🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşitsizlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşitsizlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Eşitsizlik Çözümü ve Sayı Doğrusu Gösterimi 💡
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun ve çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde gösterin:
\[ 3x - 5 \ge x + 7 \]
Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun ve çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde gösterin:
\[ 3x - 5 \ge x + 7 \]
Çözüm:
Bu bir birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliktir. Çözüm adımları denklemlere benzerdir, ancak eşitsizlik yönüne dikkat etmeliyiz.
- 👉 Öncelikle, bilinmeyenleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Bunun için her iki taraftan \(x\) çıkaralım: \[ 3x - x - 5 \ge x - x + 7 \] \[ 2x - 5 \ge 7 \]
- 👉 Şimdi de sabit terimi eşitsizliğin diğer tarafına atalım. Her iki tarafa \(5\) ekleyelim: \[ 2x - 5 + 5 \ge 7 + 5 \] \[ 2x \ge 12 \]
- 👉 Son olarak, \(x\)'i yalnız bırakmak için her iki tarafı \(2\)'ye bölelim. \(2\) pozitif bir sayı olduğu için eşitsizliğin yönü değişmez: \[ \frac{2x}{2} \ge \frac{12}{2} \] \[ x \ge 6 \]
- ✅ Çözüm kümesi, \(6\) ve \(6\)'dan büyük tüm gerçek sayılardır. Aralık olarak \([6, \infty)\) şeklinde ifade edilir. Sayı doğrusunda \(6\) noktasını dahil ederek sağa doğru giden bir ışın şeklinde gösterilir.
Örnek 2:
Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü 📌
Aşağıdaki mutlak değerli eşitsizliğin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bulun:
\[ |2x - 4| < 6 \]
Aşağıdaki mutlak değerli eşitsizliğin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bulun:
\[ |2x - 4| < 6 \]
Çözüm:
Mutlak değer içeren eşitsizliklerde tanımı doğru uygulamak çok önemlidir. \(|a| < b\) şeklindeki bir eşitsizlik, \( -b < a < b \) şeklinde açılır.
- 👉 Eşitsizliği bu kurala göre açalım: \[ -6 < 2x - 4 < 6 \]
- 👉 Şimdi eşitsizliğin her üç tarafına \(4\) ekleyerek ortadaki \(2x\)'i yalnız bırakmaya başlayalım: \[ -6 + 4 < 2x - 4 + 4 < 6 + 4 \] \[ -2 < 2x < 10 \]
- 👉 Son olarak, \(x\)'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her üç tarafını \(2\)'ye bölelim. \(2\) pozitif bir sayı olduğu için eşitsizliğin yönü değişmez: \[ \frac{-2}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{10}{2} \] \[ -1 < x < 5 \]
- ✅ Çözüm kümesi, \(-1\) ile \(5\) arasındaki tüm gerçek sayılardır (dahil değil). Aralık olarak \( (-1, 5) \) şeklinde ifade edilir.
Örnek 3:
İki Bilinmeyenli Eşitsizliğin Grafiği 🗺️
Koordinat sisteminde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan bölgeyi gösterin:
\[ y \le -x + 3 \]
Koordinat sisteminde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan bölgeyi gösterin:
\[ y \le -x + 3 \]
Çözüm:
İki bilinmeyenli eşitsizlikleri koordinat sisteminde göstermek için önce sınır doğrusunu çizmeliyiz.
- 👉 İlk adım olarak, eşitsizliği bir denklem gibi düşünerek sınır doğrusunu çizelim: \( y = -x + 3 \).
- Bu doğruyu çizmek için iki nokta bulalım:
- Eğer \(x = 0\) ise, \(y = -0 + 3 = 3\). Yani nokta \( (0, 3) \).
- Eğer \(y = 0\) ise, \(0 = -x + 3 \implies x = 3\). Yani nokta \( (3, 0) \).
- 👉 İkinci adım, eşitsizliğin hangi bölgeyi sağladığını belirlemektir. Bunun için doğru üzerinde olmayan herhangi bir test noktası seçelim. En kolay nokta genellikle orijin \( (0, 0) \)'dır.
- \(x = 0\) ve \(y = 0\) değerlerini eşitsizlikte yerine koyalım: \[ 0 \le -0 + 3 \] \[ 0 \le 3 \]
- ✅ Test noktası \( (0, 0) \) eşitsizliği sağladığı için, eşitsizliğin çözüm kümesi \( (0, 0) \) noktasının bulunduğu bölge ve sınır doğrusu üzerindeki tüm noktalardır. Bu bölgeyi tarayarak gösteririz.
Örnek 4:
Günlük Hayattan Eşitsizlik Problemi 🚌
Bir şehir içi otobüsünün maksimum yolcu kapasitesi 50 kişidir. Otobüste şu anda 12 yolcu bulunmaktadır. Otobüse binebilecek yeni yolcu sayısını (\(x\)) gösteren eşitsizliği yazın ve çözüm kümesini bulun.
Bir şehir içi otobüsünün maksimum yolcu kapasitesi 50 kişidir. Otobüste şu anda 12 yolcu bulunmaktadır. Otobüse binebilecek yeni yolcu sayısını (\(x\)) gösteren eşitsizliği yazın ve çözüm kümesini bulun.
Çözüm:
Bu tür problemlerde, verilen sınırlamaları matematiksel bir ifadeye dönüştürmek önemlidir.
- 👉 Otobüsteki toplam yolcu sayısı, mevcut yolcu sayısı ile binecek yeni yolcu sayısının toplamıdır. Toplam yolcu sayısı \(12 + x\) olacaktır.
- 👉 Otobüsün maksimum kapasitesi 50 kişi olduğuna göre, toplam yolcu sayısı 50'den küçük veya eşit olmalıdır. \[ 12 + x \le 50 \]
- 👉 Eşitsizliği çözmek için her iki taraftan 12 çıkaralım: \[ 12 + x - 12 \le 50 - 12 \] \[ x \le 38 \]
- 👉 Ayrıca, yolcu sayısı negatif olamayacağı için \(x \ge 0\) olmalıdır.
- ✅ Buna göre, otobüse binebilecek yeni yolcu sayısı \(x\), \(0\) ile \(38\) arasında (dahil) olabilir. Çözüm kümesi: \( [0, 38] \).
Örnek 5:
Temel Benzerlik Teoremi (Thales) 📐
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir. DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
Eğer \(|AD| = 3\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 4\) cm ise, \(|EC|\) uzunluğunu bulun.
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir. DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
Eğer \(|AD| = 3\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 4\) cm ise, \(|EC|\) uzunluğunu bulun.
Çözüm:
Bu problem Temel Benzerlik Teoremi (veya Thales Teoremi) ile çözülür. Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler.
- 👉 Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, \(DE \parallel BC\) olduğundan aşağıdaki oran geçerlidir: \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
- 👉 Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{3}{6} = \frac{4}{|EC|} \]
- 👉 Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{1}{2} = \frac{4}{|EC|} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \(|EC|\) uzunluğunu bulalım: \[ 1 \cdot |EC| = 2 \cdot 4 \] \[ |EC| = 8 \text{ cm} \]
- ✅ Böylece \(|EC|\) uzunluğunun 8 cm olduğunu buluruz.
Örnek 6:
Benzer Üçgenlerde Açı ve Kenar İlişkisi (AA Benzerliği) ✨
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir ( \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) ).
Eğer \(m(\hat{A}) = 50^\circ\), \(m(\hat{B}) = 70^\circ\) ve \(m(\hat{E}) = 70^\circ\) ise, \(m(\hat{F})\) açısını bulun. Ayrıca, \(|AB| = 6\) cm ve \(|DE| = 9\) cm ise, bu iki üçgenin benzerlik oranını bulun.
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir ( \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) ).
Eğer \(m(\hat{A}) = 50^\circ\), \(m(\hat{B}) = 70^\circ\) ve \(m(\hat{E}) = 70^\circ\) ise, \(m(\hat{F})\) açısını bulun. Ayrıca, \(|AB| = 6\) cm ve \(|DE| = 9\) cm ise, bu iki üçgenin benzerlik oranını bulun.
Çözüm:
Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir ve karşılıklı kenarların oranları sabittir (benzerlik oranı).
- 👉 İlk olarak, \(\triangle ABC\)'nin üçüncü açısı olan \(m(\hat{C})\)'yi bulalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)'dir: \[ m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \] \[ 50^\circ + 70^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \] \[ 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \] \[ m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
- 👉 Üçgenler benzer olduğu için karşılıklı açılar eşittir:
- \(m(\hat{A}) = m(\hat{D}) = 50^\circ\)
- \(m(\hat{B}) = m(\hat{E}) = 70^\circ\) (Verilmiş ve tutarlı)
- \(m(\hat{C}) = m(\hat{F})\)
- 👉 Şimdi benzerlik oranını bulalım. Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır: \[ k = \frac{|AB|}{|DE|} \] Verilen \(|AB| = 6\) cm ve \(|DE| = 9\) cm değerlerini yerine yazalım: \[ k = \frac{6}{9} \] Bu oranı sadeleştirelim: \[ k = \frac{2}{3} \]
- ✅ \(m(\hat{F})\) açısı \(60^\circ\) ve üçgenlerin benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.
Örnek 7:
Günlük Hayatta Benzerlik: Gölge Boyu Problemi ☀️
1.8 metre boyundaki bir kişi, güneşli bir günde yerde 1.2 metre uzunluğunda bir gölge oluşturmaktadır. Aynı anda, bu kişinin yakınında bulunan bir ağacın gölgesi ise 8 metre uzunluğundadır.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının paralel geldiği varsayılacaktır.)
1.8 metre boyundaki bir kişi, güneşli bir günde yerde 1.2 metre uzunluğunda bir gölge oluşturmaktadır. Aynı anda, bu kişinin yakınında bulunan bir ağacın gölgesi ise 8 metre uzunluğundadır.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının paralel geldiği varsayılacaktır.)
Çözüm:
Bu problem, güneş ışınlarının paralel gelmesi sayesinde oluşan benzer üçgenler prensibine dayanır. Kişi ve gölgesi, ağaç ve gölgesi ile iki adet dik üçgen oluşturur. Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için bu iki dik üçgen benzerdir (A.A. benzerliği).
- 👉 Kişinin boyunu \(K\), gölge boyunu \(G_K\) ile gösterelim.
- \(K = 1.8\) metre
- \(G_K = 1.2\) metre
- \(A = ?\)
- \(G_A = 8\) metre
- 👉 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Yani, kişinin boyunun gölge boyuna oranı, ağacın boyunun gölge boyuna oranına eşit olacaktır: \[ \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Kişinin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \] \[ \frac{K}{G_K} = \frac{A}{G_A} \]
- 👉 Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ \frac{1.8}{1.2} = \frac{A}{8} \]
- 👉 Oranı sadeleştirelim. \(1.8 / 1.2\) oranı \(18/12\) yani \(3/2\)'dir: \[ \frac{3}{2} = \frac{A}{8} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \(A\)'yı bulalım: \[ 2 \cdot A = 3 \cdot 8 \] \[ 2A = 24 \] \[ A = \frac{24}{2} \] \[ A = 12 \text{ metre} \]
- ✅ Ağacın boyu 12 metredir.
Örnek 8:
Harita Ölçeği ve Gerçek Uzaklık 🌍
Bir coğrafya haritasında iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak ölçülmüştür. Haritanın ölçeği 1:2.000.000 olarak verilmiştir.
Buna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
Bir coğrafya haritasında iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak ölçülmüştür. Haritanın ölçeği 1:2.000.000 olarak verilmiştir.
Buna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
Çözüm:
Harita ölçeği, haritadaki bir uzunluğun gerçekteki karşılığına oranını gösteren bir benzerlik oranıdır. Ölçek 1:2.000.000 demek, haritadaki 1 birimin gerçekte 2.000.000 birime karşılık geldiği anlamına gelir.
- 👉 Harita ölçeği: \( \text{Ölçek} = \frac{\text{Harita Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \)
- 👉 Bize verilen değerler:
- Harita uzunluğu = 5 cm
- Ölçek = \( \frac{1}{2.000.000} \)
- 👉 Formülde yerine yazalım: \[ \frac{1}{2.000.000} = \frac{5 \text{ cm}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \]
- 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak gerçek uzaklığı bulalım: \[ 1 \cdot \text{Gerçek Uzunluk} = 5 \text{ cm} \cdot 2.000.000 \] \[ \text{Gerçek Uzunluk} = 10.000.000 \text{ cm} \]
- 👉 Son olarak, bulduğumuz santimetre cinsinden uzunluğu kilometreye çevirmeliyiz.
- 1 metre = 100 cm
- 1 kilometre = 1000 metre = 1000 \(\times\) 100 cm = 100.000 cm
- ✅ İki şehir arasındaki gerçek uzaklık 100 kilometredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-esitsizlik-ve-benzerlik/sorular