💡 9. Sınıf Matematik: Eşitsizlik Ve Benzerlik Yeni Nesil Sorular Çözümlü Örnekler

Bu eşitsizliği adım adım çözelim:

• 👉 Öncelikle, \( -5 \) sayısını eşitsizliğin diğer tarafına atarak denklemi basitleştirelim. Unutmayın, bir sayıyı diğer tarafa atarken işaret değiştiririz:
\[ 3x < 10 + 5 \] \[ 3x < 15 \]
• 👉 Şimdi, \( x \)'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafını \( 3 \) ile bölelim. Pozitif bir sayı ile böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
\[ \frac{3x}{3} < \frac{15}{3} \] \[ x < 5 \]
• ✅ Çözüm kümesi, \( 5 \)'ten küçük tüm gerçek sayılardır. Bu, matematiksel olarak \( (-\infty, 5) \) aralığı olarak ifade edilir.
• 🔢 Sayı doğrusu üzerinde gösterimi ise, \( 5 \) noktasının içi boş bir daire ile işaretlenip, bu noktanın solundaki tüm sayıların taranması şeklindedir.

Bu eşitsizliği adım adım çözelim:

• 👉 Öncelikle parantez içindeki ifadeyi dağıtalım:
\[ 2x + 6 \ge 4x - 2 \]
• 👉 Şimdi \( x \) terimlerini bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta toplayalım. Genellikle \( x \)'in katsayısının pozitif kalmasını tercih ederiz, bu yüzden \( 2x \)'i sağa, \( -2 \)'yi sola atalım:
\[ 6 + 2 \ge 4x - 2x \] \[ 8 \ge 2x \]
• 👉 Eşitsizliğin her iki tarafını \( 2 \) ile bölelim. Pozitif bir sayı ile böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
\[ \frac{8}{2} \ge \frac{2x}{2} \] \[ 4 \ge x \]
• ✅ Bu ifade, \( x \)'in \( 4 \)'e eşit veya \( 4 \)'ten küçük olduğunu gösterir. Çözüm kümesi \( (-\infty, 4] \) aralığıdır.

Bu günlük hayat problemini bir eşitsizlik kurarak çözelim:

• 👉 Kalemlerin toplam maliyeti: Ayşe 5 tane kalem alıyor ve tanesi 12 TL. Toplam kalem maliyeti \( 5 \times 12 = 60 \) TL olur.
• 👉 Defterlerin maliyeti: Ayşe'nin alabileceği defter sayısına \( d \) diyelim. Her bir defter 18 TL olduğu için toplam defter maliyeti \( 18d \) TL olur.
• 👉 Toplam harcama ve eşitsizlik: Ayşe'nin toplam harcaması kalem ve defter maliyetlerinin toplamıdır ve bu miktar 150 TL'yi geçemez. Bu durumda eşitsizliğimiz şöyle olur:
\[ 60 + 18d \le 150 \]
• 👉 Şimdi bu eşitsizliği \( d \) için çözelim:
• Önce 60'ı eşitsizliğin diğer tarafına atalım:
\[ 18d \le 150 - 60 \] \[ 18d \le 90 \]
• Şimdi her iki tarafı 18'e bölelim:
\[ \frac{18d}{18} \le \frac{90}{18} \] \[ d \le 5 \]
• ✅ Sonuç olarak, Ayşe en fazla 5 tane defter alabilir.

Problemi adım adım bir eşitsizliğe dönüştürelim:

• 👉 Mavi bilye sayısına \( m \) diyelim.
• 👉 Kırmızı bilyelerin sayısı, mavi bilyelerin sayısının 2 katından 3 eksik olduğuna göre, kırmızı bilye sayısı \( 2m - 3 \) olur.
• 👉 Kutudaki toplam bilye sayısı, kırmızı ve mavi bilyelerin toplamıdır: \( m + (2m - 3) \).
• 👉 Toplam bilye sayısı 45'ten fazla olduğuna göre, eşitsizliğimiz şu şekildedir:
\[ m + (2m - 3) > 45 \]
• 👉 Şimdi bu eşitsizliği \( m \) için çözelim:
• Benzer terimleri birleştirelim:
\[ 3m - 3 > 45 \]
• \( -3 \)'ü eşitsizliğin diğer tarafına atalım:
\[ 3m > 45 + 3 \] \[ 3m > 48 \]
• Her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim:
\[ \frac{3m}{3} > \frac{48}{3} \] \[ m > 16 \]
• ✅ Mavi bilye sayısı 16'dan büyük olmak zorundadır. Bilye sayısı bir tam sayı olacağı için, mavi bilye sayısı en az 17 olabilir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu oranı kullanarak \( |EF| \)'yi bulalım:

• 👉 Benzerlik tanımına göre, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} \]
• 👉 Bize verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{6}{9} = \frac{8}{|EF|} \]
• 👉 Şimdi bu oranı sadeleştirelim ve \( |EF| \)'yi bulalım. \( \frac{6}{9} \) oranı \( \frac{2}{3} \)'e eşittir:
\[ \frac{2}{3} = \frac{8}{|EF|} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak \( |EF| \)'yi bulabiliriz:
\[ 2 \times |EF| = 3 \times 8 \] \[ 2 \times |EF| = 24 \]
• 👉 Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ |EF| = \frac{24}{2} \] \[ |EF| = 12 \]
• ✅ Buna göre, \( |EF| \) kenarının uzunluğu 12 cm'dir.

Paralel doğruların oluşturduğu benzer üçgenler kuralını kullanalım:

• 👉 \( DE // BC \) olduğu için, \( \triangle ADE \) üçgeni ile \( \triangle ABC \) üçgeni benzerdir (Temel Benzerlik Teoremi'nden dolayı).
• 👉 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda, \( |AD| \)'nin \( |AB| \)'ye oranı, \( |AE| \)'nin \( |AC| \)'ye oranına eşittir:
\[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \]
• 👉 \( |AB| \) kenarının uzunluğu \( |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 \) birimdir.
• 👉 \( |AC| \) kenarının uzunluğu ise \( |AE| + |EC| = 3 + |EC| \) birimdir.
• 👉 Şimdi bu değerleri oran eşitliğinde yerine yazalım:
\[ \frac{4}{10} = \frac{3}{3 + |EC|} \]
• 👉 Oranı sadeleştirelim: \( \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \).
\[ \frac{2}{5} = \frac{3}{3 + |EC|} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 2 \times (3 + |EC|) = 5 \times 3 \] \[ 6 + 2 \times |EC| = 15 \]
• 👉 6'yı diğer tarafa atalım:
\[ 2 \times |EC| = 15 - 6 \] \[ 2 \times |EC| = 9 \]
• 👉 Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ |EC| = \frac{9}{2} \] \[ |EC| = 4.5 \]
• ✅ Buna göre, \( |EC| \) kenarının uzunluğu 4.5 birimdir.

Gölge boyu problemleri, güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için benzer üçgenler oluşturur. Bu durumu kullanarak ağacın boyunu bulalım:

• 👉 Ali'nin boyu, Ali'nin gölge boyu ve güneş ışınları bir dik üçgen oluşturur.
• 👉 Ağacın boyu, ağacın gölge boyu ve güneş ışınları da başka bir dik üçgen oluşturur.
• 👉 Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için bu iki dik üçgen benzerdir (Açı-Açı Benzerliği).
• 👉 Ağacın boyuna \( x \) diyelim. Benzerlik oranını kuralım:
\[ \frac{Ali'nin Boyu}{Ali'nin Gölge Boyu} = \frac{Ağacın Boyu}{Ağacın Gölge Boyu} \] \[ \frac{1.8}{2.7} = \frac{x}{9} \]
• 👉 Şimdi bu denklemi \( x \) için çözelim. Oranı sadeleştirebiliriz: \( \frac{1.8}{2.7} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} \).
\[ \frac{2}{3} = \frac{x}{9} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 3 \times x = 2 \times 9 \] \[ 3x = 18 \]
• 👉 Her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ x = \frac{18}{3} \] \[ x = 6 \]
• ✅ Buna göre, ağacın boyu 6 metredir.

Harita ölçeği, benzerlik prensibine dayanır. Ölçek, haritadaki birim uzunluğun gerçekteki kaç birim uzunluğa karşılık geldiğini gösterir:

• 👉 Ölçek 1:250.000 demek, haritadaki 1 birim uzunluğun gerçekte 250.000 birim uzunluğa denk geldiği anlamına gelir.
• 👉 Harita üzerindeki mesafe 4 cm'dir. Gerçek mesafeyi bulmak için bu 4 cm'yi ölçek oranıyla çarpalım:
\[ \text{Gerçek Mesafe} = \text{Harita Mesafesi} \times \text{Ölçek Paydası} \] \[ \text{Gerçek Mesafe} = 4 \text{ cm} \times 250.000 \] \[ \text{Gerçek Mesafe} = 1.000.000 \text{ cm} \]
• 👉 Soruda gerçek mesafe kilometre cinsinden istendiği için, santimetreyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
• 1 metre = 100 cm
• 1 kilometre = 1000 metre
• Yani, 1 kilometre = \( 1000 \times 100 = 100.000 \) cm'dir.
• 👉 Elde ettiğimiz santimetre değerini 100.000'e bölerek kilometreye çevirelim:
\[ \text{Gerçek Mesafe (km)} = \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \] \[ \text{Gerçek Mesafe (km)} = 10 \text{ km} \]
• ✅ Buna göre, iki şehir arasındaki gerçek mesafe 10 kilometredir.