💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik, Benzerlik, Algoritma ve İstatistik Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu ve bu kenar-açıların ölçüleri birbirine eşitse, bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin birer kenar uzunluğu ve bu kenarların köşelerindeki ikişer açıların ölçüleri birbirine eşitse, bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu da birbirine eşitse, bu üçgenler eştir.

Bu eşlik durumları, üçgenlerin birebir aynı olduğunu garanti eder. ✅

Evet, ABC ve DEF üçgenleri eştir. 🤝
Açıklama:

• Her iki üçgenin de karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir:
• AB = DE = 10 cm
• BC = EF = 12 cm
• AC = DF = 15 cm
• Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği şartını sağlamaktadır.

Dolayısıyla, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 'dir. 👉

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki şartlar gereklidir:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısının ölçüsü birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü eşitse, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu da orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.

Benzerlikte, şekiller aynıdır ancak boyutları farklı olabilir. 📏

Evet, ABC ve DEF üçgenleri benzerdir. 🧮
Açıklama:

• ABC üçgeninde C açısı \( 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ \) olarak bulunur.
• DEF üçgeninde D açısı \( 50^\circ \) ve E açısı \( 60^\circ \) verilmiş.
• Bu durumda, ABC üçgeninin üçüncü açısı olan C açısı \( 70^\circ \) olur.
• DEF üçgeninin üçüncü açısı F açısı da \( 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ \) olur.
• Yani, her iki üçgenin de karşılıklı açıları eşittir: \( A=D=50^\circ \), \( B=E=60^\circ \), \( C=F=70^\circ \).

Bu durum, Açı-Açı (AA) Benzerliği şartını sağlamaktadır. Dolayısıyla, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) 'dir. ✨

Adım 1: İlk Karenin Çevresini Hesaplama

• Karenin bir kenar uzunluğu \( a = 4 \) cm'dir.
• Karenin çevresi \( Ç = 4 \times a \) formülü ile hesaplanır.
• İlk karenin çevresi \( Ç_1 = 4 \times 4 = 16 \) cm'dir.

Adım 2: Kenar Uzunluğu 2 Katına Çıkarılan Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma

• Yeni kenar uzunluğu \( a' = 2 \times a = 2 \times 4 = 8 \) cm olur.

Adım 3: Yeni Karenin Çevresini Hesaplama

• Yeni karenin çevresi \( Ç_2 = 4 \times a' = 4 \times 8 = 32 \) cm'dir.

Sonuç:

• Yeni karenin çevresi \( 32 \) cm'dir.
• İlk çevre \( 16 \) cm iken yeni çevre \( 32 \) cm olmuştur.
• Yani, kenar uzunluğu 2 katına çıkan karenin çevresi de 2 katına çıkmıştır.

Bu, bir algoritmanın nasıl adım adım uygulandığını gösterir. 📝

Ekonomikliği belirlemek için birim fiyatı (gram başına fiyatı) hesaplamalıyız.

• A Marka Çikolata:
• Fiyat: 10 TL
• Ağırlık: 50 gram
• Birim Fiyat = Fiyat / Ağırlık = 10 TL / 50 gram = 0.2 TL/gram
• B Marka Çikolata:
• Fiyat: 15 TL
• Ağırlık: 75 gram
• Birim Fiyat = Fiyat / Ağırlık = 15 TL / 75 gram = 0.2 TL/gram

Sonuç: Her iki çikolatanın da gram başına fiyatı 0.2 TL'dir. Bu nedenle, her iki çikolata da aynı derecede ekonomiktir. ✅ Bu tür karşılaştırmalar, istatistiksel analizlerin günlük hayatta nasıl kullanıldığını gösterir. 📊

Evet, DEF üçgeni ABC üçgeni ile benzerdir. 🤝
Açıklama:

• ABC üçgeninin kenar uzunlukları: AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm.
• DEF üçgeninin kenar uzunlukları, ABC üçgeninin kenar uzunluklarının 1.5 katıdır:
• DE = 1.5 AB = 1.5 6 = 9 cm
• EF = 1.5 BC = 1.5 8 = 12 cm
• DF = 1.5 AC = 1.5 10 = 15 cm
• Şimdi kenar uzunluklarının oranlarını kontrol edelim:
• \( \frac{DE}{AB} = \frac{9}{6} = 1.5 \)
• \( \frac{EF}{BC} = \frac{12}{8} = 1.5 \)
• \( \frac{DF}{AC} = \frac{15}{10} = 1.5 \)

Karşılıklı kenar uzunluklarının oranları sabit ve eşittir (1.5). Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği şartını sağlamaktadır. Benzerlik oranı, bu sabit orandır. 👉 Benzerlik Oranı = 1.5 Dolayısıyla, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ve benzerlik oranı 1.5'tir. ✨

Bu problem, permütasyon (sıralama) kavramı ile ilgilidir. Toplamda \( 5 + 2 + 3 = 10 \) komut bulunmaktadır. Bu 10 komutun kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulmalıyız.

• Toplam komut sayısı \( n = 10 \).
• 'ileri git' komutu tekrar sayısı \( n_1 = 5 \).
• 'sağa dön' komutu tekrar sayısı \( n_2 = 2 \).
• 'zıpla' komutu tekrar sayısı \( n_3 = 3 \).

Tekrarlı permütasyon formülü kullanılır: \[ \frac{n!}{n_1! n_2! n_3!} \] Bu formülü uygulayalım: \[ \frac{10!}{5! 2! 3!} \] Şimdi hesaplamayı yapalım:

• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3,628,800 \)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
• \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

Değerleri formülde yerine koyalım: \[ \frac{3,628,800}{120 \times 2 \times 6} = \frac{3,628,800}{1440} \] Hesaplama sonucunda: \[ \frac{3,628,800}{1440} = 2520 \] Sonuç: Karakterin parkuru tamamlaması için 2520 farklı komut sırası olabilir. Bu, algoritma tasarımında olasılık ve sıralamanın önemini gösterir. 🚀