🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Esitsizlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Esitsizlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının 3 katının 5 fazlası, aynı sayının 2 katının 10 eksiğinden büyüktür. Bu sayıyı bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu problemi bir eşitsizlik kurarak çözebiliriz.
- Sayımız x olsun.
- "Bir sayının 3 katının 5 fazlası" ifadesi \( 3x + 5 \) şeklinde yazılır.
- "Aynı sayının 2 katının 10 eksiği" ifadesi ise \( 2x - 10 \) şeklinde yazılır.
- Soruda "büyüktür" denildiği için eşitsizlik \( > \) sembolü ile kurulur: \( 3x + 5 > 2x - 10 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \( 3x - 2x > -10 - 5 \)
- Sadeleştirelim: \( x > -15 \)
Örnek 2:
\( 2(x-1) + 3 \le 4x + 7 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 🔑
Çözüm:
Bu eşitsizliği adım adım çözelim:
- Önce parantezi dağıtalım: \( 2x - 2 + 3 \le 4x + 7 \)
- Sabit terimleri birleştirelim: \( 2x + 1 \le 4x + 7 \)
- x'li terimleri sağ tarafa, sabit terimleri sol tarafa alalım: \( 1 - 7 \le 4x - 2x \)
- Sadeleştirelim: \( -6 \le 2x \)
- Her iki tarafı 2'ye bölelim (pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez): \( \frac{-6}{2} \le \frac{2x}{2} \)
- Sonuç: \( -3 \le x \)
Örnek 3:
\( \frac{x}{3} - 1 < \frac{x+2}{2} \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ❓
Çözüm:
Kesirli ifadeler içeren bu eşitsizliği çözmek için paydaları eşitleyelim.
- Paydaların (3 ve 2) en küçük ortak katı 6'dır. Eşitsizliğin her iki tarafını 6 ile çarpalım.
- \( 6 \cdot \left( \frac{x}{3} - 1 \right) < 6 \cdot \left( \frac{x+2}{2} \right) \)
- Dağılma özelliğini kullanarak çarpma işlemini yapalım: \( 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot 1 < 6 \cdot \frac{x+2}{2} \)
- Sadeleştirelim: \( 2x - 6 < 3(x+2) \)
- Sağ taraftaki parantezi dağıtalım: \( 2x - 6 < 3x + 6 \)
- x'li terimleri sağa, sabit terimleri sola taşıyalım: \( -6 - 6 < 3x - 2x \)
- Sadeleştirelim: \( -12 < x \)
Örnek 4:
Bir manav, tanesi 5 TL'den aldığı domateslerin kilosunu 8 TL'den satmaktadır. Manav, maliyetini karşıladıktan sonra en az 150 TL kar etmek istemektedir. Manav en az kaç kilogram domates satmalıdır? 💰
Çözüm:
Bu problemi bir kar-maliyet eşitsizliği ile modelleyelim.
- Manavın maliyeti: Kilogram başına 5 TL. Eğer x kilogram domates satarsa, toplam maliyeti \( 5x \) TL olur.
- Manavın geliri: Kilogram başına 8 TL. Eğer x kilogram domates satarsa, toplam geliri \( 8x \) TL olur.
- Kar = Gelir - Maliyet. Bu durumda kar \( 8x - 5x = 3x \) TL olur.
- Manav en az 150 TL kar etmek istiyor. Yani karı 150 TL'ye eşit veya büyük olmalıdır: \( 3x \ge 150 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} \ge \frac{150}{3} \)
- Sonuç: \( x \ge 50 \)
Örnek 5:
Ayşe'nin kumbarasında bir miktar para vardır. Ayşe, kumbarasına her hafta 20 TL atmaktadır. Ayşe, 10 hafta sonra kumbarasında en az 350 TL olmasını istemektedir. Ayşe'nin kumbarasında başlangıçta en az kaç TL olmalıdır? 🐷
Çözüm:
Bu problemi bir başlangıç miktarı ve haftalık eklemelerle kurulan eşitsizlik ile çözelim.
- Ayşe'nin kumbarasında başlangıçta bulunan para miktarı \( x \) TL olsun.
- 10 hafta boyunca her hafta 20 TL attığında, toplamda \( 10 \times 20 = 200 \) TL biriktirmiş olur.
- 10 hafta sonra kumbarasındaki toplam para miktarı \( x + 200 \) TL olur.
- Ayşe, 10 hafta sonra kumbarasında en az 350 TL olmasını istiyor. Bu durumu eşitsizlik olarak ifade edelim: \( x + 200 \ge 350 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- Her iki taraftan 200 çıkaralım: \( x + 200 - 200 \ge 350 - 200 \)
- Sonuç: \( x \ge 150 \)
Örnek 6:
Bir okulun gezi kulübü, düzenleyeceği gezi için kişi başı 120 TL ücret alacaktır. Geziye katılan öğrenci sayısı 30'dan az olursa, kulüp kişi başına 150 TL ücret alacaktır. Gezi kulübünün toplam gelirinin 3600 TL'den fazla olması için en az kaç öğrenci katılmalıdır? 🚌
Çözüm:
Bu soruyu, öğrenci sayısına göre iki farklı durum inceleyerek çözeceğiz.
- Durum 1: Öğrenci sayısı 30'dan az ise (x < 30)
- Bu durumda kişi başı ücret 150 TL'dir.
- Toplam gelir \( 150x \) olur.
- Gelirin 3600 TL'den fazla olması isteniyor: \( 150x > 3600 \)
- Eşitsizliği çözelim: \( x > \frac{3600}{150} \)
- \( x > 24 \)
- Bu durum için çözüm, 24'ten büyük ve 30'dan küçük tam sayılardır (25, 26, 27, 28, 29).
- Durum 2: Öğrenci sayısı 30 veya daha fazla ise (x \ge 30)
- Bu durumda kişi başı ücret 120 TL'dir.
- Toplam gelir \( 120x \) olur.
- Gelirin 3600 TL'den fazla olması isteniyor: \( 120x > 3600 \)
- Eşitsizliği çözelim: \( x > \frac{3600}{120} \)
- \( x > 30 \)
- Bu durum için çözüm, 30'dan büyük tam sayılardır. Ancak bu durumun başlangıç koşulu \( x \ge 30 \) idi. Dolayısıyla bu durum için geçerli olanlar 31, 32, 33... öğrencilerdir.
Örnek 7:
\( -2 < \frac{3x - 1}{4} \le 5 \) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz. 🎯
Çözüm:
Bu türden birleşik eşitsizlikleri iki ayrı eşitsizlik olarak ele alıp, her ikisinin de ortak çözüm kümesini bulmalıyız.
\( x > \frac{-7}{3} \) ve \( x \le 7 \)
Bu, \( \frac{-7}{3} < x \le 7 \) anlamına gelir.
Çözüm kümesi \( \left( \frac{-7}{3}, 7 \right] \) aralığıdır. 🌟
- Eşitsizlik sistemimiz: \( -2 < \frac{3x - 1}{4} \) ve \( \frac{3x - 1}{4} \le 5 \)
- Birinci Eşitsizlik: \( -2 < \frac{3x - 1}{4} \)
- Her iki tarafı 4 ile çarpalım: \( 4 \times (-2) < 3x - 1 \)
- \( -8 < 3x - 1 \)
- Sabit terimi sağ tarafa atalım: \( -8 + 1 < 3x \)
- \( -7 < 3x \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{-7}{3} < x \)
- İkinci Eşitsizlik: \( \frac{3x - 1}{4} \le 5 \)
- Her iki tarafı 4 ile çarpalım: \( 3x - 1 \le 4 \times 5 \)
- \( 3x - 1 \le 20 \)
- Sabit terimi sağ tarafa atalım: \( 3x \le 20 + 1 \)
- \( 3x \le 21 \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( x \le \frac{21}{3} \)
- \( x \le 7 \)
\( x > \frac{-7}{3} \) ve \( x \le 7 \)
Bu, \( \frac{-7}{3} < x \le 7 \) anlamına gelir.
Çözüm kümesi \( \left( \frac{-7}{3}, 7 \right] \) aralığıdır. 🌟
Örnek 8:
Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksiktir. Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 37'den az olduğuna göre, sınıfta en fazla kaç erkek öğrenci olabilir? 🧑🤝🧑
Çözüm:
Bu problemi, kız ve erkek öğrenci sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak çözelim.
Soruda "en fazla kaç erkek öğrenci olabilir?" diye sorulduğu için, bu aralıktaki en büyük tam sayı olan 13'tür. 🥇
- Sınıftaki erkek öğrenci sayısı \( x \) olsun.
- Kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksik olduğuna göre, kız öğrenci sayısı \( 2x - 5 \) olur.
- Sınıftaki toplam öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısı ile kız öğrenci sayısının toplamıdır: \( x + (2x - 5) \)
- Bu toplam, \( 3x - 5 \) olur.
- Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 37'den azdır: \( 3x - 5 < 37 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- Her iki tarafa 5 ekleyelim: \( 3x - 5 + 5 < 37 + 5 \)
- \( 3x < 42 \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} < \frac{42}{3} \)
- \( x < 14 \)
- Ayrıca, öğrenci sayısı negatif olamayacağı için \( x > 0 \) ve kız öğrenci sayısı da negatif olamayacağı için \( 2x - 5 > 0 \Rightarrow 2x > 5 \Rightarrow x > 2.5 \) olmalıdır.
Soruda "en fazla kaç erkek öğrenci olabilir?" diye sorulduğu için, bu aralıktaki en büyük tam sayı olan 13'tür. 🥇
Örnek 9:
Bir taksi, açılış ücreti olarak 10 TL almaktadır. Her kilometre için ise 5 TL ek ücretlendirme yapmaktadır. Bir yolcu, taksi yolculuğu için en fazla 60 TL ödemek istemektedir. Bu yolcu en fazla kaç kilometre yolculuk yapabilir? 🚕
Çözüm:
Bu problemi, açılış ücreti ve kilometre başına ücretlendirmeyi içeren bir eşitsizlik ile çözelim.
- Açılış ücreti: 10 TL.
- Kilometre başına ücret: 5 TL.
- Yapılan yolculuk mesafesi \( x \) kilometre olsun.
- Toplam taksi ücreti = Açılış ücreti + (Kilometre başına ücret × Yolculuk mesafesi)
- Toplam taksi ücreti = \( 10 + 5x \) TL olur.
- Yolcu, en fazla 60 TL ödemek istediğine göre, toplam ücret 60 TL'ye eşit veya küçük olmalıdır: \( 10 + 5x \le 60 \)
- Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- Her iki taraftan 10 çıkaralım: \( 10 + 5x - 10 \le 60 - 10 \)
- \( 5x \le 50 \)
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \( \frac{5x}{5} \le \frac{50}{5} \)
- \( x \le 10 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-esitsizlik/sorular