💡 9. Sınıf Matematik: Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için öncelikle verilen ifadeyi bir eşitsizlik olarak yazmalıyız.

• 👉 Sayımız \( x \) olsun.
• 👉 "Bir sayının 3 katı": \( 3x \)
• 👉 "3 katının 5 fazlası": \( 3x + 5 \)
• 👉 "17'den küçüktür": \( < 17 \)

Eşitsizliği kuralım: \[ 3x + 5 < 17 \] Şimdi eşitsizliği çözelim:

• ✅ Eşitsizliğin her iki tarafından 5 çıkaralım:
\[ 3x + 5 - 5 < 17 - 5 \] \[ 3x < 12 \]
• ✅ Eşitsizliğin her iki tarafını 3'e bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
\[ \frac{3x}{3} < \frac{12}{3} \] \[ x < 4 \]

Buna göre, \( x \) sayısı 4'ten küçük olmalıdır. 4'ten küçük en büyük tam sayı değeri 3'tür. ✅

Verilen eşitsizliği adım adım çözelim: \[ 2x - 7 \ge 5 \]

• 👉 Eşitsizliğin her iki tarafına 7 ekleyelim:
\[ 2x - 7 + 7 \ge 5 + 7 \] \[ 2x \ge 12 \]
• 👉 Eşitsizliğin her iki tarafını 2'ye bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
\[ \frac{2x}{2} \ge \frac{12}{2} \] \[ x \ge 6 \]

Çözüm kümesi, 6'ya eşit veya 6'dan büyük tüm gerçek sayılardır. Küme parantezi ile gösterimi \( [6, \infty) \) şeklindedir.
Sayı doğrusu üzerinde gösterimi: 6 noktasının içi dolu bir daire ile işaretlenir ve bu noktadan sağa doğru bir ok çizilir. ✅

Bu eşitsizlikte bilinmeyenler (x) eşitsizliğin her iki tarafında bulunmaktadır. Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayarak çözüme ulaşabiliriz. \[ 4x + 3 < x - 6 \]

• 👉 Bilinmeyen \( x \)'i eşitsizliğin sol tarafına alalım. Bunun için her iki taraftan \( x \) çıkaralım:
\[ 4x + 3 - x < x - 6 - x \] \[ 3x + 3 < -6 \]
• 👉 Sabit terim olan 3'ü eşitsizliğin sağ tarafına alalım. Bunun için her iki taraftan 3 çıkaralım:
\[ 3x + 3 - 3 < -6 - 3 \] \[ 3x < -9 \]
• 👉 Son olarak, \( x \)'in katsayısı olan 3'e bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
\[ \frac{3x}{3} < \frac{-9}{3} \] \[ x < -3 \]

Çözüm kümesi, -3'ten küçük tüm gerçek sayılardır. Küme parantezi ile gösterimi \( (-\infty, -3) \) şeklindedir. ✅

Bu tür birleşik eşitsizlikleri çözerken, eşitsizliğin tüm kısımlarına aynı işlemi uygulamamız gerekir. \[ -5 \le 2x + 1 < 7 \]

• 👉 Öncelikle, \( x \)'in yanındaki sabit terim olan 1'den kurtulmak için eşitsizliğin her üç tarafından 1 çıkaralım:
\[ -5 - 1 \le 2x + 1 - 1 < 7 - 1 \] \[ -6 \le 2x < 6 \]
• 👉 Şimdi, \( x \)'in katsayısı olan 2'den kurtulmak için eşitsizliğin her üç tarafını 2'ye bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez):
\[ \frac{-6}{2} \le \frac{2x}{2} < \frac{6}{2} \] \[ -3 \le x < 3 \]

Çözüm kümesi, -3'e eşit veya -3'ten büyük ve 3'ten küçük tüm gerçek sayılardır. Küme parantezi ile gösterimi \( [-3, 3) \) şeklindedir. ✅

Kesirli ifadeler içeren eşitsizlikleri çözmek için öncelikle paydaları eşitleyip kesirlerden kurtulabiliriz. \[ \frac{x}{3} - 1 \ge \frac{x}{2} \]

• 👉 Paydalar 3 ve 2 olduğu için, ortak katları olan 6 ile eşitsizliğin her iki tarafını çarpabiliriz. Bu, kesirlerden kurtulmamızı sağlar. (Pozitif bir sayı ile çarptığımız için eşitsizlik yön değiştirmez).
\[ 6 \cdot \left( \frac{x}{3} - 1 \right) \ge 6 \cdot \left( \frac{x}{2} \right) \] \[ 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot 1 \ge 6 \cdot \frac{x}{2} \] \[ 2x - 6 \ge 3x \]
• 👉 Şimdi bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım. \( 2x \)'i sağ tarafa atalım (veya \( 3x \)'i sola):
\[ -6 \ge 3x - 2x \] \[ -6 \ge x \]

Bu eşitsizliği \( x \le -6 \) şeklinde de yazabiliriz.
Çözüm kümesi, -6'ya eşit veya -6'dan küçük tüm gerçek sayılardır. Küme parantezi ile gösterimi \( (-\infty, -6] \) şeklindedir. ✅

Bu problem iki farklı durumu ifade eden iki eşitsizlik içeriyor. İki eşitsizliği de ayrı ayrı kurup çözmeliyiz.

Durum 1: Sınıfa 5 yeni öğrenci geldiğinde

• 👉 Başlangıçtaki öğrenci sayısı: \( x \)
• 👉 5 yeni öğrenci geldiğinde: \( x + 5 \)
• 👉 "Toplam öğrenci sayısı 30'dan az olmaktadır": \( x + 5 < 30 \)
• Eşitsizliği çözelim:
\[ x + 5 < 30 \] \[ x < 30 - 5 \] \[ x < 25 \]

Durum 2: Sınıftan 3 öğrenci ayrıldığında

• 👉 Başlangıçtaki öğrenci sayısı: \( x \)
• 👉 3 öğrenci ayrıldığında: \( x - 3 \)
• 👉 "Kalan öğrenci sayısı 20'den fazla olmaktadır": \( x - 3 > 20 \)
• Eşitsizliği çözelim:
\[ x - 3 > 20 \] \[ x > 20 + 3 \] \[ x > 23 \]

Şimdi her iki eşitsizliği birleştirelim:
\( x < 25 \) ve \( x > 23 \)
Bu iki eşitsizliği birleştirerek \( 23 < x < 25 \) şeklinde yazabiliriz.
Bu aralıkta yer alan tam sayı değeri sadece 24'tür.
Başlangıçtaki öğrenci sayısı 24 olabilir. ✅

Bu problemde Ayşe'nin bütçe kısıtlamasını bir eşitsizlik olarak ifade etmeliyiz.

• 👉 Domatesin kilogram fiyatı: 15 TL
• 👉 Salatalığın kilogram fiyatı: 12 TL
• 👉 Toplam bütçe: En fazla 100 TL (yani \( \le 100 \))

Ayşe 3 kg domates aldığına göre, domates için harcadığı para: \[ 3 \text{ kg} \times 15 \text{ TL/kg} = 45 \text{ TL} \] Şimdi salatalık için harcayabileceği parayı bulmalıyız. Salatalık miktarını \( x \) ile gösterelim. Salatalık için harcanan para: \( 12x \) TL. Toplam harcama, domates için harcanan para ile salatalık için harcanan paranın toplamıdır ve 100 TL'yi geçmemelidir: \[ 45 + 12x \le 100 \] Şimdi bu eşitsizliği çözelim:

• 👉 Eşitsizliğin her iki tarafından 45 çıkaralım:
\[ 45 + 12x - 45 \le 100 - 45 \] \[ 12x \le 55 \]
• 👉 Eşitsizliğin her iki tarafını 12'ye bölelim:
\[ \frac{12x}{12} \le \frac{55}{12} \] \[ x \le 4.583... \]

Ayşe kilogram cinsinden salatalık alabileceği için, 4.583... kg'dan daha az veya eşit miktarda alabilir. Ancak genelde market alışverişinde kilogram tam sayı veya yarım kilogram olarak düşünülür. Soruda "en fazla kaç kg" diye sorulduğu için ve kesirli bir miktar da alabileceği varsayıldığından, en fazla \( \frac{55}{12} \) kg veya yaklaşık 4.58 kg salatalık alabilir. Eğer tam kilogram istenirse en fazla 4 kg olurdu. Soruda tam sayı belirtilmediği için kesirli ifadeyi bırakabiliriz. ✅

Bu problemde, \( t \) saatlik kalış süresine göre ücretlendirmeyi ve bu ücretin 50 TL'den fazla olmama koşulunu bir eşitsizlikle ifade etmeliyiz.

• 👉 İlk 1 saatlik ücret: 10 TL
• 👉 Kalan süre: \( t - 1 \) saat
• 👉 Kalan süre "yarım saatlik" dilimler halinde ücretlendiriliyor. Her yarım saat için 4 TL.

Öncelikle, kalan sürenin kaç yarım saatlik dilim olduğunu bulalım. Kalan süre \( t - 1 \) saat ise, bu sürenin yarım saatlik dilim sayısı \( \frac{t-1}{0.5} \) veya \( 2(t-1) \) olacaktır. Ancak burada önemli bir nokta var: "yarım saat veya yarım saatin altındaki süre için" ifadesi, yukarı yuvarlama (ceiling function) gerektirir. 9. sınıf müfredatında yuvarlama fonksiyonları olmadığı için, soruyu daha basit bir yaklaşımla, yani tam yarım saatlik dilimler üzerinden ele almalıyız. Varsayalım ki \( t-1 \) süresi tam yarım saatlik dilimlere bölünebiliyor. Ek ücret: \( 2(t-1) \times 4 \) TL \( = 8(t-1) \) TL Toplam ödenen ücret: \[ 10 + 8(t-1) \] Bu ücretin 50 TL'den fazla olmadığı biliniyor: \[ 10 + 8(t-1) \le 50 \] Şimdi bu eşitsizliği çözelim:

• 👉 Dağılma özelliğini kullanalım:
\[ 10 + 8t - 8 \le 50 \] \[ 8t + 2 \le 50 \]
• 👉 Eşitsizliğin her iki tarafından 2 çıkaralım:
\[ 8t + 2 - 2 \le 50 - 2 \] \[ 8t \le 48 \]
• 👉 Eşitsizliğin her iki tarafını 8'e bölelim:
\[ \frac{8t}{8} \le \frac{48}{8} \] \[ t \le 6 \]

Buna göre, araç otoparkta en fazla 6 saat kalabilir. \( t \)'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 6'dır. ✅
(Not: Bu çözüm, kalan sürenin tam yarım saatlik dilimler halinde olduğu varsayımına dayanır. Eğer süre tam yarım saat değilse, ücretlendirme "yarım saatin altındaki süre için" de geçerli olduğundan, matematiksel olarak "tavan fonksiyonu" kullanılabilirdi. Ancak bu, 9. sınıf müfredatı dışındadır. Bu nedenle, 9. sınıf seviyesinde bu tür bir soruda genellikle en büyük tam sayı değeri bulunurken direkt eşitsizlik çözümü yeterli kabul edilir.)