda göstermemizi sağlar. Bu, benzerlik prensibinin bir uygulamasıdır.
- Adım 1: Ölçeğin anlamını anlayalım. 1:200.000 ölçeği, haritadaki 1 birimin gerçekte 200.000 birime karşılık geldiğini ifade eder.
- Adım 2: Harita üzerindeki mesafeyi (5 cm) gerçek ölçekle çarparak gerçek mesafeyi cm cinsinden bulalım. Gerçek Mesafe (cm) = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçek Paydası Gerçek Mesafe (cm) = \( 5 \text{ cm} \times 200.000 \) Gerçek Mesafe (cm) = \( 1.000.000 \) cm
- Adım 3: Gerçek mesafeyi kilometreye çevirelim. Bilindiği gibi: 1 metre = 100 cm 1 kilometre = 1000 metre = 100.000 cm
- Adım 4: Hesapladığımız cm değerini kilometreye çevirelim. Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \) Gerçek Mesafe (km) = \( 10 \) km
- Sonuç: Harita üzerinde 5 cm ile gösterilen iki şehir arasındaki gerçek mesafe 10 kilometredir. ✅
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, \( AB \) kenarına ait kenarortay \( AD \) 'dir. \( BC \) kenarının orta noktası \( E \) noktasıdır. \( DE \) doğru parçasının uzunluğu, \( BC \) kenarının uzunluğunun kaçta kaçıdır? 📏
Çözüm:
Bu soru, üçgenlerde kenarortaylar ve orta noktalar arasındaki ilişkiyi ele alır. Orta taban benzeri bir durum söz konusudur.
- Adım 1: Üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası, üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğunun yarısıdır. Bu, orta taban teoremidir.
- Adım 2: Soruda \( E \) noktası \( BC \) kenarının orta noktasıdır.
- Adım 3: \( AD \) doğru parçası \( BC \) kenarına ait kenarortaydır. Bu, \( D \) noktasının \( BC \) kenarı üzerinde bir nokta olduğunu gösterir. Ancak soruda \( D \) noktasının \( BC \) kenarının neresinde olduğu belirtilmemiş. Eğer \( AD \) kenarortay ise \( D \) noktası \( BC \) kenarının orta noktası olmalıdır. Bu durumda \( D \) ve \( E \) aynı nokta olur.
- Adım 4: Eğer soruda bir hata yoksa ve \( AD \) kenarortay ise, \( D \) noktası \( BC \) kenarının orta noktasıdır. Bu durumda \( D \) ve \( E \) aynı nokta olur. Dolayısıyla \( DE \) doğru parçasının uzunluğu 0 olur.
- Adım 5: Eğer soruda kastedilen, \( AB \) kenarının orta noktası \( D \) ve \( BC \) kenarının orta noktası \( E \) ise, o zaman \( DE \) doğru parçası \( AC \) kenarına ait orta tabandır. Bu durumda \( DE = \frac{1}{2} AC \) olur.
- Adım 6: Soruyu "Bir ABC üçgeninde, \( AB \) kenarının orta noktası \( D \)'dir. \( BC \) kenarının orta noktası \( E \) noktasıdır. \( DE \) doğru parçasının uzunluğu, \( AC \) kenarının uzunluğunun kaçta kaçıdır?" şeklinde anlarsak, cevap \( \frac{1}{2} \) olur.
- Adım 7: Sorunun orijinal haliyle yorumlarsak (AD kenarortay ise D noktası BC kenarının orta noktasıdır): \( D \) ve \( E \) aynı nokta olduğundan, \( DE \) uzunluğu 0'dır. Bu durumda \( DE \) uzunluğu \( BC \) kenarının uzunluğunun 0 katıdır. 📌
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, \( AB = 10 \) cm, \( AC = 12 \) cm ve \( BC = 15 \) cm'dir. Bu üçgenin \( BC \) kenarına ait yüksekliği \( h_a \) olsun. \( h_a \) uzunluğunu yaklaşık olarak bulunuz. (İpucu: Alan formülünü kullanın.) 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Heron formülü ile üçgenin alanını bulup, ardından alan formülünü kullanarak yüksekliği hesaplayacağız.
- Adım 1: Üçgenin yarı çevresini (u) hesaplayalım. \( u = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+12+10}{2} = \frac{37}{2} = 18.5 \) cm
- Adım 2: Heron formülü ile üçgenin alanını (A) hesaplayalım. \( A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \) \( A = \sqrt{18.5(18.5-15)(18.5-12)(18.5-10)} \) \( A = \sqrt{18.5(3.5)(6.5)(8.5)} \) \( A = \sqrt{3446.4375} \) \( A \approx 58.71 \) cm\(^2\)
- Adım 3: Alan formülünü kullanarak \( h_a \) yüksekliğini bulalım. Alan aynı zamanda \( \frac{1}{2} \times a \times h_a \) 'ya eşittir. \( A = \frac{1}{2} \times BC \times h_a \) \( 58.71 \approx \frac{1}{2} \times 15 \times h_a \) \( 58.71 \approx 7.5 \times h_a \)
- Adım 4: \( h_a \) için denklemi çözelim. \( h_a \approx \frac{58.71}{7.5} \) \( h_a \approx 7.83 \) cm
- Sonuç: \( BC \) kenarına ait yükseklik yaklaşık olarak 7.83 cm'dir. 📏
Örnek 9:
Bir mimar, bir parkta kullanılacak bir bankın tasarımını yapmaktadır. Bankın oturma kısmının uzunluğu 1.5 metre ve yüksekliği 0.4 metredir. Mimar, bu bankın bir modelini çizmek istemektedir. Modelde bankın uzunluğunu 30 cm olarak tasarlayacaktır. Modeldeki bankın yüksekliğini, benzerlik prensibini kullanarak bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problem, ölçeklendirme ve benzerlik prensibinin mimarlık ve tasarım alanındaki kullanımını gösterir.
- Adım 1: Gerçek bankın boyutları metre cinsinden verilmiş, modelin boyutu ise santimetre cinsinden. Birimleri aynı yapalım. Gerçek bankın uzunluğu 1.5 metre = 150 cm'dir.
- Adım 3: Benzerlik oranını kullanarak modeldeki yüksekliği (h_model) bulalım. \( \frac{Model Yüksekliği}{Gerçek Yükseklik} = \frac{Model Uzunluğu}{Gerçek Uzunluk} \) \( \frac{h_{model}}{0.4 \text{ m}} = \frac{30 \text{ cm}}{150 \text{ cm}} \) Veya birimleri cm'ye çevirerek: \( \frac{h_{model}}{40 \text{ cm}} = \frac{30 \text{ cm}}{150 \text{ cm}} \)
- Adım 4: Denklemi \( h_{model} \) için çözelim. \( h_{model} = 40 \text{ cm} \times \frac{30 \text{ cm}}{150 \text{ cm}} \) \( h_{model} = 40 \text{ cm} \times \frac{1}{5} \) \( h_{model} = \frac{40}{5} \) \( h_{model} = 8 \) cm
- Sonuç: Modeldeki bankın yüksekliği 8 cm olacaktır. Bu, tasarımcının orantıları koruyarak modeli oluşturmasını sağlar. ✅
Örnek 10:
İki üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla \( (3, 4, 5) \) ve \( (6, 8, 10) \) 'dur. Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Benzer ise benzerlik oranını yazınız. 📐
Çözüm:
İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için karşılıklı kenar oranlarına bakmalıyız.
- Adım 1: Birinci üçgenin kenarları \( a_1=3, b_1=4, c_1=5 \).
- Adım 2: İkinci üçgenin kenarları \( a_2=6, b_2=8, c_2=10 \).
- Adım 3: Karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım. En küçük kenarları birbirine, ortanca kenarları birbirine ve en büyük kenarları birbirine oranlayalım. \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
- Adım 4: Tüm oranlar eşit çıktığı için, bu iki üçgen benzerdir. Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralı geçerlidir.
- Adım 5: Benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \) 'dir. Bu, birinci üçgenin kenarlarının, ikinci üçgenin kenarlarının yarısı olduğu anlamına gelir. Veya ikinci üçgenin kenarlarının, birinci üçgenin kenarlarının 2 katı olduğu anlamına gelir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-benzerlik-tales-ve-oklid-teoremleri/sorular